中考数学专题复习练习：直线和圆的位置关系

中考数学专题复习练习：直线和圆的位置关系

例 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？‎ ‎（1）r=1cm； （2）r=cm； （3）r=2.5cm．‎ 分析 如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．‎ 解：过C点作CD⊥AB于D，‎ 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，‎ ‎ ∴AC=2‎ ‎ ，∴AB·CD=AC·BC，‎ ‎∴，‎ ‎ （1）当r =1cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离；‎ ‎ （2）当r=cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；‎ ‎ （3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交．‎ 说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系．‎ 例 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值．‎ 解：过C点作CD⊥AB于D，‎ 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，‎ ‎ ∴AC=2‎ ‎ ，∴AB·CD=AC·BC，‎ ‎∴，‎ ‎ （1）∵直线AB与⊙C相离，∴0rCD，即r>．‎ 说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径．‎ 例 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使Rt△PBC∽Rt△APD？‎ ‎ 分析：若Rt△PBC∽Rt△APD，则∠APD+∠BPC=90°，可知∠APB=90°，所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为⊙O与DC相切，所以存在一点P，使Rt△PBC∽Rt△APD．‎ ‎ 解：设以AB为直径的圆为⊙O，OP⊥DC，则：‎ OP为直角梯形ABCD的中位线，‎ ‎∴OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又∵OA=OB=AB/2=3，‎ ‎∴OP=OA，∴⊙O与DC相切，‎ ‎∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°．又∵∠PBC+∠BPC=90°，‎ ‎∴∠APD=∠PBC，又∵∠C=∠D=90°，∴Rt△PBC∽Rt△APD．‎ 因此， DC上存在点P，使Rt△PBC∽Rt△APD．‎ ‎ 说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O相交、相离．‎ 典型例题四 例 如图，直角梯形中，，，，为上的一点，平分，平分.求证：以为直径的圆与相切.‎ 分析：要证以为直径的圆与相切，只需证明的中点到的距离等于.‎ 证明 过点作于，‎ 同理可证：‎ 为的中点，‎ 即：以为直径的圆与相切.‎ 说明：在判定直线是圆的切线时，若条件没有告诉它们有公共点，常用的方法就是“距离判定”法，即先由圆心到该直线作垂线，证明圆心到该直线的距离恰好等于半径，从而得出直线是圆的切线的结论.‎ 典型例题五 例 已知中，，于，，，以为圆心，为半径画圆.求证直线和⊙相离.‎ 分析：欲证直线和⊙相离，只需计算点到的距离的长，若，则判定与⊙相离（如图）‎ 证明 于，‎ 是圆心到的距离 ‎∽.‎ 又 ‎⊙的半径为，‎ 故与⊙相离.‎ 典型例题六 例 已知：如图，已知正方形的边长为，和交于，过作分别交、，问以点为圆心，为半径的圆与直线、、的位置关系如何？‎ 分析：分别求出到直线、、的距离，进而与比较大小 解 四边形为正方形，边长为.‎ 于，‎ 又且过点，‎ ‎，且，而.‎ 圆的半径为.‎ 与⊙相切，与⊙相交，与⊙相离.‎ 说明：本题主要考查直线与圆的位置关系定理，关键是求出圆心到三条直线、、的距离，然后比较三个长度与半径的大小，即可证得。‎ 典型例题七 例 已知：如图，梯形ABCD中，，且，AB为⊙O的直径.求证：⊙O与CD相切.‎ 证明 过O作.则 ‎ 为AB中点，∴E为CD中点，∴‎ ‎⊙O的半径.‎ ‎∴⊙O与CD相切.‎ 说明：本题考查切线的判定，解题关键是作出圆心到直线的距离，再证明这个距离等于半径的长.‎ 选择题 ‎1．已知直线，在上取一点，过点与相切的圆有（）‎ A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个 ‎2．在中，，，，若以为圆心，为半径作圆，则斜边与⊙的位置关系是（）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 ‎3．已知圆的半径为，圆心到直线的距离为，那么这条直线和这个圆的公共点的个数是（）‎ A．0 B．1 C．2 D．不能确定 ‎4．已知圆的半径为，如果一条直线和圆心的距离为，那么这条直线和这个圆的位置关系是（）‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相离 ‎5．中，，，，以为圆心作⊙和相切，则⊙的半径长为（）‎ A．8 B．4 C． D．‎ ‎6．圆中最大的弦长为10，如果直线与圆相交，设直线与圆心的距离为，则（）‎ A． B． C． D．‎ 答案：‎ ‎1．D 2. C 3. C 4. B 5. D 6. D.‎ 填空题 ‎1、已知⊙O的直径为12cm．‎ ‎（1）若圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O 的位置关系为 ；‎ ‎（2）若圆心O到直线l的距离为6cm，则直线l与⊙O 的位置关系为 ；‎ ‎（3）若圆心O到直线l的距离为3cm，则直线l与⊙O 的位置关系为 ．‎ ‎2、已知⊙O的直径为10cm．‎ ‎（1）若直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离为 ；‎ ‎（2）若直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离为 ；‎ ‎（3）若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离为 ．‎ ‎3、两个同心圆，大圆半径R＝3 cm，小圆半径r＝2 cm，d是圆心到直线l的距离，当d=2 cm ，l与小圆的交点个数为 ， l与大圆的交点个数为 ；当d=2.5cm，l与小圆 的交点个数为 ， l与大圆的交点个数为 ．‎ ‎4、过圆上—点可以作圆的 条切线，过圆外一点可以作圆的 条切线，‎ 过 点，不存在圆的切线．‎ 参考答案：1、相离，相切，相交； 2、大于0小于5，等于5，大于5； ‎ ‎3、一个，两个；没有，两个； 4、一条，两条，圆内. ‎ 解答题 ‎1．已知⊙O中的最长的弦为8，当圆心到直线l的距离d为何值时，直线l与⊙O相切、相离、相交?‎ ‎2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=8cm，BC=4cm，以点C为圆心，半径分别为2cm和4cm画两个圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系?当半径多长时，AB与⊙O相切?‎ ‎3．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，切AD+BC=AB，AB为⊙O的直径，求证：⊙O与CD相切．‎ ‎4．中，是边上的高，且，、分别是，的中点，以为直径的圆与的位置关系如何？为什么？‎ ‎5．中，，，，⊙的半径为1，问当在什么范围内取值时，与⊙相离、相切、相交？‎ ‎6．已知的斜边，，以点为圆心，半径分别为和画两个圆，这两个圆与有怎样的位置关系？当半径多长时，与⊙相切？‎ ‎7．在中，，，若以为圆心，为半径的圆与 相切，求的度数。‎ ‎8．在中，，，，以为圆心，当半径多长时所作⊙与相切？相交？相离？‎ ‎9．在中，，是上的一点，且.以为圆心，为半径的圆与直线有怎样的位置关系？‎ ‎10．在中，，，，以为圆心，分别以3、4、5为半径作三个圆，记作⊙、⊙、⊙，判断直线与这三个圆的位置关系，并说明理由.‎ 答案：‎ ‎1.当d =4时，相切；当d ＞4时，相离；当0d <4时，相交． ‎ ‎2.提示：过点C作CF⊥AB于F，CF=2．当r =2cm时 CF＞r，∴圆与AB相离；当r=4cm时，CF＜r，∴圆与AB相交；当r=CF=2时，圆与AB相切．‎ ‎3.提示：过点O作OE⊥CD于E，利用梯形中位线可知，OE= （AD+BC）/2=AB/2=OA，∴⊙O与CD相切．‎ 切点个数为6．‎ ‎ ②当r＞9时，⊙O与△ABC不能相切，即切点个数为0． ‎ ‎4．相切 ‎5．时，与⊙相离. 时，与⊙相切. 时，与⊙相交 ‎6．以为半径时，直线与⊙相离；以为半径时，直线与⊙相交，以为半径时9，直线与⊙相切。‎ ‎7．‎ ‎8．，，‎ ‎9．⊙与相切 ‎10．⊙与相离，⊙与相切，⊙与相交.‎