内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（理）试题

市一中2018～2019学年度第二学期第一次调研 高二数学（理科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.下列求导结果正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照基本初等函数的求导法则，求出、、、选项中正确的结果即可．‎ ‎【详解】对于A，，故A错误；‎ 对于B，，故B错误；‎ 对于C，，故C错误；‎ 对于D，，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查基本初等函数求导问题，解题时应按照基本初等函数的求导法则进行计算，求出正确的导数即可．‎ ‎2.已知复数的共轭复数，则复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数乘除运算化简，求得后得到答案 ‎【详解】，则，则复数 的虚部是.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题．‎ ‎3.一质点按规律运动，则其在时间段内的平均速度为（ ），在时的瞬时速度为（ ）.‎ A. 12，3 B. 10，‎5 ‎C. 14，6 D. 16，6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由变化率公式可得在时间段内的平均速度为，计算可得答案，求出函数的导数，进而可得的值，由瞬时变化率公式计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，一质点按规律运动，‎ 则其在时间段内的平均速度为，‎ 其导数，则，则在时的瞬时速度为 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查变化率的计算，关键是掌握变化率与瞬时变化率的定义，属于基础题．‎ ‎4.若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出复数z和,再求出在复平面内的共轭复数对应的点的位置得解.‎ ‎【详解】由题得，所以，‎ 所以在复平面内的共轭复数对应的点为，在第一象限.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎5.已知函数的图象与轴恰有两个公共点，则 A. 或2 B. 或‎3 ‎C. 或1 D. 或1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数判断函数的单调性求出极值点为，利用或可得结果.‎ ‎【详解】因为,所以f(x)的增区间为,减区间为,所以的极大值为，极小值为，因为函数的图象与轴恰有两个公共点,所以只须满足或，即或,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值以及函数的零点，属于中档题.对于与“三次函数”的零点个数问题，往往考虑函数的极值符号来解决,设函数的极大值为 ，极小值为 ：一个零点或；两个零点或；三个零点且.‎ ‎6.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：原函数的单调性是：当x＜0时，增；当x＞0时，单调性变化依次为增、减、增 故当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）的符号变化依次为+、-、+．‎ 考点：利用导数判断函数的单调性．‎ ‎7.用反证法证明命题“已知，如果可被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）‎ A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 不能被5整除 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“中至少有一个能被5整除”的否定是“都不能被5整除”．故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎8.方程在内实根的个数为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：令，由得或；由得；又f（0）=7＞0，f（2）=-1＜0，∴方程在（0，2）内有且只有一实根．故选B．‎ 考点：函数的零点．‎ ‎9.设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 题意即有大于0的实根,数形结合令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选A.‎ ‎10.已知与轴有3个交点，，且在，时取极值，则的值为（ ）‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 6 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定，由韦达定理可求，再求导函数，由，是的根，结合方程的根与系数关系即可得出结论．‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 又，，是两根，且．‎ 由韦达定理，‎ ‎，且在，时取得极值，‎ ‎，．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、韦达定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．‎ ‎11.在上可导的函数，当时取得极大值，当时取得极小值，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：在由所构成的三角形的内部，可看作点与点的连线的斜率，结合图形可知 考点：函数极值及线性规划 点评：函数在极值点处导数为零且在极值点两侧导数一正一负，线性规划问题取得最值的位置一般是可行域的顶点处或边界处，本题有一定的综合性 ‎12.定义在上的函数满足：则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，利用导数判断函数的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 ‎【详解】设，则，‎ 函数在定义域上单调递增，‎ ‎，，‎ 又，，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，一般：‎ ‎（1）条件含有，就构造；‎ ‎（2）若，就构造；‎ ‎（3），就构造；‎ ‎（4）就构造等便于给出导数时联想构造函数.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分.请将答案填在答题卷相应空格上.）‎ ‎13.函数的最大值是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过导数的符号得到函数的单调性，从而得到函数的最大值.‎ ‎【详解】，‎ 当，，所以在上单调递增；‎ 当，，所以在上单调递减；‎ 所以.‎ ‎【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在 上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．‎ ‎14.若在上是减函数，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得出对任意的恒成立，利用参变量分离法得出，求出二次函数在区间上的值域，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】，，‎ 由于函数在上是减函数，‎ 则对任意的恒成立，即，得，‎ 二次函数在区间上为增函数，则，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，一般转化为导数不等式在区间上恒成立，利用参变量分离法求解是一种常用的方法，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎15.已知椭圆（）的左右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交直线于，若在以线段为直径的圆上，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出直线的方程，将直线的方程与直线联立求出点的坐标，由题意得出 ‎，可解出，然后利用离心率公式可求得结果.‎ ‎【详解】设直线的方程为，联立，解得，即点的坐标为，‎ 因为在以线段为直径的圆上，所以，有，‎ 则，解得,则椭圆的离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】在解析几何问题中常常会遇见这样的问题：“点在以为直径的圆上”，常用的处理方法有两个：‎ 一是转成向量的数量积为，坐标化处理；‎ 二是转成斜率乘积为.‎ ‎16.已知函数，若对任意，存在，使得方程有解，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数判断的单调性，得出在，上的值域，从而得出的范围.‎ ‎【详解】，令，则，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 则，所以，则在上单调递增，‎ 所以在的值域为，‎ 因为对任意，存在，使得方程有解，‎ 所以，解得：.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和值域、方程有解问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意恒成立与有解的区别.‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）‎ ‎17.已知为复数，和均为实数，其中是虚数单位.‎ ‎(1)求复数和；‎ ‎(2)若在第四象限，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）， （Ⅱ） 或 ‎ ‎【解析】‎ ‎【试题分析】（1）依据题设建立方程求出，再求其模；（2）先求出，再建立不等式求解：‎ ‎（Ⅰ）设，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎ 或 点睛：本题旨在考查复数的有关概念及加减乘除等基本运算等有关知识的综合运用．求解时先，然后依据题设建立方程求出，再求其模；第二问时先求出，再建立不等式组求解得 或而获解.‎ ‎18.已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：函数在单调递减，若命题与命题都为假命题，求：实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得命题、的真假，再根据两个简单命题的真假得的取值范围.‎ ‎【详解】若真，则，解得：；‎ 若真，则在恒成立，∴；‎ 若命题与命题都为假命题，可知真，假；‎ ‎∴‎ 实数的取值范围为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程、复合命题的真假判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意、非，的真假判断.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，为的中点，平面，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，在面内，过作的垂线，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面．‎ ‎（2）求出平面的法向量和平面的法向量，由此利用向量法能求出面与面所成的二面角（锐角）的大小．‎ ‎【详解】（1）设，在面内，过作的垂线，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 由已知得，，，，，，‎ ‎，，1，，，0，，‎ ‎，，，，‎ 平面，平面，，‎ 平面．‎ ‎（2）设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 又平面的法向量，‎ 设平面与面所成的二面角（锐角）的平面角为，‎ 则，，‎ 面与面所成的二面角（锐角）的大小为．‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明、向量法求二面角的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力．‎ ‎20.设函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）设函数，若当时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出定义域、，分，两种情况进行讨论，通过解不等式，可得单调区间；‎ ‎（2）令，则，则问题转化为当时，恒成立，进而转化求函数的最大值问题．求导数，根据极值点与区间的关系进行讨论可求得函数的最大值；‎ ‎【详解】（1）解：因为，其中.所以，‎ 当时，，所以在上是增函数.‎ 当时，令，得，‎ 所以在上是增函数，在上是减函数.‎ ‎（2）令，则，‎ 根据题意，当时，恒成立 所以，‎ ‎①当时，时，恒成立.‎ 所以在上是增函数，且时，，‎ 所以当时，不会恒成立，故不符题意.‎ ‎②当时，时，恒成立.‎ 所以在上是增函数，且，时，，‎ 所以当时，不会恒成立，故不符题意.‎ ‎③当时，时，恒有，故在上是减函数，‎ 于是“对任意都成立”的充要条件是， ‎ 即，解得，故.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．‎ ‎21.已知双曲线：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.‎ ‎（1）求双曲线方程；‎ ‎（2）过点作两条相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点，求点到直线距离的最大值.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将的坐标代入双曲线的方程，再由点到直线的距离公式，可得，解得，进而得到双曲线的方程；‎ ‎（2）设，，直线的方程为，将代入中，整理得，根据可得的关系，从而将点到直线距离表示成关于的函数，再求最值。‎ ‎【详解】（1）∵双曲线过点，∴.‎ 不妨设为右焦点，则到渐近线的距离，‎ ‎∴，，‎ ‎∴所求双曲线的方程为.‎ ‎（2）设，，直线的方程为.‎ 将代入中，整理得.‎ ‎∴①，②，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴.③‎ 将①②代入③，得，‎ ‎∴而，∴，‎ 从而直线的方程为.‎ 将代入中，‎ 判别式恒成立，‎ ‎∴即为所求直线，该直线过定点，‎ 当时，点到直线距离取最大值.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程、点到直线距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量数量积的应用。‎ ‎22.已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线平行.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若对任意的，函数在区间上总不是单调函数，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），； （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由的图象经过可得，求得的导数，可得切线的斜率，由条件可得的方程，解得，即可得到；‎ ‎（2）求出函数的导数，结合函数零点存在定理，问题转化为 ‎，根据函数的单调性求出的范围即可．‎ ‎【详解】（1）因为函数的图象过点，‎ 所以，所以，即.‎ 因为函数在点处的切线与直线平行，所以，‎ 所以，所以，解得，从而.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 令，则，此时.‎ 所以有两个不等的实根，，‎ 因为，所以方程有一正一负的两个实根.‎ 又，，又在上总不单调，‎ 所以在上只有一个正实根，‎ 所以 ，所以，所以，‎ 因为，所以.‎ 令，易知在上单调递减，‎ 所以，‎ 所以，解得，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用、求切线的斜率和单调性、函数零点存在定理、分离参数法，考查化简整理的运算求解能力、推理能力，属于中档题．‎