- 2021-04-26 发布 |
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文档介绍
【数学】2019届一轮复习人教A版 平面向量 学案
专题九 平面向量 【高考考场实情】 平面向量是高中数学的重要内容,也是高考考查的重要内容之一。高考对这部分的考查常以 选择、填空的形式出现,也常与解析几何交汇,题型较稳定,属中档题。平面向量既有代数 形式又有几何形式,作为工具的应用,它给平面解析几何奠定了必要的基础。 【考查重点难点】 平面向量在高考中主要包含以下几个考点:1)在平面几何图形中主要考查向量加法的平行 四边形法则及加减法的三角形法则;2)对共线向量定理的应用,主要考查应用向量的坐标 运算求向量的模;3)应用平面向量基本定理进行向量的线性运算;4)应用向量的垂直与共 线条件,求解参数;5)对平面向量数量积的运算、化简,向量平行与垂直的充要条件的应 用,并以平面向量的数量积为工具,考查其综合应用性问题,常与三角函数、解析几何等相 结合。另外,空间向量是平面向量的延伸,本文主要研究平面向量,下面我将对学生存在的 主要问题进行剖析,并提出相应的学习对策。 【存在问题分析】 问题(一). 不能准确理解向量的相关概念 【指点迷津】概念不清主要表现在向量的概念,平行向量、单位向量的概念;向量夹角的概 念等。 例 1 向量 ,则与 平行的单位向量的坐标为 【名师点睛】本题主要考查两个重要知识点,即平行向量和单位向量的概念,因混淆了“与 同 向 的 单 位 向 量 ” 和 “ 与 平 行 的 单 位 向 量 ” 这 两 个 不 同 的 概 念 , 出 现 错 解 : 因 为 故所求向量为 ,在复习时,只有深刻理解平行 向量和单位向量的概念,才能达到正确解题的目的。 ( 3,4)a = − a a a 2( 3) 4 5a = − + = 1 3 4( 3,4) ( , )5 5 5 a a = − = − 例 2 在边长为 1 的正三角形 中, 【解析】 【名师点睛】本题主要考查向量夹角的定义及数量积的计算公式,学生易错解如下: .这是由于对两向量夹角的概念理解不到位造成的,所以教学时必须强调 两向量夹角的前提是其起点要重合。 问题(二)运算理解不到位,不能合理选择算法 【名师点睛】学生存在的主要问题是:(1)对向量运算理解不到位,比如会错把数的乘法 的消去律运用在向量的数量积运算上;(2)算法选择不合理,学生往往选择常规解法,导 致过繁运算,计算量过大,甚至无法解答下去。只有熟练掌握向量的运算技巧,根据题设条 件合理选择算法,才能达到正确运算的目的。 例 3 已知 与 之间有关系 其中 。 (1)用 表示 ;(2)求 的最小值,并求此时 的夹角的大小. (2) , 即 ∴ 的最小值为 , ABC AB BC BC CA CA AB⋅ + ⋅ + ⋅ = AB BC BC CA CA AB⋅ + ⋅ + ⋅ = cos120 cos120 cos120AB BC BC CA CA AB= °+ °+ ° 1 1 1 3 2 2 2 2 = − − − = − AB BC BC CA CA AB⋅ + ⋅ + ⋅ = cos60 cos60 cos60AB BC BC CA CA AB= + + 1 1 1 3 2 2 2 2 = + + = ( ) ( )cos ,sin , cos ,sin ,a bα α β β= = a b 3 ,ka b a kb+ = − 0>k k a b⋅ a b⋅ a b⋅ kk 212 ≥+ 2 1 4 2 4 12 =≥+ k k k k a b⋅ 2 1 又 , ∴ .∴ , 此时 与 的夹角为 60° 【名师点睛】本题主要考查向量的数量积公式、向量的模以及将向量问题转化为实数计算的 意识,学生可能会把 直接坐标化,导致过繁运算,实际还是归结为运算不注 意算理的选择.在解决问题时,只有熟练掌握向量的运算技巧,根据题设条件选择合理的算 法,才能达到正确运算的目的。 例 4 是平面上一定点, 是平面上不共线的三个点,动点 满足 ,则 的轨迹一定通过 的 心. 【名师点睛】本题主要考查向量运算的几何意义及向量共线定理.本题学生产生的错因是对 理解不够。不清楚 的几何意义是 与 的角平分线有关. 的几何意义是与 共线同向的单位向量,因此掌握向 量运算的几何意义及向量共线定理是关键. 问题(三). 不能等价转换向量问题 【指点迷津】 学生主要问题体现在:题设条件问题转换不等价,在平时复习中,关注学 生对相关概念、定理、公式等的本质的挖掘与掌握至关重要。 例 5 设 若 与 的夹角为钝角,则 的取值范围为 【解析】 ,因为 为钝角,所以 且 与 不共线, 即 且 ,所以 且 . 【 名 师 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 向 量 的 夹 角 公 式 , 学 生 易 错 解 如 下 : cosa b a b θ⋅ = ⋅ ⋅ 1a b= = 1 1 1 cos2 θ= × × 60oθ = a b ,ka b a kb+ − O , ,A B C P ( ), | | | | AB ACOP OA AB AC λ= + + [0, )λ ∈ +∞ P ABC∆ ),0[), |||| ( +∞∈++= λλ AC AC AB ABOAOP || AB AB || AC AC+ BAC∠ || AB AB AB ( ) ( )3 2 1a x, ,b , ,= = − a b x 2 2 3cos | || | 9 5 a b x a b x θ ⋅ −= = + × θ 0cos <θ a b 032 <−x 3 2x− ≠ × 3 2x < 6x ≠ − ,因为 为钝角,所以 .这是由于问题转换不等 价造成的,其实向量 与 的夹角为钝角的充要条件是 且 与 不共线.这里, 与 不共线不能忽略. 例 6 向量 、 都是非零向量,且向量 与 垂直, 与 垂 直,求 与 的夹角. 【名师点睛】本题主要考查向量的垂直,向量的数量积及夹角公式,本题易出现下列错解: 由题意,得 ,① ,② 将①、②展开并相 减,得 ,③ ∵ ,故 ,④ 将④代入②,得 , 则 , 设 与 夹角为 ,则 . 又∵ , ∴ . 此解法表面上是正确的,但却存在着一个理解上的错误,即由③得到④,错把数的乘法的消 去律运用在向量的数量积运算上.深刻理解数量积的运算律,掌握其本质非常关键。学 8 问题(四). 不能合理选择基底 【指点迷津】学生主要问题体现在:不能合理选择基底解决问题,原因是学生对于平面向量 基本定理并没有真正理解,所以在复习中,深刻理解平面向量基本定理,让学生真正掌握定 理的本质及解决问题的技巧是关键。 例 7 在 中, ,若点 D 满足 ,则 =( ) A. B. C. D. 2 2 3cos | || | 9 5 a b x a b x θ ⋅ −= = + × θ 0cos <θ a b a b⋅ 0 < a b a b a b 3a b+ 7 5a b− 4a b− 7 2a b− a b ( ) ( )3 7 5 0a b a b+ ⋅ − = ( ) ( )4 7 2 0a b a b− ⋅ − = 246 23a b b⋅ = 0b ≠ 1 2a b= 2 2 a b= a b= a b θ 2 2 1 12cos 2 ba b a b b θ ⋅= = = ⋅ 0 θ≤ ≤180 60θ = ABC∆ ,AB c AC b= = 2BD DC= AD 2 1 3 3b c+ 2 5 3 3b c− + 2 1 3 3b c− 1 2 3 3b c+ 【解析】法 1: = .故选 A. 法 2:特殊化思想:把此三角形特殊为等腰直角三角形,并把点 置于原点 , 且设 , 则 ,所以 ,故选 A. 法 3:因为 ,由定比分点线性表示知 ,故选 A. 【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念及线性表示,用几个基本向量表示某个向量问题 的基本技巧:(1)①观察各向量的位置;②利用回路法,寻找相应的三角形或多边形;③ 运用法则找关系;④化简结果. 也可以利用定比分点,若 则 . : xx ] 问题(五). 不能合理运用向量解决问题 【指点迷津】考查向量语言, 体现向量的的工具性,解决平行与垂直的问题,与三角函数 和解析几何的交汇是高考常见题型,学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识,导致 运算量过大,甚至无法解答下去,因此,在复习中教师应重视向量在这方面的运用指导,引 导学生拓展思路,必定会有意想不到的神奇效果。 例 8 在 中 , 内 角 的 对 边 分 别 为 , 已 知 . (1)求 ; (2)若 ,且 边的中线 ,求 的值. 2 3AD AB BD AB BC= + = + 2 ( )3c b c= + − 2 1 3 3b c+ A O 1AB AC= = 1 2(1,0), (0,1), ( , )3 3B C D 1 2 2 1 3 3 3 3AD AB AC b c= + = + 2BD DC= 2 2 1 1 2 3 3 AB ACAD b c += = ++ ( ),BD DC Rλ λ= ∈ 1 AB ACAD λ λ += + ABC∆ , ,A B C , ,a b c 2 2 2 24 cos 2 A Cac a c b + = + − B 3c = AC 13 2BM = a (2)∵ 为 边的中点,∴ , 两边同时平方,得 即 , , 整 理 , 得 ,解得 或 (舍去).∴ 【名师点评】本题主要考查三角诱导公式,二倍角公式,余弦定理以及应用平面向量解决问 题的意识。对于第(Ⅱ)问,题中未出现平面向量,如果按照常规思路,只会想到正、余弦 定理及方程思想,则运算量较大,导致解题速度慢或出错.但如果学生有主动运用平面向量 的意识, 可使代数问题向量化——充分体现向量的工具性、桥梁作用,会大大减少运算量, 从而轻松解决问题,体现了不同层次学生的思维能力. 【解决问题对策】 1.加强概念学习,注重本质理解 【指点迷津】在平面向量的概念复习中,如何让学生迅速把握住本质,达成理解?重温概念 的来龙去脉,理清知识 络,通过比较,对向量的概念进行辨析,在此基础上,抓住向量的 两个要素:大小、方向进行拓展,将向量概念精准化.学生存在的问题之一是:概念不清, 符号表示混乱,针对此问题,一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调,另一 方面,也可设置一些判断题,帮助学生辨析概念. 例 9.①若 与 为非零向量,且 时,则 必与 或 中之一的方向相同; ②若 为单位向量,且 ,则 ; ③ ; ④若 与 共线, 与共线,则 与必共线; BM AC 1 ( + )2BM BA BC= 2 2 21 ( + 2 )4BM BA BC BA BC= + ⋅ 2 213 1 1(3 + 2 3 )4 4 2a a= + × × × 2 3 4 0a a+ − = 1a = 4a = − 1a = ⑤若平面内有四个点 ,则必有 . 上述命题正确的有______.(填序号) 【答案】⑤ 【名师点睛】此题主要考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方 面的知识与技能,属于中低档题,也是平面向量的基础知识点.在此问题中,针对每个命题 的条件与结论,逐一对照平面向量相关的知识,进行运算、判断,抓住零向量方向的特殊性, 进行验证,从而问题可得解.学/ + 2.加强运算训练,关注算法选择 【指点迷津】单纯看向量的运算,实际上是比较抽象的.在复习中若能恰当运用模型,运用 类比,不仅可以降低难度,而且对于学生认识抽象的运算有很大的好处:比如说:向量这个 概念源于物理中的力、位移,那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型,依此 为基础很容易理解并记忆平行四边形法则和三角形法则。而向量的减法则可类比于数的减法 定义:在实数运算中,减法是加法的逆运算;于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运 算;在实数运算中,减去一个数,等于加上这个数的相反数。据此,复习相反向量的概念。 要注意向量运算与实数运算的差异,抓住“结果是什么?”“遵循什么样的运算律?”等问题, 在类比和辨析中掌握知识。逐渐渗透在集合上定义二元运算的准则.自然形成对于“逆运 算”、“逆元”等概念的了解.最终拓展学生对于运算的认识. 例 10 . 如 图 , 在 直 角 梯 形 中 , , , , , ,P 为线段 (含端点)上一个动点,设 , ,对 于函数 ,给出以下三个结论:①当 时,函数 的值域为 ;②对任意 ,都有 成立;③对任意 ,函数 的最大值都等于 4.④存在实数 , 使得函数 最小值为 0 .其中所有正确结论的序号是_________. ABCD //AB CD AB BC⊥ 2AB = 1CD = ( 0)BC a a= > AD AP xAD= PB PC y⋅ = ( )y f x= 2a = ( )f x [1,4] 0>a (1) 1f = 0>a ( )f x 0>a )(xf 【答案】②③④ 【解析】 ,因此当 时, 取得最大值为 ;④ 最小值为 ,当 时, .因此②③④正确. 3.重视几何特征,关注数形结合 【指点迷津】在“平面向量”的复习教学中,数形结合是重要的思想方法之一,理解向量 线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一,但学生往往不能做到恰当转化.数形结合 的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系,一方面复习中要时刻注意二者的联 系和相互表达,学会“看图说话”,另一方面也可选择恰当的例题,对某些几何特征量进行归 纳,逐渐学会“由数到形”.每种运算都要注意从几何和代数两个方面进行解读,两者并重。 但要真正掌握、运用这种思想方法,还需对数和形的实质加以挖掘.比如“向量的加法”复习 中,可从“位移的合成”引入三角形法则,这是向量加法的几何法则,将其代数化,就得到: 。代数化和形式化并不只是一种简洁的表示,还可挖掘其内在的含义:如 这个式子其实可以脱离图形而存在,进一步得到 . 例 11 已知正三角形 的边长为 ,平面 内的动点 满足 , ,则 的最大值是( ) P DC AB 2 2 4 1 2( 1) 2 ax a += >+ 0x = y (0) 4f = ( )f x 2 2 2 min 2 16( 1) ( 4) 4( 1) a ay a + − += + 2 2 2 (8 ) 4( 1) a a a −= + 2 2a = min 0y = AB BC AC+ = 1 2 2 3 1 1n n nA A A A A A A A−+ + + = ABC 2 3 ABC ,P M | | 1AP = PM MC= 2 | |BM A.43 4 B.49 4 C.37+6 3 4 D.37+2 33 4 轨迹是以 H 为圆心,r=1 2 为半径的圆,∴|BH|= ,∴|BM→ |的最大值为 3+r=3+1 2 =7 2 ,∴|BM→ |2 的最大值为49 4 . 4.重视方法训练,关注基底选择 【指点迷津】通过本专题的复习,研究用向量处理问题的两种方法:“向量法”和“坐标 法”.也即面对一个实际问题,要学会选择基底或者建立平面直角坐标系.本质上这两种方 法是统一的,其依据都是“平面向量基本定理”,后者是前者的特例.学生往往对于后者较为 熟悉,在给定的坐标系中会处理问题,但不善于自己选择基底.事实上,这种熟悉,对于很 多学生来说:只是一种简单的模仿和运算,而对于平面向量基本定理并没有真正理解。但课 标对于平面向量基本定理的要求,只限于“了解”。因此,若学生程度较好,可在正交基底的 基础上,引导学生选择其它的基底解决问题,强化平面向量基本定理的教 例 12 中, 为直角, , , 与 相交于点 , 设 , , (Ⅰ)试用 表示向量 ; (Ⅱ)在线段 上取一点 ,在 上取一点 ,使得 过点 ,设 , )2 3,2 3( 3)2 3()32 3( 22 =++ AOB∆ AOB∠ 1 4OC OA= 1 2OD OB= AD BC M OA a= OB b= ,a b OM AC E BD F EF M OE OAλ= ,求证: . 【解析】(Ⅰ)以 为原点,如图建立平面直角坐标系,设 , , 则 , ,设 ,则根据 在直线 上,也在直线 上,根据斜 率公式,可得: , , 解之得: ,所以 . (Ⅱ)由题可得 , ,由 三点共线,可证得 . OF OBµ= 1 3 17 7λ µ+ = O ( ,0)A u (0, )B v ( ,0)4 uC (0, )2 vD ( , )M x y 0 4 y v v ux − = − 2 2 0 v vy x u − = − 1 3( , ) ( , )7 7x y u v= 1 3 7 7OM a b= + ( ,0)uE λ (0, )vF µ , ,E M F 1 3 17 7λ µ+ = 由平面向量基本定理知: , 解之得, ∴ . (Ⅱ)若设 , ,则 ,[ :学 XX ] 又因为 三点共线,所以 .学 5 例 13 如图, , 点 在由射线 , 线段 及 的延长线围成的区域内(不 含边界)运动, 且 ,则 的取值范围是____ __;当 时, 的取 值范围是____ __. 【解析】如图,作 交 于 .则 , 由 点的位置不难知道 . 因此, ,也即 的取值范围是 当 时, ,所以此时, 的取值范围是 . 2 1 1 2 1 4 12 λλ λ λ − = = − 1 2 6 4,7 7 λ λ= = 1 3 7 7OM a b= + OE OAλ= OF OBµ= 1 3 1 3 7 7 7 7OM a b OE OFλ µ= + = + , ,E M F 1 3 17 7λ µ+ = //OM AB P OM OB AB OP xOA yOB= + x 1 2x = − y 1 2x = − 1 2y m n m= + = + y 1 3( , )2 2 5.强化问题意识,注重向量运用 【指点迷津】 学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识,学生处理问题的意识不是 一朝一夕形成的,教师要在教学中积极引导学生自觉地思考、转化、构图和变式,让学生不 断积累思维和活动经验,要加强教学过程中对学生思维、意识和能力的培养,注重过程强化, 关注解题过程的思维达成度,培养学生的悟性。 例 14 设实数 满足 , ,证明: 【解析】设 ,则由 得 , 即 , , 平方并整理得: ,故 ,同理可证, 例 15.如图,在三棱锥 中, , , 为 中点, 平面 , . (Ⅰ)证明: ; (Ⅱ)若 ,求二面角 的余弦值. [ : xx ] , ,x y z ( 0)x y z a a+ + = > 2 2 2 2 2 ax y z+ + = 2, , [0, ]3 ax y z ∈ ( , ), (1,1)m x y n= = | | | | | |m n m n⋅ ≤ ⋅ 2 2| ( , ) (1,1) | 2x y x y⋅ ≤ + ⋅ 2 2| | 2x y x y+ ≤ ⋅ + 2 2 2 2, 2 ax y a z x y z+ = − + = − 2 | | 2 2 aa z z∴ − ≤ ⋅ − 23 2 0z az− ≤ 2[0, ]3 az ∈ 2, [0, ]3 ax y∈ V ABC− 5 2VA VB VC= = = 6AB = D AB VO ⊥ ABC O CD∈ AC BC= 3 10AC = A VC B− − (Ⅱ)法一:过 作 交 于 ,连接 易得 , 结合图形知 就是二面角 的平面角 分 在 中,由等面积法可得 ,又 , 二面角 的余弦值为 法二:连接 , 由(Ⅰ)知 又 易得 设 则 过 作 结合(Ⅰ)知 两两垂直 可如图建立空间直角坐标系 易得 , , , , 设平面 的法向量为 B BF VC⊥ VC F AF AFC BFC∆ ≅ ∆ ∴ AF BF= AF VC⊥ ∴ AFB∠ A VC B− − θ VBC∆ 3 22 2FB = AF BF= 3 22 2 = 6AB = 2 2 2 63 7cos 2 99 11 FB FA AB FB FA θ + −∴ = = =⋅ ∴ A VC B− − 7 11 OB CD AB⊥ 2 2 9CD BC DB∴ = − = ,VA VB VC VO ABC= = ⊥ 平面 ∴ OB OC= =OB OC r= 2 2 2(9 ) 3r r− + = 5r∴ = 5 2VC = 5VO∴ = D DE ABC⊥ 平面 , ,DE DB DC ∴ D xyz− ( 3,0,0)A − (3,0,0)B (0,9,0)C (0,4,5)V ∴ (3,4,5)AV = (3,9,0)AC = VAC 1 1 1 1( , , )n x y z= 可取 设平面 的法向量为 同理可得 由图可知二面角 为锐角 二面角 的余弦值为 【新题好题训练】 1.在 中, , , , 是 上一点,且 ,则 等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 解得 ,所以 ,故选 C.学 7 ∴ 1 1 1 1 1 3 4 5 0 3 9 0 x y z x y + + = + = ∴ 1 (3,1,1)n = VBC 2 2 2 2( , , )n x y z= 2 ( 3,1,1)n = − 1 2 9 1 1 7cos , 1111 11 n n − + +∴ < >= = A VC B− − ∴ A VC B− − 7 11 2.已知不共线向量 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 , , ,即 故选 3.已知向量 , ,且 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 得 ,解得 . ∴ , ∴ .选 D. 4.如图,在圆 中,若 , ,则 的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 5.在边长为 2 的等边三角形 中,若 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.在 中,三顶点的坐标分别为 , , , 为以 为直角顶点的直角 三角形,则 __________. 【答案】 【解析】由已知, ,即 ,∴ ,解得 . 故答案为 3. 7.在平行四边形 中, , 为 的中点.若 ,则 的为 __________. 【答案】12 【 解 析 】 因 为 在 平 行 四 边 形 中 , , 又 , 所 以 ,所以 ,所以 ,故填 12. 8.若 则向量 与向量 夹角的大小是_______. 【答案】 [ :学 ][ : xx ] 【解析】由 得 9. 已 知 平 行 四 边 形 中, , ,点 是 中 点 , ,则 _________. 【答案】13. b 答案:13 点睛:给出向量 ,求 的三种方法: (1)若两个向量共起点,且两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的 起点不同,需要通过平移使它们的起点重合,然后再计算. (2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量 ,然后 再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解. (3)若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出 的坐标,通过坐标运算求解. 10 . 若 两 个 非 零 向 量 满 足 , 则 向 量 与 的 夹 角 为 __________. 【答案】 【解析】分析:先设 通过转化已知条件得到 再代入向量 的夹角的公式求得 即得向量 与 的夹角. 详解:设 则 ∴ , 故以 为邻边的平行四边形是矩形,且 设向量 与 的夹角为 θ, 则 cosθ= ∴θ= . 故填 . 点睛:在代入向量的夹角公式时,先要把公式的基本量计算好.本题结合题目,设 是 一个小的技巧,优化了解题,提高了解题效率.学· 1查看更多