广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：圆锥曲线

广东省2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练 圆锥曲线 一、选择、填空题 ‎1、（广州市2018届高三3月综合测试（一））椭圆上一动点到定点的距离的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考），若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎ ‎ ‎3、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）已知分别为双曲线 的左顶点、右焦点以及右支上的动点,若恒成立，则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎4、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）双曲线的一条渐近线截圆为弧长之比是1:2的两部分，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎2 C. D. ‎ ‎5、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为 ‎ A. B. C. D.3‎ ‎6、（广州市2019届高三12月调研）已知双曲线的中心为坐标原点，离心率为，点在上，则的方程为 A． B． C． D．‎ ‎7、（惠州市2019届高三4月模拟）已知圆与抛物线交于、两点，与抛物线的准线交于、两点，若四边形是矩形，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8、（江门市 2019届普通高中高三调研）已知双曲线的一个顶点为，一个焦点为，过作垂直于实轴的直线交双曲线于、，是坐标原点，若、、成等比数列，则双曲线的离心率 ．‎ ‎9、（惠州市2019届高三第三次调研）已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10、（揭阳市2019届高三学业水平考试）若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为 A． B． C． D． ‎ ‎11、（雷州市2019届高三上学期期末）已知双曲线C： 的离心率为 ，则C的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎12、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）已知圆O:x2 + y2 = 4 ( O为坐标原点)经过椭圆C:的短轴端点和两个焦点， 则椭圆C 的标准方程为 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎13、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）已知双曲线 的离心率为2，左右焦点分别为，点在双曲线上，若的周长为，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎14、（湛江市2019届高三调研）双曲线的焦点到渐近线的距离为 A． B． C． D．‎ ‎15、（肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测）已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为 A． B． C． D．‎ ‎16、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）如图，椭圆的上顶点、左顶点、左焦点分别为B、A、F，中心为O，其离心率为，则 ‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎17、（珠海市2019届高三上学期期末）双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为 A． 　　 B．　　　　C． 　 D．‎ ‎18、（佛山市2019届高三教学质量检测（一））已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x﹣y+1＝0，F是C的焦点，P是l上一点过P作抛物线C的一条切线与y轴交于Q，则△PQF外接圆面积的最小值为（　　）‎ A． B． C． D．2π ‎19、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知F为抛物线的焦点，过点F的直线与C相交于A，B两点，且，则 A.6 B‎.8 C.10 D.12‎ ‎20、（广州市2019届高三12月调研）已知椭圆Γ： 的长轴是短轴的2倍，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则 A. B. C. D. ‎ ‎21、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）设双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2， 过 F1 的直线l 交双曲线左支于 A、 B两点， 则| AF2 | + | BF2 |的最小值等于 ___________ ‎ ‎22、（佛山市2019届高三教学质量检测（一））已知双曲线（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为　 　．‎ 参考答案：‎ 一、选择、填空题 ‎1、B　　2、D　　　3、C　　　4、B　　　5、C ‎6、B　　　7、C　　　8、　　　9、D　　　10、C ‎11、C　　　12、B　　　13、B　　　14、C　　　15、B ‎16、A　　　17、B　　　18、A　　　19、B　　20、D ‎21、答案：16‎ 解析：由双曲线的定义，可知：｜AF2｜－｜AF1｜＝‎2a，｜BF2｜－｜BF1｜＝‎2a，‎ ‎22、‎ 二、解答题 ‎1、（广州市2018届高三3月综合测试（一））已知两个定点和，动点满足．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若，为（1）中轨迹上两个不同的点，为坐标原点．设直线，，的斜率分别为，，．当时，求的取值范围．‎ ‎2、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第一次联考）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线， （为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，‎ 求实数的取值范围．‎ ‎3、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）如图，已知，分别为椭圆：的上、下焦点，是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点，且．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）与圆相切的直线：（其中）交椭圆于点，，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．‎ ‎4、（仲元中学等七校2019届高三第一次（8月）联考）已知，是椭圆：的左、右焦点，恰好与抛物线的焦点重合，过椭圆的左焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点，过斜率为的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．‎ ‎5、（广州市2019届高三3月综合测试（一））已知椭圆的一个焦点为 ‎，点在C上。‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若在在，求点M的坐标:若不存在，说明理由。‎ ‎6、（广州市2019届高三12月调研）已知动圆过定点，且与定直线相切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎7、（惠州市2019届高三4月模拟）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线、，其中直线交椭圆于P、Q两点，直线交直线于M点，求证：直线OM平分线段PQ．‎ ‎8、（江门市 2019届普通高中高三调研）过抛物线：的焦点的直线交抛物线于两点、，线段的中点为．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）经过坐标原点的直线与轨迹交于、两点，与抛物线交于点（），若，求直线的方程．‎ ‎9、（惠州市2019届高三第三次调研）已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若椭圆的右焦点到直线的距离是3.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的直线与该椭圆交于另一点，当弦的长度最大时，‎ 求直线的方程.‎ ‎10、（揭阳市2019届高三学业水平考试）设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标．‎ ‎11、（雷州市2019届高三上学期期末）如图，已知抛物线：和⊙ ，过抛 线上一点 作两条直线与⊙相切于A、B两点，分别交抛物线于E、‎ F两点，圆心点到抛物线准线的距离为 ．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当 的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；‎ ‎（Ⅲ）若直线AB在轴上的截距为，求的最小值．‎ ‎12、（汕头市2019年普通高考第一次模拟）已知抛物线 C 的标准方程为 y2 = 2 px( p > 0)， M 为抛物线 C 上一动点， A(a,0)(a ¹ 0) ，直线 MA 与抛物线 C 的另一个交点为 N． 当 A 为抛物线 C 的焦点且直线 MA 与其对称轴垂直时， DMON 的面积为 18。‎ ‎(1)求抛物线 C 的标准方程；‎ ‎(2)记t＝， 若 t 值与 M 点位置无关， 则称此时的点 A 为“稳定点”．请问：‎ 是否存在“稳定点”， 若存在， 请求出所有的“稳定点” ， 若不存在， 请说明理由． ‎ ‎13、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）已知椭圆:，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）如图，若直线与椭圆相交于且是圆的一条直径，求椭圆的标准方程.‎ ‎14、（湛江市2019届高三调研）已知椭圆：（）的离心率，且右焦点为．斜率为的直线与椭圆交于、两点，以为底边作等腰三角形，顶点为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）求的面积．‎ ‎15、（肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测）已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求面积的最大值.‎ ‎16、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知点在抛物线上且异于原点，点为直线上的点，且．求直线与抛物线的交点个数，并说明理由．‎ ‎17、（珠海市2019届高三上学期期末）动圆过定点，且与直线相切，设动圆圆心 的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）过点的直线交曲线于两个不同的点，过点分别作曲线的切线，且二者相交于点，若直线的斜率为，求直线的方程.‎ 参考答案：‎ 二、解答题 ‎1、‎ ‎2、解：（Ⅰ）椭圆的离心率，所以，……1分 又点在椭圆上，所以，解得，，……3分 ‎∴椭圆的方程为．……4分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为．‎ 由，消元可得，……5分 设，，则，，……6分 ‎ ……7分 ‎ = ……8分 由，得， ‎ ‎∵此等式对任意的都成立，所以，……9分 即．‎ 由题意得点在椭圆内，故，……10分 即，解得．……11分 ‎∴实数的取值范围是．……12分 ‎3、解：（1）由题意得，所以，又由抛物线定义可知，‎ 得，于是易知，从而，‎ 由椭圆定义知，，得，故，‎ 从而椭圆的方程为．‎ ‎（2）设，，，则由知，，，‎ 且，①‎ 又直线：（其中）与圆相切，所以有，‎ 由，可得（，），②‎ 又联立消去得，且恒成立，‎ 且，，‎ 所以，‎ 所以得，代入①式，得，‎ 所以，‎ 又将②式代入得，，，，‎ 易知，且，所以．‎ ‎4、（1）解：由题意，把代入椭圆，‎ 得，‎ 因此椭圆方程为. ……4分 ‎（2）直线方程为：，代入椭圆方程，‎ 并整理得， ……5分 设则有， ……6分 ‎ 点到直线AB的距离d ……9分 ‎ ……10分 令则 时，的面积取得最大值为，此时． ……12分 ‎5、‎ ‎ ‎ ‎6、（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离，与到定直线的距离相等，…1分 ‎ 由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，…2分 ‎ 其中．动圆圆心的轨迹的方程为． ………………………3分 ‎ 解法2：设动圆圆心，依题意：. ……………………2分 ‎ 化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程． ………………………3分 ‎（2）解：假设存在点满足题设条件．‎ 由可知，直线与的斜率互为相反数，即 ① …4分 直线的斜率必存在且不为，设, …………………………5分 由得． ……………………………6分 由,得或． ……………………………7分 设，则． …………………………………8分 由①式得,‎ ‎,即．‎ 消去，得, ………………………………………9分 ‎, …………………………………………………10分 ‎, ……………………………………………………11分 存在点使得． ……………………………………………12分 ‎7、【解析】（1）由得，所以…………1分 由点在椭圆上得解得， …………2分 ‎…………3分 所求椭圆方程为…………4分 ‎（2）解法一：当直线的斜率不存在时，直线平分线段成立…………5分 当直线的斜率存在时，设直线方程为， ‎ 联立方程得，消去得………6分 因为过焦点，所以恒成立，设，，‎ 则，…………7分 ‎…………8分 所以的中点坐标为…………9分 直线方程为，，可得，…………10分 所以直线方程为，‎ 满足直线方程，即平分线段…………11分 综上所述，直线OM平分线段PQ…………12分 ‎（2）解法二：因为直线与x=4有交点，所以直线的斜率不能为0，‎ 可设直线方程为，…………5分 联立方程得，消去得…………6分 因为过焦点，所以恒成立，设，，‎ ‎，…………7分 ‎…………8分 所以的中点坐标为…………9分 直线方程为，，由题可得，…………10分 所以直线方程为，‎ 满足直线方程，即平分线段…………11分 综上所述，直线OM平分线段PQ…………12分 ‎8、（Ⅰ）依题意，，设直线的方程为（）……1分 由得，即 ……2分 设、，则， ……3分 设，则， ……4分 消去参数得，动点的轨迹方程为 ……5分 ‎（方法二）设、、，则 ‎， ……2分 当时，，即 ……3分 依题意，，，‎ 所以，（） ……4分 当时，的中点为也满足上式，所以，动点的轨迹的方程为 ……5分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为（），‎ 由得，或，即 ……6分 由得， ……7分 设、，则，， ……8分 ‎ ……9分 由得 ……11分 解得（），，直线的方程为 ……12分 ‎9、【解析】（1）由题意，， …………1分 右焦点到直线的距离,，……2分 ‎………………3分 ‎∵椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为 ………………4分 ‎（2）〖解法1〗当不存在时， ………………5分 当存在时，设直线方程为，联立，得，…………6分 ‎………………7分 ‎ ‎………………8分 令则………………9分 所以，当，即，得时…………10分 的最大值为，即的最大值为…………11分 直线的方程为. ………………12分 ‎（2）〖解法2〗设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），……5分 设点对应的参数分别为，且;‎ 将参数方程代入椭圆方程可得：，‎ 化简可得：，…………6分 若，则上面的方程为，则,矛盾；…………7分 若，则，，‎ 则弦长为………8分 上式，…………9分 ‎……10分 当且仅当即或，时等号成立. …………11分 直线方程为：或.…………12分 ‎10、解：（1）依题意知,,------------------------------------------------------------------1分 ‎ ∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，‎ ‎∴，即，--------------------------------3分 ‎∴椭圆的方程为.-----------------------------------------4分 ‎（2）由（1）知，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，‎ 设直线BN的方程为，‎ 则直线BM的方程为：，------------------------------------------------------------5分 ‎ 由消去y得，----------------------------------------------6分 ‎ 解得：，,---------------------------------------------------------------7分 ‎∴‎ ‎∴,------------------------------------------------8分 ‎【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】‎ 在中，令得，即 ‎∴，-----------------------------------------------------------------------------------9分 在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴,‎ 即，整理得，‎ 解得，∵，∴，------------------------------------------------------11分 ‎∴点M的坐标为.---------------------------------------------------------------------------12分 ‎11、解：（Ⅰ）∵点到抛物线准线的距离为 ，…………………………………1分 ‎∴ ，即抛物线的方程为．…………………………………………………3分 ‎（Ⅱ）∵当的角平分线垂直轴时，点 ，‎ ‎∴ ，…………………………………………………………………………………4分 设 ， ，‎ ‎∴ ， ∴ ，…………………………………5分 ‎∴ ．………………………………………………………………………6分 ‎ ．…………………………………………………7分 ‎（Ⅲ）设点 ， ，． ‎ 以为圆心，为半径的圆方程为 ，……①‎ ‎⊙方程：．……② ………………………………………………………9分 -②得：‎ 直线的方程为 ．……………10分 当时，直线在轴上的截距 ， ‎ ‎∵关于的函数在单调递增， ∴．………………………………12分 ‎12、‎ ‎13、解：（1）由题意知点坐标为，代入椭圆方程可得，即，……… 2分 ‎∴， ∴，∴．……………… 4分 ‎（2）设椭圆方程为，直线为，…………… 5分 ‎（*）‎ ‎……………… 8分 又 ‎ 则……………… 10分 解得，此时，‎ 所以椭圆方程为 ……………… 12分 ‎14、解：（Ⅰ）由已知得，，解得． ………………………………1分 ‎ ，…………………………………………………………………2分 ‎ ∴椭圆的标准方程．…………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程得 ‎…………①， ………………………………………6分 设、，中点为，………………………7分 则，．……………………………………8分 因为是等腰的底边，所以． ………………………………9分 所以的斜率为，解得，‎ 此时方程①为． …………………………………………………10分 解得，，所以，，所以，‎ 此时，点到直线：的距离 ‎， ………………………………………………………11分 所以的面积． ……………………………………12分 ‎15、解：（1） 依题意可得解得，右焦点，‎ ‎，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为. …………3分 ‎（2）设，由得 ‎ ‎ 由得， …………6分 到的距离 ‎ …………9分 ‎ ‎ 当且仅当，即时，得，‎ 面积取得最大值. …………12分 ‎16、解：（1）抛物线的准线方程为，……………………………………1分 所以点到焦点的距离为．…………………………………2分 解得． …………………………………………………………3分 所以抛物线的方程为．………………………………………………4分 ‎（2）直线与抛物线只有一个交点，理由如下：……………………………5分 设点为，点为，焦点为．……………………6分 则，．由题意可得，…………7分 故 ．从而．……………………………… 8分 故直线的斜率 ．…………………………………………9分 故直线的方程为，即．①………10分 又抛物线的方程，②‎ 联立消去得 ，故，且．……………………11分 故直线与抛物线只有一个交点．………………………………………12分 ‎17、解：（1）设点，则 平方整理得：————————————————2分 ‎（2）由题意可知直线的斜率一定存在，否则不与曲线有两个交点 设方程为，且设点———————4分 得——————————————5分 则得————————————————6分 ‎　　　由得：　所以 ‎∴直线AM的方程为：　①‎ 直线BM的方程为：　②————————————————8分 ‎①－②得：，又， ‎　　　解得，，所以—————————10分 又，所以直线的斜率为，解得 直线的方程为————————————————12分