湖北省武汉市部分学校2021届高三数学9月检测试卷（Word版附解析）

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湖北省武汉市2021届高三起点考数学试卷 ‎2020．9‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．设集合A＝，B＝，则AB＝‎ ‎ A．(﹣1，2) B．(0，2) C．(﹣1，3) D．(0，3)‎ ‎2．若为纯虚数，则实数a的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题p：所有的三角函数都是周期函数，则p为 A．所有的周期函数都不是三角函数 B．所有的三角函数都不是周期函数 C．有些周期函数不是三角函数 D．有些三角函数不是周期函数 ‎4．平面向量＝(2，1)，＝2，，则向量，夹角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆．学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有 ‎ A．6种 B．9种 C．12种 D．18种 ‎6．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则＝‎ ‎ A．2 B． C．3 D．4‎ ‎7．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是 15‎ ‎8．我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元 素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到 战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质 属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随 机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一 个相生关系和两个相克关系的概率为 ‎ A． B．‎ C． D． 第8题 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．无穷数列的前n项和，其中a，b，c为实数，则 A．可能为等差数列 B．可能为等比数列 C．中一定存在连续三项构成等差数列 D．中一定存在连续三项构成等比数列 ‎10．今年7月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业．一批影院恢复开放后，统计某连续14天的相关数据得到如下的统计表．其中，编号1的日期是周一，票房指影院票销售金额，观影人次相当于门票销售数量．‎ 15‎ 由统计表可以看出，这连续14天内 A．周末日均的票房和观影人次高于非周末 B．影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升 C．观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同 D．每天的平均单场门票价格都高于20元 ‎11．若，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，下列关于该函数结论正确的是 A．的图象关于直线x＝对称 B．的一个周期是2‎ C．的最大值为2 D．是区间(0，)上的增函数 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为 ．‎ ‎14．展开式中含项的系数为 ．‎ ‎15．设函数在区间[，]上的最小值和最大值分别为m和M，则m＋M＝ ．‎ ‎16．双曲线E：(a＞0，b＞0)的左焦点为F，过F作x轴垂线交E于点A，过F作与E的一条渐近线平行的直线交E于点B，且A，B在x轴同侧，若∠FAB＝30°，则E的离心率为 ．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 15‎ 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的数列存在，求数列的通项公式；若问题中的数列不存在，请说明理由．‎ 问题：是否存在等差数列，它的前n项和为，公差d＞0，， ?‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，AC＝AD＝1，AB＝3．‎ ‎（1）求cos∠BAD；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1⊥平面ACC1A1，∠CAA1＝60°，AB＝AA1＝1，AC＝2．‎ ‎（1）证明：AA1⊥B1C；‎ ‎（2）求二面角A—B1C—B的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三只小球逐个随机地放人四个盒子中，每只球的放置相互独立．‎ ‎（1）求三只小球恰在同一个盒子中的概率；‎ ‎（2）求三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；‎ ‎（3）记录所有至少有一只球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求EX．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 15‎ 椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，长轴端点和短轴端点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）点P是圆x2＋y2＝r2(r＞0)上异于点A(﹣r，0)和B(r，0)的任一点，直线AP与椭圆E交于点M，N，直线BP与椭圆E交于点S，T．设O为坐标原点，直线OM，ON，OS，OT的斜率分别为，，，．问：是否存在常数r，使得 ＋＝＋恒成立?若存在，求r的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点(e，)处的切线方程；‎ ‎（2）设，证明恰有两个极值点和，并求的值．‎ 湖北省武汉市2021届高三起点考数学试卷 ‎2020．9‎ 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．设集合A＝，B＝，则AB＝‎ ‎ A．(﹣1，2) B．(0，2) C．(﹣1，3) D．(0，3)‎ 答案：B 解析：∵集合A＝，B＝，‎ ‎ ∴AB＝(0，2)，故选B．‎ ‎2．若为纯虚数，则实数a的值为 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 15‎ 解析：，故a＝，选A．‎ ‎3．已知命题p：所有的三角函数都是周期函数，则p为 A．所有的周期函数都不是三角函数 B．所有的三角函数都不是周期函数 C．有些周期函数不是三角函数 D．有些三角函数不是周期函数 答案：D 解析：全称量词要变为存在量词，同时要否定结论，故选D．‎ ‎4．平面向量＝(2，1)，＝2，，则向量，夹角的余弦值为 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 解析：∵向量＝(2，1)，∴，‎ ‎ ∴cos<，>＝，故选A．‎ ‎5．某学校组织三个年级的学生到博物馆参观，该博物馆设有青铜器，瓷器，书画三个场馆．学校将活动时间分为三个时间段，每个时间段内三个年级的学生参观的场馆互不相同，并且每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，则不同的安排方法有 ‎ A．6种 B．9种 C．12种 D．18种 答案：C 解析：第一步，第一个时间段内，三个年级参观三个场馆有种；‎ ‎ 第二步，第二个时间段内，三个年级参观三个场馆，由于每个年级的学生在三个时间段内参观的场馆不重复，故在第一个时间段确定某种情况下，第二个时间段有2种情况；‎ ‎ 第三步，在前两个时间段的确定某种情况下，第三个时间段有1种情况．‎ ‎ 故共有×2×1＝12种情况，故选C．‎ ‎6．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则＝‎ ‎ A．2 B． C．3 D．4‎ 答案：C 15‎ 解析：设A、B两点的横坐标分别为，，故AB＝，故选C．‎ ‎7．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是 答案：D 解析：选项D中，MN平面ABC，故选D．‎ ‎8．我国古人认为宇宙万物是由金，木，水，火，土这五种元 素构成，历史文献《尚书·洪范》提出了五行的说法，到 战国晚期，五行相生相克的思想被正式提出．这五种物质 属性的相生相克关系如图所示，若从这五种物质属性中随 机选取三种，则取出的三种物质属性中，彼此间恰好有一 个相生关系和两个相克关系的概率为 ‎ A． B．‎ C． D． 第8题 答案：B 解析：从5个里面选3个共有10种情况，其中恰好有一个相生关系和两个相克关系的有5种情况，所以概率为，故选B．‎ 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）‎ ‎9．无穷数列的前n项和，其中a，b，c为实数，则 A．可能为等差数列 B．可能为等比数列 C．中一定存在连续三项构成等差数列 D．中一定存在连续三项构成等比数列 答案：ABC 15‎ 解析：当c＝0时，为等差数列，当c≠0时，且n≥2时，为等差数列，故AC正确，当a＝c＝0，b≠0时，是公比为1的等比数列，故B正确，至于D则是假命题，故选ABC．‎ ‎10．今年7月，有关部门出台在疫情防控常态化条件下推进电影院恢复开放的通知，规定低风险地区在电影院各项防控措施有效落实到位的前提下，可有序恢复开放营业．一批影院恢复开放后，统计某连续14天的相关数据得到如下的统计表．其中，编号1的日期是周一，票房指影院票销售金额，观影人次相当于门票销售数量．‎ 由统计表可以看出，这连续14天内 A．周末日均的票房和观影人次高于非周末 B．影院票房，第二周相对于第一周同期趋于上升 C．观影人次，在第一周的统计中逐日增长量大致相同 D．每天的平均单场门票价格都高于20元 答案：AB 解析：选项C，第一周前四天观影人次增长量大致相同，但是第5天开始增长量与前四天增长量不同；第4天的单场门票价格低于20元，故D错误；故选AB．‎ ‎11．若，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ 答案：BC 解析：当a＝，b＝1，c＝，可得A、D均不正确．‎ ‎ 根据，且，可得a＜1，c＞1，ab＜1，bc＞1，‎ 故，，故选BC．‎ ‎12．已知函数，下列关于该函数结论正确的是 A．的图象关于直线x＝对称 B．的一个周期是2‎ C．的最大值为2 D．是区间(0，)上的增函数 15‎ 答案：ABD 解析：‎ ‎，故A正确，‎ ‎，故B正确，‎ 由于，，故，C错误，‎ 当(0，)时，(0，1)且单调递增，故是区间(0，)上的增函数，同理可判断，是区间(0，)上的增函数，故是区间(0，)上的增函数，D正确．‎ 综上所述，本题选ABD．‎ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）‎ ‎13．某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为 ．‎ 答案：‎ 解析：该圆锥母线为4，底面半径为2，高为，．‎ ‎14．展开式中含项的系数为 ．‎ 答案：﹣26‎ 解析：，，，故含项的系数为﹣26．‎ ‎15．设函数在区间[，]上的最小值和最大值分别为m和M，则m＋M＝ ．‎ 答案：‎ 解析：，故m＋M＝‎ 15‎ ‎．‎ ‎16．双曲线E：(a＞0，b＞0)的左焦点为F，过F作x轴垂线交E于点A，过F作与E的一条渐近线平行的直线交E于点B，且A，B在x轴同侧，若∠FAB＝30°，则E的离心率为 ．‎ 答案：‎ 解析：A，B在x轴同侧，不妨取x轴上方，求得A(，)，B(，)，‎ ‎ ∵∠FAB＝30°，∴，化简得，两边平方并化简得，，求得．‎ 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的数列存在，求数列的通项公式；若问题中的数列不存在，请说明理由．‎ 问题：是否存在等差数列，它的前n项和为，公差d＞0，， ?‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ 解：方案一：选条件①‎ ‎∵，‎ ‎∴构成公差为的等差数列 ‎ ‎ ‎ 又，‎ ‎ 因此，选条件①时问题中的数列存在，此时．‎ 方案二：选条件②．‎ 15‎ ‎ 即 代入得，则 ‎∴，此时不符合条件 因此，选条件②时问题中的数列不存在，‎ 方案三：选条件③，‎ 由 代入得d＝2或d＝（舍），‎ 因此，选条件③时问题中的数列存在，此时．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，AC＝AD＝1，AB＝3．‎ ‎（1）求cos∠BAD；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ 解：（1）设∠BAD＝∠CAD＝，‎ 则△ABC面积，‎ ‎，‎ 即 又 ‎∴cos∠BAD＝．‎ ‎ （2）∵，∴，，‎ ‎ ∴．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，A1B1⊥平面ACC1A1，∠CAA1＝60°，AB＝AA1＝1，AC＝2．‎ 15‎ ‎（1）证明：AA1⊥B1C；‎ ‎（2）求二面角A—B1C—B的余弦值．‎ 解：（1）证明：连接A1C，在△A1AC中，A1C2＝AA12＋AC2﹣2AA1·AC·cos∠A1AC ‎ 即A1C2＝12＋22﹣2×1×2×cos60°＝3，于是A1C2＋AA12＝AC2‎ ‎ ∴AA1⊥A1C，‎ ‎ 又A1B1⊥平面ACC1A1，AA1平面ACC1A1，∴A1B1⊥AA1，‎ ‎ 而A1B1A1C＝A1，∴AA1⊥平面A1B1C，而B1C平面A1B1C，‎ ‎ ∴AA1⊥B1C ‎ （2）解：如图，以A1为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A1—xyz．‎ 设为平面AB1C的法向量，为平面BB1C的法向量， ‎ 则A1(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，，0)，B1(0，0，1)，B(1，0，1)，‎ 由得，，令则，‎ 由得，，令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴ 二面角A—B1C—B的平面角的余弦值为．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三只小球逐个随机地放人四个盒子中，每只球的放置相互独立．‎ ‎（1）求三只小球恰在同一个盒子中的概率；‎ ‎（2）求三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；‎ ‎（3）记录所有至少有一只球的盒子，以X表示这些盒子编号的最小值，求EX．‎ 解：（1）记“三只小球恰在同一个盒子”为事件A，‎ 15‎ 则 P(A)；‎ ‎（2）记“三只小球在三个不同盒子且每只球编号与所在盒子编号不同”为事件B 其中，三个盒子中不含4号盒子为事件B1，含4号盒子为事件B2，‎ 则 P(B1)＝，P(B2)＝‎ ‎∵事件B1，B2互斥，‎ ‎∴ P(B)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝，‎ ‎ （3）X 可能取值为1，2，3，4‎ ‎ P(X＝1)，‎ ‎ P(X＝2)，‎ ‎ P(X＝3)，‎ ‎ P(X＝4)，‎ ‎ E(X)＝．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 椭圆E：(a＞b＞0)的离心率为，长轴端点和短轴端点的距离为．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）点P是圆x2＋y2＝r2(r＞0)上异于点A(﹣r，0)和B(r，0)的任一点，直线AP与椭圆E交于点M，N，直线BP与椭圆E交于点S，T．设O为坐标原点，直线OM，ON，OS，OT的斜率分别为，，，．问：是否存在常数r，使得 ＋＝＋恒成立?若存在，求r的值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）设椭圆焦距为2c(c＞0)，‎ 15‎ ‎ 由，解得 ‎ ∴椭圆E的标准方程为，‎ ‎ （2）由题意直线AP，BP斜率存在且均不为0，设直线AP方程为 由得，，‎ 所以 又 从而①代入②得 又AP⊥BP，以替代k，以﹣r替代r，‎ 同理可得 ‎∴对恒成立，解得或（舍） ，‎ 经检验，此时，‎ 因此存在 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点(e，)处的切线方程；‎ ‎（2）设，证明恰有两个极值点和，并求的值．‎ 解：（1），，则，‎ ‎ ∴切线方程为，整理得：，‎ ‎ （2），‎ 15‎ ‎ 令，即 ‎ 由和在(0，1)和(1，)上单调递增，‎ ‎ ∴在(0，1)和(1，)上单调递增 ‎ 又，，‎ ‎ ∴存在唯一，使，‎ ‎ 当时，单调递增 ‎ 当时，单调递减 ‎ 又，，‎ ‎ ∴存在唯一，使，‎ ‎ 同理，当时，单调递减 ‎ 当时，单调递增，‎ ‎ ∴恰有两个极值点和 ‎ 当时，，则，‎ ‎ 又且，‎ ‎ ‎ 15‎