【数学】2020届一轮复习人教B版　直线与圆锥曲线的位置关系学案

【数学】2020届一轮复习人教B版　直线与圆锥曲线的位置关系学案

考查角度1　直线与圆锥曲线的位置关系 ‎　　分类透析一　直线与圆锥曲线的位置关系问题 ‎ 例1 已知直线x-2y+2=0与圆C:x2+y2-4y+m=0相交,截得的弦长为‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求圆C的方程.‎ ‎(2)过原点O作圆C的两条切线,与抛物线y=x2相交于M,N两点(异于原点),证明:直线MN与圆C相切.‎ ‎(3)若抛物线y=x2上任意三个不同的点P,Q,R,满足直线PQ和PR都与圆C相切,判断直线QR与圆C的位置关系,并加以证明.‎ 分析 (1)利用弦长的一半、半径、弦心距构成直角三角形及勾股定理求出圆C的半径;‎ ‎(2)由于切线过原点,可设切线方程为y=kx,利用圆心到切线的距离等于圆的半径求k,再联立切线与抛物线方程,求出M,N两点的坐标,得出MN的方程,然后证明圆心C到MN的距离等于半径;‎ ‎(3)由三点在抛物线上,可设P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),用a,b,c表示圆心C到直线QR的距离d,由直线PQ和PR都与圆C相切,得到a,b,c的关系式,再代入d,即可得直线QR与圆C相切.‎ 解析 (1)∵圆心C的坐标为(0,2),‎ ‎∴圆心C到直线x-2y+2=0的距离为d=‎|0-4+2|‎‎1‎‎2‎‎+(-2‎‎)‎‎2‎=‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎∵截得的弦长为‎2‎‎5‎‎5‎,∴r2=‎2‎‎5‎‎5‎‎2‎+‎5‎‎5‎‎2‎=1, ‎ ‎∴圆C的方程为x2+(y-2)2=1.‎ ‎(2)设过原点O的切线方程为y=kx,即kx-y=0,‎ ‎∴‎|0-2|‎k‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=1,解得k=±‎3‎.‎ ‎∴过原点O的切线方程为y=±‎3‎x.‎ 不妨设y=‎3‎x与抛物线的交点为M,‎ 则y=‎3‎x,‎y=x‎2‎,‎解得x=‎3‎,‎y=3‎或x=0,‎y=0‎(舍去),故M(‎3‎,3),同理可求得N(-‎3‎,3),‎ ‎∴直线MN的方程为y=3.‎ ‎∵圆心C(0,2)到直线MN的距离为1且圆C的半径为1,∴直线MN与圆C相切.‎ ‎(3)直线QR与圆C相切.证明如下:‎ 设P(a,a2),Q(b,b2),R(c,c2),则直线PQ,PR,QR的方程分别为PQ:(a+b)x-y-ab=0,PR:(a+c)x-y-ac=0,QR:(b+c)x-y-bc=0.‎ ‎∵PQ是圆C的切线,∴‎|-2-ab|‎‎(a+b‎)‎‎2‎+1‎=1,化简得(a2-1)b2+2ab+3-a2=0.　①‎ ‎∵PR是圆C的切线,同理可得(a2-1)c2+2ac+3-a2=0.　②‎ 则b,c为方程(a2-1)x2+2ax+3-a2=0的两个实根,‎ ‎∴b+c=-‎2aa‎2‎‎-1‎,bc=‎3-‎a‎2‎a‎2‎‎-1‎.‎ ‎∵圆心到直线QR的距离为d=‎|-2-bc|‎‎(b+c‎)‎‎2‎+1‎ =‎2+‎‎3-‎a‎2‎a‎2‎‎-1‎‎4‎a‎2‎‎(a‎2‎-1‎‎)‎‎2‎‎+1‎=a‎2‎‎+1‎a‎4‎‎+2a‎2‎+1‎=1,且圆C的半径为1,‎ ‎∴直线QR与圆C相切.‎ 方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题,可以借助代数法进行判断,而对于直线与圆的位置关系问题,则可以借助几何法进行判断.‎ ‎　　分类透析二　直线与圆锥曲线的交点问题 ‎　　例2 已知抛物线C:x2=2y的焦点为F.‎ ‎(1)设抛物线上任意一点P(m,n),求证:以P为切点,与抛物线相切的切线方程是mx=y+n.‎ ‎(2)若过动点M(x0,0)(x0≠0)的直线l与抛物线C相切,试判断直线MF与直线l的位置关系,并予以证明.‎ 分析 (1)利用导数求出抛物线的切线(或把直线与曲线的方程联立,消去x(或y)建立一元二次方程,利用判别式等于0求出斜率;‎ ‎(2)分别求出直线MF与直线l的斜率,找出其斜率的关系,即可得解.‎ 解析 (1)由抛物线C:x2=2y,得y=‎1‎‎2‎x2,则y'=x,‎ ‎∴在点P(m,n)处切线的斜率k=m,‎ ‎∴切线方程是y-n=m(x-m),即y-n=mx-m2.‎ 又点P(m,n)是抛物线上的一点,‎ ‎∴m2=2n,‎ ‎∴切线方程是mx-2n=y-n,即mx=y+n.‎ ‎(2)直线MF与直线l的位置关系是垂直.证明如下:‎ 由(1)得,设切点为P(m,n),则切线l的方程为mx=y+n,‎ ‎∴切线l的斜率k=m,点Mnm‎,0‎.‎ 又点F‎0,‎‎1‎‎2‎,‎ 此时,kMF=‎1‎‎2‎‎-0‎‎0-‎nm=-m‎2n=-m‎2×‎‎1‎‎2‎m‎2‎=-‎1‎m,‎ ‎∴k·kMF=m·‎-‎‎1‎m=-1,‎ ‎∴直线MF⊥直线l.‎ 方法技巧 直线与圆锥曲线的位置关系问题可以转化为相应方程组的解来讨论,即联立方程组Ax+By+C=0,‎f(x,y)=0,‎通过消去y(或消去x)得到关于x(或y)的方程ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0),然后进行讨论.这时要注意考虑a=0和a≠0两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除a≠0,Δ=0外,直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行时,都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).由此可见,直线与圆锥曲线只有一个公共点,并不是直线与圆锥曲线相切的充要条件.‎ ‎　　分类透析三　弦长问题 例3 设椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的短轴为2‎3‎,E上一点P到右焦点距离的最小值为1.‎ ‎(1)求椭圆E的方程;‎ ‎(2)过点(0,2)且倾斜角为60°的直线交椭圆E于A,B两点,求△AOB的面积.‎ ‎　　分析 (1)根据已知条件寻找a,c的关系,进而解出a,c 及b的值;‎ ‎(2)先求出弦长|AB|,再求出点O到直线的距离可求△AOB的面积.‎ 解析 (1)由题意得b=‎3‎,且a-c=1,∴‎a‎2‎‎-c‎2‎=3,‎a-c=1,‎ 解得a=2,‎c=1,‎∴椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)过点(0,2)的直线的方程为y=‎3‎x+2,‎ 代入椭圆方程x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1,可得15x2+16‎3‎x+4=0,判别式Δ>0恒成立.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-‎16‎‎3‎‎15‎,x1x2=‎4‎‎15‎,‎ ‎∴|AB|=‎1+‎k‎2‎|x1-x2|‎ ‎=2‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-4‎x‎1‎x‎2‎=‎8‎‎33‎‎15‎.‎ 由点O到直线AB的距离d=‎2‎‎1+(‎‎3‎‎)‎‎2‎=1,‎ ‎∴S△AOB=‎|AB|‎‎2‎·d=‎4‎‎33‎‎15‎.‎ 方法技巧 解决直线与圆锥曲线的相交弦长问题时,一方面,我们要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化),把它转化为代数问题,通过代数的计算,使问题得到解决;另一方面,由于弦长问题和平面几何联系得非常紧密,因此,我们要勤动手,准确地作出图形,并充分挖掘几何图形中所隐含的条件,利用几何知识使问题较为简捷地得到解决,注意圆锥曲线的几何性质的运用.‎ ‎1.(2018年全国Ⅱ卷,文20改编)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且斜率为1的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且圆心到直线l的距离为2‎2‎的圆的方程.‎ 解析 (1)由题意得Fp‎2‎‎,0‎,直线l的方程为y=x-p‎2‎.设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由y=x-p‎2‎,‎y‎2‎‎=2px得x2-3px+p‎4‎‎2‎=0.‎ 又Δ=8p2>0,故x1+x2=3p.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=x‎1‎‎+‎p‎2‎+x‎2‎‎+‎p‎2‎=4p.‎ 由题意知4p=8,解得p=2,‎ 所以抛物线C的方程为y2=4x.‎ ‎(2)因为圆心到直线l的距离为2‎2‎,|AB|=8,易得圆的半径r=2‎6‎.‎ 由(1)得直线l的方程为y=x-1,AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 y‎0‎‎=-x‎0‎+5,‎‎|x‎0‎-y‎0‎-1|‎‎2‎‎=2‎2‎,‎解得x‎0‎‎=5,‎y‎0‎‎=0‎或x‎0‎‎=1,‎y‎0‎‎=4.‎ 因此所求圆的方程为(x-5)2+y2=24或(x-1)2+(y-4)2=24.‎ ‎2.(2016年全国Ⅱ卷,文20改编)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1的焦点在x轴上,椭圆E的左顶点为A,斜率为k(k>0)的直线交椭圆E于A,B两点,点C在椭圆E上,AB⊥AC,直线AC交y轴于点D.‎ ‎(1)当点B为椭圆的上顶点,△ABD的面积为2ab时,求椭圆的离心率e;‎ ‎(2)当b=‎3‎,2|AB|=|AC|时,求k的取值范围.‎ 解析 (1)由题意知,直线AB的方程为y=bax+b,‎ 直线AC的方程为y=-ab(x+a),令x=0,得y=-a‎2‎b.‎ 又S△ABD=‎1‎‎2‎·b+‎a‎2‎b·a=2ab,‎ 于是a2+b2=4b2,a2=3b2,所以e=ca=‎6‎‎3‎.‎ ‎(2)设直线AB的方程为y=k(x+a),‎ 联立x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎y=k(x+a),‎整理得(3+a2k2)x2+2a3k2x+a4k2-3a2=0,解得x=-a或x=-a‎3‎k‎2‎‎-3a‎3+‎a‎2‎k‎2‎,‎ 所以|AB|=‎1+‎k‎2‎·‎-a‎3‎k‎2‎‎-3a‎3+‎a‎2‎k‎2‎+a=‎1+‎k‎2‎·‎6a‎3+‎a‎2‎k‎2‎.‎ 设直线AC的方程为y=-‎1‎k(x+a),‎ 同理可得|AC|=‎1+‎k‎2‎·‎6a‎3k+‎a‎2‎k.‎ 因为2|AB|=|AC|,所以2·‎1+‎k‎2‎·‎6a‎3+‎a‎2‎k‎2‎=‎1+‎k‎2‎·‎6a‎3k+‎a‎2‎k,整理得a2=‎6k‎2‎-3kk‎3‎‎-2‎.‎ 因为椭圆E的焦点在x轴上,所以a2>3,即‎6k‎2‎-3kk‎3‎‎-2‎>3,‎ 整理得‎(k‎2‎+1)(k-2)‎k‎3‎‎-2‎<0,解得‎3‎‎2‎b>0)的离心率为‎1‎‎2‎,右焦点F(1,0).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)点P在椭圆C上,且在第一象限内,直线PQ与圆O:x2+y2=b2相切于点M,且OP⊥OQ,求点Q的纵坐标t的值.‎ 解析 (1)由题意得ca=‎1‎‎2‎,c=1,‎ ‎∴a=2,∴b=a‎2‎‎-‎c‎2‎=‎3‎,‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)①当PQ⊥x轴时,P‎3‎‎,‎‎3‎‎2‎,Q(‎3‎,t),‎ 由OP⊥OQ得OP·OQ=0,可得t=-2‎3‎.‎ ‎②当PQ不垂直于x轴时,设P(x0,y0),直线PQ的方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0.‎ ‎∵PQ与圆O相切,∴‎|kx‎0‎-y‎0‎|‎k‎2‎‎+1‎=‎3‎,‎ ‎∴(kx0-y0)2=3(k2+1),‎ ‎∴2kx0y0=k2x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎-3k2-3.‎ 又∵Q(t-y‎0‎+kx‎0‎k,t),‎ ‎∴由OP·OQ=0,得t=x‎0‎‎(y‎0‎-kx‎0‎)‎x‎0‎‎+ky‎0‎.‎ ‎∴t2=x‎0‎‎2‎‎(y‎0‎-kx‎0‎‎)‎‎2‎‎(x‎0‎+ky‎0‎‎)‎‎2‎=‎x‎0‎‎2‎‎(y‎0‎-kx‎0‎‎)‎‎2‎x‎0‎‎2‎‎+k‎2‎y‎0‎‎2‎+2kx‎0‎y‎0‎ ‎=‎x‎0‎‎2‎‎(3k‎2‎+3)‎x‎0‎‎2‎‎+k‎2‎y‎0‎‎2‎+k‎2‎x‎0‎‎2‎+y‎0‎‎2‎-3k‎2‎-3‎ ‎=x‎0‎‎2‎‎(3k‎2‎+3)‎‎(1+k‎2‎)x‎0‎‎2‎+(1+k‎2‎)(3-‎3‎‎4‎x‎0‎‎2‎)-3k‎2‎-3‎=12,‎ ‎∴t=±2‎3‎.‎ 综上可得,t=±2‎3‎.‎ ‎2.(2018届贵州省黔东南州一模)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,动直线l:x-my-1=0(m∈R)经过点F2,且△AF1F2是等腰直角三角形.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设直线l交C于M,N两点,若点A在以线段MN为直径的圆外,求实数m的取值范围.‎ 解析 (1)因为直线l:x-my-1=0经过点F2,所以c=1.‎ 又△AF1F2是等腰直角三角形,所以a2+a2=(2c)2,‎ 所以a2=2,所以b2=a2-c2=1.‎ 故椭圆C的方程为x‎2‎‎2‎+y2=1. ‎ ‎(2)设M(my1+1,y1),N(my2+1,y2),‎ 联立x-my-1=0,‎x‎2‎‎2‎‎-y‎2‎=1,‎消去x得(m2+2)y2+2my-1=0,‎ 所以y1+y2=-‎2mm‎2‎‎+2‎,y1y2=-‎1‎m‎2‎‎+2‎.‎ 因为点A在以线段MN为直径的圆外等价于AM·AN>0,‎ 所以AM·AN=(m2+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=(m2+1)‎-‎‎1‎m‎2‎‎+2‎+(m-1)‎-‎‎2mm‎2‎‎+2‎+2>0,所以m2-2m-3<0,解得-1r,此时不满足直线与圆相交,故舍去,‎ ‎∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.‎ ‎(3)点B(0,2)关于直线x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|.‎ 又点B'到圆上点Q的最短距离为 ‎|B'C|-r=‎(-6‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎-‎5‎=3‎5‎-‎5‎=2‎5‎,‎ ‎∴|PB|+|PQ|的最小值为2‎5‎,直线B'C的方程为y=‎1‎‎2‎x,‎ 则直线B'C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为‎-‎4‎‎3‎,-‎‎2‎‎3‎.‎ ‎4.(安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测)直线y=kx+4与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A,B两点,且OA·OB=0,其中O为原点.‎ ‎(1)求抛物线C的方程;‎ ‎(2)当k=0时,过点A,B分别作C的切线相交于点D,点E是抛物线C上在A,B之间的任意一点,抛物线C在点E处的切线分别交直线AD和BD于点P和Q,求△ABE与△PQD的面积之比.‎ 解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+4代入x2=2py,得x2-2pkx-8p=0.‎ 其中Δ>0,x1+x2=2pk,x1x2=-8p.‎ 所以OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+x‎1‎‎2‎x‎2‎‎2‎‎4‎p‎2‎=-8p+16.‎ 由-8p+16=0,得p=2.‎ 所以抛物线C的方程为x2=4y.‎ ‎(2)当k=0时,A(-4,4),B(4,4),易得抛物线C在点A,B处的切线方程分别为y=-2x-4,y=2x-4,从而得D(0,-4).‎ 设E(2a,a2)(-2

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