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文档介绍
黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试数学(理)试题(含答案解析)
大庆一中高三年级下学期第三次模拟考试 数 学(理 科) 试 题 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 4 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足,则复数的虚部为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设 ,由 , ,故选B. 2.已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 化简集合和集合,根据集合的交集计算即可. 【详解】由得 ,所以,由得,所以, 故,所以选B. 【点睛】本题主要考查了集合的概念,集合的交集运算,涉及函数定义域的相关知识,属于中档题. 3.已知双曲线的离心率为,则实数 的值为( ) A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 分析:可用排除法,验证与是否符合题意即可得结果. 详解:可用排除法,当时,化为, 离心率为,符合题意; 当时,化为, 离心率,符合题意, 的值为,故选C. 点睛:用特例代替题设所给的一般性条件,得出特殊结论,然后对各个选项进行检验,从而做出正确的判断,这种方法叫做特殊法. 若结果为定值,则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略,排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法,这种方法即可以提高做题速度和效率. 4.执行如图所示的程序框图,输出 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据框图,结合条件分支结构和循环结构,即可求出结果. 【详解】第一次执行程序后,,第二次执行程序后,,第三次执行程序后,第四次执行程序后,因为不成立,跳出循环,输出,故选A. 【点睛】本题主要考查了框图,涉计循环结构和条件分支结构,属于中档题. 5.在各项不为零的等差数列中,,数列是等比数列,且 ,则的值为( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等差数列的性质可知,代入方程可求出,再根据等比数列的性质 即可代入求解. 【详解】因为等差数列中,所以, 因为各项不为零,所以, 因为数列是等比数列,所以 所以,故选C. 【点睛】本题主要考查了等差数列中,当时,,等比数列中,当时,,属于中档题. 6.若设,则 的展开式中的常数项是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【解析】,所以展开式的通项为: ,令 ,常数项是,故选A. 7.已知矩形中,.如果向该矩形内随机投一点,那么使得与的面积都不小于的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 , 由题意知本题是一个几何概型的概率, 以AB为底边,要使面积不小于2, 由于, 则三角形的高要h⩾1,同样,P点到AD的距离要不小于,满足条件的P的区域如图, 其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是, ∴使得△ABP与△ADP的面积都不小于2的概率为:. 故选D. 8.已知某函数的图象如图所示,则下列解析式与此图象最为符合的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 对于A,为奇函数,图象显然不关于原点对称,不符合题意; 对于C,在上单调递减,不符合题意; 对于D,在上单调递减,不符合题意; 故选B 点睛:识图常用的方法 (1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题; (3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题. 9.已知奇函数满足,若当时,,且,则实数的值可以是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据奇函数满足可知函数周期,因此,当时,令,可得,故可得的可能取值. 【详解】由可得,因为为奇函数, 所以,故,函数周期为, 所以, 当时,令,可得,所以可以,即,故选A. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、周期性,属于中档题.函数中一些常见结论需要理解记忆: 若 可知函数的周期, 若,可知函数对称轴. 10.下列命题正确的个数是( ) (1)“函数的最小正周期是”的充分不必要条件是“ ”; (2)设,则使函数 的定义域是且为奇函数的所有 的值为; (3)已知函数在定义域上增函数,则. A. 1 B. 2 C. 3. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】 根据给出的命题,逐个分析即可. (1)考虑函数的周期性(2)幂函数的定义域及奇偶性(3)利用导数确定参数取值范围. 【详解】(1)因为,所以最小正周期,所以,所以是充分不必要条件正确; (2)因为 的定义域是,所以,故所有 的值为错误; (3)因为函数在定义域上为增函数,所以恒成立,即恒成立,由恒成立可知,命题正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查了充分必要条件,函数的定义域、奇偶性,利用导数确定函数的增减性及恒成立问题,属于中档题. 11.在中,,点 是所在平面内一点,则当 取得最小值时, ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 以C为坐标原点,直线CB,CA分别为x,y轴建立直角坐标系,则,设 当时取得最小值,,选D. 点睛:(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某些函数问题. (2)以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法. 12.已知函数,若,且对任意的,则的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为,若,且对任意的恒成立, 即 ,因为 即 ,对任意恒成立, 令,则 令 ,则 所以函数 在 上单调递增. 因为 所以方程 在上存在唯一实根 ,且满足 当 时, ,即 ,当 时, ,即 所以函数在 上单调递减,在 上单调递增 所以 所以= 所以 ,因为 ,故整数 的最大值为 ,故选B. 点睛:不等式恒成立问题常用变量分离的方法,即将变量与参数分开来看,转化为参数与函数与最值的不等式即可,本题中通过求导找到的极值点是不可求的,此时,利用导数等于零的方程代入最值中化简即可解决本题. 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分,把答案填在题中横线上. 13.已知随机变量服从正态分布且,则_____________ 【答案】0.76 【解析】 【分析】 由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴,根据对称性即可得到结果. 【详解】随机变量服从正态分布, 则曲线的对称轴为,, 由可得, 则 故答案为0.76. 【点睛】本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率,求解的关键是把所求区间用已知区间表示;正态曲线的主要性质是:(1)正态曲线关于对称;(2)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1. 14.已知点和圆,过点 作圆的切线有两条,则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】 分析】 由过点可作圆的两条切线知,点在圆的外部,根据点与圆的位置关系可得关于的不等式,结合为圆的一般方程,可知满足的不等式,联立即可求解. 【详解】因为为圆,所以,解得, 又过点 作圆的切线有两条,所以点在圆的外部,故,解得,综上可知 .故的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系的应用,圆的一般方程,圆的切线的条数,属于中档题. 15.已知函数,若,则函数 的单调递增区间为_______ 【答案】 【解析】 因为,所以 所以, 由得单调增区间为. 【点睛】函数的性质 (1). (2)周期 (3)由 求对称轴 (4)由求增区间; 由求减区间 16.设数列的前项积为,且. 若 ,则数列的前项和为________. 【答案】 【解析】 点睛:裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式,然后通过累加抵消中间若干项的方法,裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和(如本例),还有一类隔一项的裂项求和,如或. 三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. △ABC在内角A、B、C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求B; (Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值. 【答案】(Ⅰ)B=(Ⅱ) 【解析】 【详解】(1)∵a=bcosC+csinB ∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB ① 在三角形ABC中,A=-(B+C) ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC ② 由①和②得sinBsinC=cosBsinC 而C∈(0,),∴sinC≠0,∴sinB=cosB 又B(0,),∴B= (2) S△ABCacsinBac, 由已知及余弦定理得:4=a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac, 整理得:ac,当且仅当a=c时,等号成立, 则△ABC面积的最大值为(2)1. 18. 某品牌服装店为了庆祝开业两周年,特举办“你敢买,我就送”的回馈活动,规定店庆当日进店购买指定服装的消费者可参加游戏,赢取奖金,游戏分为以下两种: 游戏 1:参加该游戏赢取奖金的成功率为,成功后可获得元奖金; 游戏 2:参加该游戏赢取奖金的成功率为,成功后可得元奖金; 无论参与哪种游戏,未成功均没有收获,每人有且仅有一次机会,且每次游戏成功与否均互不影响,游戏结束后可到收银台领取奖金. (Ⅰ)已知甲参加游戏 1,乙参加游戏 2,记甲与乙获得的总奖金为,若,求的值; (Ⅱ)若甲、乙、丙三人都选择游戏 1或都选择游戏 2,问:他们选择何种规则,累计得到奖金的数学期望值最大? 【答案】(Ⅰ)0.6(Ⅱ)见解析 【解析】 分析】 (Ⅰ)根据甲、乙参加游戏会有4种结果,列出方程求出p的值,再计算P(ξ≤200)的值;(Ⅱ)分别计算甲、乙、丙都选游戏1和都选游戏2时,累计得到的奖金,再比较它们的大小即可. 【详解】(Ⅰ)甲、乙参加游戏,会有4种结果; P 0.4(1﹣p) 0.6(1﹣p) 0.4p 0.6p ξ 0 200 300 500 则P(ξ>300)=P(ξ=500)=0.6p=0.24,解得p=0.4; 所以P(ξ≤200)=P(ξ=0)+P(ξ=200)=0.4×(1﹣0.4)+0.6×(1﹣0.4)=0.6; (Ⅱ)都选游戏1时,设赢的人数为X,则X~B(3,0.6), E(X)=np=3×0.6=1.8; 累计赢取的奖金为J(X)=1.8×200=360(元); 都选游戏2时,设赢的人数为Y,则Y~B(3,0.4), E(Y)=np=3×0.4=1.2; 累计得到的奖金为J(Y)=1.2×300=360(元); 甲、乙、丙三人都选择游戏1或都选择游戏2,累计得到奖金的数学期望值一样多. 【点睛】本题考查概率、随机变量的数学期望、二项分布的计算问题,考查推理能力与计算能力,是中档题. 19.在四棱锥的底面是菱形, 底面,, 分别是的中点, . (Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值; (III)在边上是否存在点,使与所成角余弦值为,若存在,确定点的位置;若不存在,说明理由. 【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ); (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意结合几何关系可证得平面,据此证明题中的结论即可; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量与平面的一个法向量,然后求解线面角的正弦值即可; (Ⅲ)假设满足题意的点存在,设,由直线与的方向向量得到关于的方程,解方程即可确定点F的位置. 【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得:,结合三角形中位线的性质可知:,故, 底面,底面,故, 且,故平面, 平面, (Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知,,, 以点O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则:, 设平面的一个法向量为, 则:, 据此可得平面的一个法向量为, 而, 设直线与平面所成角为, 则. (Ⅲ)由题意可得:,假设满足题意的点存在, 设,, 据此可得:,即:, 从而点F的坐标为, 据此可得:,, 结合题意有:,解得:. 故点F为中点时满足题意. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理,线面角的向量求法,立体几何中的探索性问题等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 20.已知椭圆的离心率,直线被以椭圆的短轴为直径的圆截得的弦长为. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若过点的直线交椭圆于两点,且,求的取值范围. 【答案】(1);(2). 【解析】 试题分析: (1)由直线与圆的位置关系可得.由椭圆的离心率可得,则椭圆的方程为. (2)当直线的斜率为时,,当直线的斜率不为时,设直线在y轴上的截距式方程为,,,联立方程可得,满足题意时,结合韦达定理可知,据此可知.综上可得. 试题解析: (1)因为原点到直线的距离为, 所以(),解得. 又,得 所以椭圆的方程为. (2)当直线的斜率为时,, 当直线的斜率不为时,设直线:,,, 联立方程组,得, 由,得, 所以, , 由,得,所以. 综上可得:,即. 点睛:(1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系. (2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. 21.已知函数 + (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)设,证明:. 【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】 (Ⅰ)求导后利用导数求函数的极值即可得到最小值; (Ⅱ)根据(Ⅰ)可得,令,结合放缩,可得 ,累加即可证明不等式成立. 【详解】(Ⅰ)函数的定义域为 ,当时,,当时,, 所以在时单调递减,在时单调递增, 故当时,函数有唯一极小值,所以函数有最小值. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得, 令可得 当时, ,, 【点睛】本题主要考查了导数的应用,数列不等式的证明,属于难题.在证明不等式时,往往要根据函数的特点,构造新的函数或不等式,利用函数的增减性,极值或者不等式的放缩法,来证明所给不等式,技巧性比较强,需要多加练习总结. 请考生在第 22、23二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为 ,(为参数) ,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (Ⅰ)求曲线的直角坐标方程,并说明它为何种曲线; (Ⅱ)已知点 的坐标为,直线与曲线交于两点,求的最大值. 【答案】(Ⅰ),曲线是一个以为圆心,2为半径的圆(Ⅱ) 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,可知曲线C是一个以为圆心,2为半径的圆. (Ⅱ)直线过定点,把代入,得,由此根据参数的几何意义可求出的最大值. 【详解】(Ⅰ) 曲线的极坐标方程为 曲线的直角坐标方程为,即 曲线是一个以为圆心,2为半径的圆. (Ⅱ) 直线的参数方程为 ,(为参数) 直线过定点 直线与曲线交于两点,由题意知其倾斜角为锐角, 把代入,得 由,得, 或 (舍去) 又由于点均在点的下方,由参数的几何意义得: ,其中, 当时,经检验满足,所以的最大值为. 【点睛】本题考查了曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化,考查利用直线参数的几何意义求两线段和的最值,涉及三角函数的变形化简,考查了运算能力,属于中档题. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数. (1)若,解不等式的解集; (2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 (1)分类讨论去掉绝对值符号,分别求解取并集即可. (2)分别作出的图象,观察可求解m的范围. 【详解】(1)依题意,. 当时,,即,故; 当时,即,即,故; 当时,,即,故无解. 综上所述,不等式的解集为. (2)依题意,,故(*), 显然时,(*)式不恒成立, 当时,在同一直角坐标系中分别作出的图象如下图所示, 观察可知,,即实数m的取值范围为. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,含绝对值的函数图像的应用,考查转化思想以及计算能力,属于中档题.查看更多