高考数学专题复习（精选精讲）练习5-椭圆习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习5-椭圆习题精选精讲

椭 圆 ‎（1）第一定义——把椭圆从圆中分离 椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了中心和定长，但又产生了2个新的定点——焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.‎ ‎【例1】 若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是 （ ）‎ ‎.椭圆 .直线 .线段 .线段的中垂线.‎ ‎【解析】注意到且故点M只能在线段上运动，即点M的轨迹就是线段，选C.‎ ‎【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选A.‎ ‎（2）勾股数组——椭圆方程的几何特征 椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c，满足.在a、b、c三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.‎ 椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.‎ ‎【例2】已知圆，圆内一定点（3，0），圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程. ‎ ‎【解析】如图，设两圆内切于C，动点P（x，y），‎ 则A、P、C共线. 连AC、PB，∵‎ 为定长，而A（-3，0），B（3，0）为定点，∴圆心的 轨迹是椭圆.且.所求轨迹方程为：‎ ‎. ‎ ‎（3）第二定义——椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟 如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.‎ ‎【例3】已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2距离的比例中项.‎ ‎【解析】由椭圆方程知：.‎ 椭圆的左准线为：.设存在椭圆上一点P（x，y）‎ ‎（x<0）符合所设条件.作PH⊥l于H.令 ‎，则有：‎ ‎.但是 ‎.‎ ‎∴.又.‎ 这与矛盾.故在椭圆左侧上不存在符合题设条件的点. ‎ ‎● 通法 特法 妙法 ‎（1）解析法——解析几何存在的理由 解析法的实质是用代数的方法学习和研究几何.在解析几何的模式下，平面上任意一条曲线都唯一对应着一个二元方程.反之，根据任意一个二元方程，都可以用描点法唯一地画出它所对应的曲线.因此，可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式.‎ ‎【例4】点P（x，y）在椭圆上，则的最大值为 （ ）‎ A.1 B.‎-1 C. D. ‎ ‎【解析】设 方程（1）表示过椭圆上一点P（x，y）‎ 和原点的直线.显然当直线在椭圆上方且与椭圆相切时，‎ 最大.将方程（1）代入椭圆方程得：‎ ‎ ‎ 由于直线与椭圆相切，故方程（2）应有相等二实根.由 ‎.∵k>0，∴取，选D.‎ ‎【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零. ‎ ‎（2）导数法——把方程与函数链接 由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种.‎ ‎【例5】求证：过椭圆上一点的切线方程为：.‎ ‎【证明一】（解析法）设所求切线方程为：，代入椭圆方程：‎ ‎.化简得：‎ ‎∵直线与椭圆相切，∴方程（1）有相等二实根.其判别式△=0，即：‎ ‎.‎ 化简得：‎ ‎∵点在椭圆上，∴，方程（2）之判别式 ‎.‎ 故方程（2）亦有相等二实根，且其根为：‎ ‎.则切线方程为：‎ ‎.再化简即得：.‎ ‎【证明二】（导数法）对方程两边取导数：‎ ‎.则切线方程为：‎ ‎.再化简即得：.‎ ‎【评注】（1）两种证法的繁简相差多大，一看便知 ‎（2）这个切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.‎ ‎（3）几何法——为解析法寻根朔源 减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识.‎ ‎【例6】（07.湖南文科.9题）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】如图有，设右准线交x轴于H，‎ ‎∵‎ ‎，选D.‎ ‎【例7】已知椭圆和圆 总有公共点，则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎【解析】如右图椭圆的中心在原点，‎ 且长、短半轴分别为a=2，b=1；圆 的圆心为C（a，0）且半径R=1.‎ 显然，当圆C从椭圆左边与之相切右移到椭圆 右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3，故a∈，选C.‎ 在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.‎ ‎（4）转移法——将生疏向熟知化归 做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原则的.不失时机地运用前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体体现.‎ ‎【例8】（06.全国一卷.20题）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程 ‎【分析】点P在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上，‎ 是主动点；点M在未知轨迹上，且随着点P的运动而运动，是 被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标 转移法解之.此外，过椭圆上一点P的切线方程，可以直接运用 例5的结论.‎ ‎【解析】椭圆的半焦距，离心率 ‎.又椭圆的焦点在y轴上，故其 方程为：.‎ ‎ 设点P的坐标为那么 过点P的椭圆切线方程为：‎ 在方程（2）中，令y=0，得.‎ 设点M的坐标为.由OM=OA+OBÞ ‎，代入（1）：.‎ ‎∵，∴所求点M的轨迹方程是：.‎ 转移法求轨迹方程的基本步骤是：（1）在已知轨迹上任取一点M（x0，y0），并写出其满足的已知关系式；（2）设P（x，y）为待求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（3）用x，y的代数式分别表示x0，y0，代入（1）中的关系式化简即得.‎ ‎（5）三角法——与解析法珠联璧合 三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的三角形式是：，既将点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难.‎ ‎【例9】若P是椭圆上的点，F1和F2是焦点，则的最大值和最小值分别是 ‎【解析】椭圆的长、短半轴分别为a=2，b=，∴半焦距c=1.焦点坐标分别为：F1（-1，0），F2（1，0）.设椭圆上一点为，那么 ‎.‎ 同理；.于是 故所求最大值为4，最小值是3.‎ ‎【例10】如图1，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）在椭圆上任取三个不同点，‎ 使，证明 为定值，并求此定值.‎ ‎【分析】本题选自07.重庆卷.22题，是压轴题.‎ 难度很大.动手前一定要选择好恰当的破题路径，‎ 否则将陷入繁杂的计算而不得自拔.‎ ‎ 有关的3条线段都是焦半径，企图用椭圆的 第一定义或两点距离公式出发将是徒劳的.正确 ‎ 的解题途径是：（1）利用椭圆的第二定义；（2）‎ 题中有3个相等的角度，应不失时机地引入三角 知识.‎ ‎【解析】椭圆的半焦距c=3，右准线x = 12‎ 图2‎ ‎.‎ 故椭圆方程为：，其离心率.‎ 如图2设为椭圆上符合条件的三点，令.作P1H1⊥于H1，令，‎ 设∠P1Fx=θ则∠P2Fx=θ+120°∠P3Fx= 120°-θ.于是，而 ‎.‎ 同理：.于是 ‎，故为定值.‎ 如果读者有极坐标的有关知识，则本题的解法将更为简洁 圆锥曲线的极坐标方程是：.其中e是椭圆的离心率，p是相应焦点到准线的距离，θ是极径与极轴的夹角.‎ 巧用定义求椭圆中四类最值问题 圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。‎ 一、的最值 若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。‎ 例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。‎ 分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。‎ 二、的最值 若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。‎ 例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。‎ 解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）‎ 图1‎ 由椭圆的第一定义得：‎ 可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。‎ 故的最大值为，最小值为。‎ 三、的最值 若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。‎ 例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。‎ 解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为 图2‎ 根据椭圆的第二定义有：，即 可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。‎ 故的最小值为10。‎ 四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值 例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。‎ 解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”‎ 图3‎ 则 当且仅当AB过焦点F时等号成立。‎ 故M到椭圆右准线的最短距离为。‎ 评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。‎ ‎　‎ 椭圆中减少运算量的主要方法 椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法，以下的四种主要方法比较常用，能够有效地减少运算量，希望同学们切实掌握。‎ 一、追根溯源，回归定义 椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大大地减少运算量。‎ 例1. （全国高中数学联赛）给定A（-2，2），已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当取得最小值时，求B点坐标。‎ 分析：如果设点B的坐标，再求则计算量相当大，而如果利用椭圆的第二定义，把转化为B点到左准线的距离就简单的多。‎ 解：由已知椭圆方程得：，左准线为。如图1，过B点作左准线的垂线，垂足为N。过A点作此准线的垂线，垂足为M。根据椭圆的第二定义得：‎ 则（为定值）‎ 当且仅当B点是线段AM与椭圆的交点时等号成立。‎ 可解得B点的坐标是 二、充分运用平面几何性质 结合平面几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之一。‎ 例2. 椭圆的焦点为，点P为其上的动点。当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是____________。‎ 分析：用为钝角的充要条件和焦半径公式以及余弦定理解题，最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。而充分运用平面几何性质则会得以简解。‎ 解：依题意 以原点为圆心，为半径作圆，则是圆的直径。‎ 若P点在圆外，则为锐角；若P点在圆上，则为直角；若P点在圆内，则为钝角。‎ 联立 消去得：‎ 故即为所求。‎ 三、利用图形的性质化繁为简 细观题意，察看图形特征，从中找出解题突破口，也可以避免大量的运算。‎ 例3. （四川高中数学竞赛）已知P点在圆上移动，Q点在椭圆上移动，求的最大值。‎ 分析：如图2，本题如能从图形出发，看到的最大值，等于的最大值与圆的半径之和，则可避免大量的运算。‎ 图2‎ 解：设，则，即 的最大值为 四、利用“点差法”，设而不求 与弦中点的有关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中点的轨迹；求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用“点差法”减少运算量。‎ 例4. 椭圆中，过点P（1，1）的弦AB恰被点P平分，求弦AB所在的直线方程。‎ 解：设，则 由<1>－<2>得：‎ 则直线AB的斜率为：‎ 故弦AB所在直线的方程为：‎ 即 利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角换元等方法也能起到减少运算量、提高计算速度的作用，在此就不再赘述了。‎ 椭圆 ‎1已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆方程 ‎ 解 设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由 得(m+n)x2+2nx+n－1=0,‎ Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,‎ ‎∴+1=0,∴m+n=2 ①又22,将m+n=2,代入得m·n=②‎ 由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=1 ‎ ‎2‎ 圆中，求面积最小的圆的半径长。‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （III）面积最小的圆的半径应是点F到直线l的距离，设为r ‎ ‎ ‎ ‎3已知、是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足为坐标原点），，若椭圆的离心率等于 ‎ （Ⅰ）求直线AB的方程； （Ⅱ）若的面积等于，求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，椭圆上是否存在点M使得的面积等于？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.‎ 解： （Ⅰ）由知直线AB经过原点，又由 因为椭圆离心率等于，故 椭圆方程可以写成， 设所以，‎ 故直线AB的斜率，因此直线AB的方程为 ‎ ‎ （Ⅱ）连接AF1、BF1，由椭圆的对称性可知，‎ 所以故椭圆方程为 ‎ ‎ （Ⅲ）由（Ⅱ）可以求得 假设在椭圆上存在点M使得的面积等于，设点M到直线AB的距离为d，则应有，所以 ‎ 设M所在直线方程为与椭圆方程联立消去x得方程 即故在椭圆上不存在点M使得的面积等于 ‎4已知F1、F2是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足（O是坐标原点），若椭圆的离心率等于 （1）求直线AB的方程；‎ ‎ （2）若三角形ABF2的面积等于，求椭圆的方程；‎ ‎．解：（1）由知，由直AB经过原点，‎ 又由，因为椭圆的离心率等于，‎ 所以，故椭圆方程 设A (x，y)，由，知x = c，‎ ‎∴A (c，y)，代入椭圆方程得， 故直线AB的斜率 因此直线AB的方程为 ‎ ‎ （2）连结AF1、BF1、AF2、BF2，由椭圆的对称性可知， ‎ 所以，又由，解得，故椭圆的方程为 ‎5 已知椭圆，它的上下顶点分别是A、B，点M是椭圆上的动点（不与A、B重合），直线AM交直线y=2于点N，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎ （Ⅱ）若斜率为1的直线l交椭圆于P、Q两点，求证：与向量a=（－3，1）共线（其中O为坐标原点）.‎ ‎．解：（I）由题意，A（0，1），B（0，－1），设M（x0，y0），x0≠0. ‎ ‎ ∴则直线AM的方程为 ‎ ‎ ①， 又∵M（x0，y0）在椭圆上， ②‎ ‎①、②联立并消去y0，得 ∴椭圆方程为 ‎ ‎ （II）解法一：设直线PQ方程为y=x+b. ‎ 解法二：设①， ②.‎ ‎①－②，得，‎ ‎6已知直线相交于A、B两点，且（I）求椭圆C的离心率；‎ ‎（II）若椭圆C的右焦点关于直线l的对称点在圆上，求椭圆C的方程.‎ 解：（I）设. ‎ ‎ 由. ‎ ‎ 该方程的两根为，由韦达定理，得 ‎ ‎ ， ‎ ‎ （II）设椭圆的右焦点为F（c，0），F关于直线l的对称点为，‎ ‎ 则 ‎ ‎ 故所求椭圆方程为. ‎ ‎7已知定点A（－2，0），动点B是圆（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P。‎ ‎ （1）求动点P的轨迹方程；‎ ‎ （2）直线交P点的轨迹于M，N两点，若P点的轨迹上存在点C，使求实数m的值；‎ 解：（1）由题意：∵|PA|=|PB|且|PB|+|PF|=r=8∴|PA|+|PF|=8>|AF|∴P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆 设方程为 ‎（2）设 ‎ ‎ ‎………………………………14分 ‎8已知椭圆一个顶点为A（0，1），且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数.（I）求椭圆的方程；（Ⅱ）过A点且斜率为k的直线与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，并且满足，求k的值.‎ 解：（Ⅰ）∵双曲线∴椭圆的离心率为。‎ ‎∵椭圆的一个顶点为A（0，1），∴b=1‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去y并整理得 ‎ 显然这个方程有两解。设 即A（0，1），B ‎ 将E点的坐标代入到椭圆方程中，并去坟墓可得 展开整理得 ‎ 方法二：‎ ‎（Ⅱ）过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1，代入到椭圆方程中，消去y并整理得 ‎ ①显然这个方程有两解。设 ‎∵点M在C上，‎ ‎ ②‎ 又由①式知：‎ 代入到②式得 ‎ ‎9 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，经过点的直线l与向量（－2，）平行且通过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于A、B两点，又 （1）求直线l的方程； （2）求椭圆C的方程.‎ ‎（1）直线l过点且与向量（－2，）平行 则l方程为：化简为： ‎ ‎（2）设直线与椭圆交于A（‎ 由 ‎ 将中整理得 由韦达定理可知：………………9分 由①2/②知32b2=（4b2+5a2）（a2－1） 又=1，故可求得 因此所求椭圆方程为： ‎ ‎10已知椭圆的右焦点为F，短轴长，直线轴相交于点A，且，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若以PQ为直径的圆恰好经过原点，求直线PQ的方程。‎ 解：（Ⅰ）由已知得 解得 ∴ 椭圆的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（3，0） 设直线PQ的方程为 由方程组 ‎ 得 ‎ 依题意 得 ‎ 设 ‎ ‎ ‎∵解得 ∴直线PQ的方程为 ‎