上海市黄浦区2020届高三一模考试(期末考试)数学试题 Word版含解析

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

上海市黄浦区2020届高三一模考试(期末考试)数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 黄浦区2019学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷 一、填空题(本大题共有12题,满分54分.其中第1-6题每题满分54分,第7-12题每题满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 ‎1.设集合A={x|(x+1)(x﹣2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=_____.‎ ‎【答案】(﹣1,3).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合,再求解A∪B.‎ ‎【详解】因为,所以,即;‎ 所以.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的并集运算,化简集合结合并集的定义可求.‎ ‎2.已知z=(a﹣i)(1+i)(a∈R,i为虚数单位)为纯虚数,则a=_____.‎ ‎【答案】﹣1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对复数化简,结合纯虚数的定义可求.‎ ‎【详解】,‎ 因为为纯虚数,所以 且,解得.‎ 故答案:.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算及纯虚数的概念,明确纯虚数的定义是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎3.抛物线的焦点到准线的距离是______________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析:抛物线的焦点是,准线方程是,所以焦点到准线的距离是4.‎ - 18 -‎ 考点:抛物线性质.‎ ‎4.在(的展开式中,x的系数是 .(用数字作答)‎ ‎【答案】-56‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(展开式的通项为,令 ‎,则,,所以x的系数是.‎ 考点:二项式定理 点评:涉及到展开式中的问题,常用到二项式定理得通项:.‎ ‎5.已知为第二象限的角,,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,结合为第二象限的角,可以求出的值,再利用同角的三角函数关系式中的商关系可以求出的值,最后利用二倍角的正切公式可以求出的值.‎ ‎【详解】因为为第二象限的角,所以,于是有 ‎,因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的正切公式,考查了数学运算能力.‎ ‎6.母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为_____.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的母线和半径可得展开图的弧长与半径,从而可得圆心角的弧度数.‎ - 18 -‎ ‎【详解】因为圆锥的母线长为3、底面半径为1,所以圆锥的侧面展开图中半径为3,弧长为,‎ 所以圆心角的弧度数为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图,明确展开图中的量与圆锥的关系是求解的关键.侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎7.若无穷等比数列{an}满足:a2a3=a4,a5,(n∈N*),则数列{a2n﹣1}的所有项的和为_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解等比数列的通项公式,然后再求和.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为,则;‎ 解得,所以;‎ ‎,‎ 所以的所有项的和为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列所有项的求和问题,明确无穷等比数列的求和方法是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎8.四名男生和两名女生排成一排,男生有且只有两位相邻,则不同排法的种数是_____.(结果用数字作答)‎ ‎【答案】144.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先选出相邻的男生,然后再进行插空安排.‎ - 18 -‎ ‎【详解】先选出两位男生组成一个整体有种排法;再排好两个女生有种排法,女生排好共有三个空位,再把男生排进去共有种排法;‎ 所以不同排法的种数一共有.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列问题的求解,不相邻问题一般是采用插空法求解,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎9.已知A、B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的两条渐近线的夹角为_____.‎ ‎【答案】90°.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据△ABM为等腰三角形且顶角为120°,可得点M的坐标,代入双曲线的方程可得渐近线的斜率,从而可得渐近线的夹角.‎ ‎【详解】因为△ABM为等腰三角形且顶角为120°,‎ 不妨设M为第一象限的点,‎ 则;‎ 把代入双曲线的方程可得;‎ 所以渐近线的倾斜角为,两条渐近线的夹角为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的方程及性质,明确点的坐标是求解的关键,侧重考查函数与方程的思想.‎ ‎10.已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,若f(x)=x+log2(2x+2),则满足f(x)>log23>g(x)的x的取值范围是_____.‎ ‎【答案】(0,log215).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简,然后求解不等式,可以转化求解.‎ - 18 -‎ ‎【详解】因为,‎ 所以由得,解得,即;‎ 易知函数为增函数,‎ 因为,所以可得;‎ 综上可得x的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与反函数间的关系,互为反函数的两个函数图象关于直线对称,侧重考查转化化归的数学思想.‎ ‎11.设函数y=f(x)的定义域为D,若对任意的x1∈D,总存在x2∈D,使得f(x1)•f(x2)=1,则称函数f(x)具有性质M.下列结论:①函数y=x3﹣x具有性质M;②函数y=3x+5x具有性质M;③若函数y=log8(x+2),x∈[0,t]时具有性质M,则t=510;④若y具有性质M,则a=5.其中正确结论的序号是_____.‎ ‎【答案】②③.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①,当时,不存在满足;‎ 对于②,由于,所以具有性质;‎ 对于③,由于时,,所以时必有,所以;‎ 对于④,由于,所以可得.‎ ‎【详解】对于①,当时,不存在满足,故①不正确;‎ 对于②,由于,所以,所以具有性质,故②正确;‎ 对于③,由于为增函数,且时,,所以时必有,所以,故③正确;‎ 对于④,由于,若y具有性质M,所以可得,故④不正确.‎ 故答案:②③.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题主要考查对函数新定义的性质理解,深刻理解定义的本质是求解的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎12.已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2,点P是该正六边形边上的动点,记σ••••••,则σ的取值范围是_____.‎ ‎【答案】[30,36].‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】建立直角坐标系,如图所示:,‎ ‎∴,‎ 设点P(x,y),‎ ‎∴,,‎ ‎∴σ••••••‎ ‎ ‎ ‎=6[(x﹣1)2+(y)2+2],‎ ‎∵正六边形的中心Q(1,),所以S=(x﹣1)2+(y)2表示点P(x,y)与点Q(1,)之间距离的平方,‎ ‎∴由图可知S的最大值为4,最小值为3,‎ ‎∴σ的最大值为36,最小值为30,‎ ‎∴σ的取值范围是[30,36].‎ 故答案为:[30,36].‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算,向量运算优先使用坐标运算,建立合适的坐标系能简化运算过程,侧重考查数学运算的核心素养.‎ 二、选择题(本大题共有4题,满分20分.)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.‎ ‎13.方程5的解集是( )‎ A. {2} B. {2,﹣2} C. {1,﹣1} D. {i,﹣i}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二阶行列式的运算规则进行求解.‎ ‎【详解】,解得.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查行列式的计算,明确行列式的运算规则是求解的关键.‎ ‎14.将函数y=sin(4x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移个单位,得到的函数图象的一条对称轴的方程为( )‎ A. x B. x C. x D. x ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出变换后的解析式,再根据解析式求解函数的对称轴.‎ - 18 -‎ ‎【详解】将函数y=sin(4x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,再向右平移个单位,得到的函数为,‎ 令,,解得,‎ 由可得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质,注意的系数对结果的影响,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎15.若函数f(x)的定义域为R,则“f(x)是偶函数”是“f(|x|)=f(x)对切x∈R恒成立”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数的定义式及充要条件的定义进行判定.‎ ‎【详解】若是偶函数,则,从而可得;‎ 若,则,即是偶函数.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查充要条件的判定,明确条件间的推出关系是求解的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎16.设曲线E的方程为1,动点A(m,n),B(﹣m,n),C(﹣m,﹣n),D(m,﹣n)在E上,对于结论:①四边形ABCD的面积的最小值为48;②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是( )‎ A. ①错,②对 B. ①对,②错 C. ①②都错 D. ①②都对 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 根据点的对称性可知四边形ABCD是矩形,结合矩形的面积公式和外接圆的面积公式可求.‎ ‎【详解】因为动点A(m,n),B(﹣m,n),C(﹣m,﹣n),D(m,﹣n),所以四边形ABCD是矩形;‎ 不妨设,则矩形ABCD的面积为,‎ 因为,所以,即,当且仅当时等号成立;‎ 所以矩形ABCD的面积最小值为48.‎ 四边形ABCD外接圆的直径为,‎ 所以四边形ABCD外接圆的面积为,‎ 因为,所以,当且仅当时等号成立;‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线的方程及基本不等式求解最值,明确所求目标的表达式是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.‎ 三、解答题(本大题共有5题,满分76分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.在三棱锥P﹣ABC中,已知PA,PB,PC两两垂直,PB=3,PC=4,且三棱锥P﹣ABC的体积为10.‎ ‎(1)求点A到直线BC的距离;‎ ‎(2)若D是棱BC的中点,求异面直线PB,AD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).‎ - 18 -‎ ‎【答案】(1)(2)arccos ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先根据已知的体积和棱长求出,结合直角三角形的知识可求点A到直线BC的距离;‎ ‎(2)建立空间直角坐标系,写出向量的坐标,利用向量夹角公式可求.‎ ‎【详解】(1)在三棱锥P﹣ABC中,PA,PB,PC两两垂直,‎ ‎∵PB=3,PC=4,且三棱锥P﹣ABC的体积为10.‎ ‎∴VP﹣ABC=VA﹣PBC10,解得PA=5,‎ 过P作PO⊥BC,交BC于O,连结PO,如图,‎ 由三垂线定理得AO⊥BC,‎ ‎∵,∴PO,‎ ‎∴点A到直线BC的距离:‎ AO.‎ ‎(2)以P为原点,PC,PB,PA所在直线分别为x轴, y轴, z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则A(0,0,5),P(0,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0),D(2,,0),‎ ‎(0,3,0),(2,,﹣5),‎ 设异面直线PB,AD所成角的大小为θ,‎ - 18 -‎ 则cosθ.‎ ‎∴异面直线PB,AD所成角的大小为arccos.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中点到直线的距离和异面直线所成角,空间中的角一般是利用向量来求解,建立适当的坐标系是求解的前提,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎18.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且acosC=(2b﹣c)cosA.‎ ‎(1)若3,求△ABC的面积;‎ ‎(2)若∠B<∠C,求2cos2B+cos2C的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)(,).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理可求角A,结合数量积3,可求△ABC的面积;‎ ‎(2)结合角之间的关系,把2cos2B+cos2C化简为,然后结合角的范围可求.‎ ‎【详解】(1)∵acosC=(2b﹣c)cosA,‎ ‎∴由正弦定理可得sinAcosC=(2sinB﹣sinC)cosA,可得sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB=2sinBcosA,‎ - 18 -‎ ‎∵B为三角形内角,sinB≠0,‎ ‎∴cosA,‎ 又∵A∈(0,π),‎ ‎∴A,‎ ‎∵bccosAbc=3,可得bc=6,‎ ‎∴S△ABCbcsinA.‎ ‎(2)∵∠B<∠C,CB,可得B∈(0,),‎ ‎∴2B∈(,),‎ ‎∴cos(2B)∈(,),‎ ‎∴2cos2B+cos2C=1+cos2Bcos2Bcos2(B)cos2Bcos2Bsin2Bcos(2B)∈(,).‎ ‎∴2cos2B+cos2C的取值范围(,).‎ ‎【点睛】本题主要考查求解三角形及范围问题,求解三角形时边角的转化是求解的关键,范围问题一般是把目标式化简为标准型进行求解,侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎19.某研究所开发了一种新药,测得成人注射该药后血药浓度y(微克/毫升)与给药时间x(小时)之间的若干组数据,并由此得出y与x之间的一个拟合函数y=40(0.6x﹣0.62x)(x∈[0,12]),其简图如图所示.试根据此拟合函数解决下列问题:‎ - 18 -‎ ‎(1)求药峰浓度与药峰时间(精确到0.01小时),并指出血药浓度随时间的变化趋势;‎ ‎(2)求血药浓度的半衰期(血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间)(精确到0.01小时).‎ ‎【答案】(1)药峰浓度为10,药峰时间为1.36小时;注射该药后血药浓度逐渐增加,到1.36小时时达到峰值,然后血药浓度逐渐降低;(2)2.36小时.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据拟合函数利用换元法可求最值,结合单调性可得血药浓度随时间的变化趋势;‎ ‎(2)根据半衰期的含义解方程可求.‎ ‎【详解】(1)由y=40(0.6x﹣0.62x)(x∈[0,12]),‎ 令0.6x=t,t∈[0.612,1],‎ 则y=40(0.6x﹣0.62x)=40(﹣t2+t),‎ ‎∴当t∈[0.612,1],即,x1.36时,‎ y有最大值10.‎ 故药峰浓度为10,药峰时间为1.36小时;‎ 由图象可知,注射该药后血药浓度逐渐增加,到1.36小时时达到峰值,然后血药浓度逐渐降低;‎ ‎(2)在y=40(0.6x﹣0.62x)中,取y=5,得40(0.6x﹣0.62x)=5,‎ 即﹣8t2+8t﹣1=0,解得t或t(舍),‎ 即0.147,得x3.72.‎ 故血药浓度的半衰期为3.72﹣1.36=2.36小时.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的应用,准确理解题意明确题目中的数学模型是求解这类问题的关键,侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎20.已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上,椭圆C上一点A(2,﹣1)到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点,点P,Q是椭圆C上异于点B的任意两点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ - 18 -‎ ‎(2)若BP⊥BQ,且满足32的点D在y轴上,求直线BP的方程;‎ ‎(3)若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ(λ<0),试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点,请求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)(2)y=±x+2(3)经过定点;定点(0,)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用椭圆的定义和待定系数法可求椭圆的方程;‎ ‎(2)利用BP⊥BQ, 32可得直线的斜率,从而可求直线BP的方程;‎ ‎(3)先表示直线PQ的方程,结合直线BP与BQ的斜率乘积为常数,建立等量关系进行判定.‎ ‎【详解】(1)由题意设椭圆的方程为:1‎ 由题意知:2a=8,1,解得:a2=16,b2=4,‎ 所以椭圆的方程为:.‎ ‎(2)由(1)得B(0,2)显然直线BP的斜率存在且不为零,‎ 设直线BP为:y=kx+2,与椭圆联立整理得:(1+4k2)x2+16kx=0,x,所以P(,);‎ 直线BQ:yx+2,代入椭圆中:(4+k2)x2﹣16kx=0,‎ 同理可得Q(,),由32得,‎ ‎∴3(xD﹣xP)=2(xQ﹣xD),∴5xD=2xQ+3xP,‎ 由于D在y轴上,所以xD=0,∴,解得:k2=2,所以k,‎ 所以直线BP的方程为:y=±x+2.‎ ‎(3)当直线PQ的斜率不存在时,‎ 设直线PQ方程:x=t,P(x,y),Q(x',y'),‎ - 18 -‎ 与椭圆联立得:4y2=16﹣t2,yy',xx'=t2,kBP•kBQ•,‎ 要使是一个常数λ,λ<0,所以不成立.‎ 当直线PQ斜率存在时,设直线PQ的方程为:y=kx+t,设P(x,y),Q(x',y'),‎ 与椭圆联立整理得:(1+4k2)x2+8ktx+4t2﹣16=0,x+x',xx',‎ ‎∴y+y'=k(x+x')+2t,,‎ ‎∴kBP•kBQ,‎ 所以由题意得:λ,解得:t,所以不论k为何值,x=0时,y,‎ 综上可知直线恒过定点(0,).‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程及性质,直线过定点问题,椭圆方程的求解一般是利用待定系数法;直线过定点问题一般是根据直线方程的特点来求解.‎ ‎21.对于数列{an},若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和,则称{an}为P数列.‎ ‎(1)若{an}的前n项和Sn=3n+2,试判断{an}是否是P数列,并说明理由;‎ ‎(2)设数列a1,a2,a3,…,a10是首项为﹣1、公差为d的等差数列,若该数列是P数列,求d的取值范围;‎ ‎(3)设无穷数列{an}是首项为a、公比为q的等比数列,有穷数列{bn},{cn}是从{an}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列,其所有项和分别为T1,T2,求{an}是P数列时a与q所满足的条件,并证明命题“若a>0且T1=T2,则{an}不是P数列”.‎ ‎【答案】(1)数列{an}P数列;详见解析(2)(3)或;证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ ‎(1)先求解数列的通项公式,然后结合P数列的特点进行验证;‎ ‎(2)先求解数列的通项公式,然后结合P数列的特点列出不等关系,然后进行求解;‎ ‎(3)根据P数列建立不等关系,求解不等式可得.‎ ‎【详解】(1)∵,‎ ‎∴,‎ 当n=1时,a1=S1=5,‎ 故,‎ 那么当时,,符合题意,‎ 故数列{an}是P数列.‎ ‎(2)由题意知,该数列的前n项和为,‎ 由数列a1,a2,a3,…,a10是P数列,可知a2>S1=a1,故公差d>0,‎ 对满足n=1,2,3,,9的任意n都成立,则,解得,‎ 故d的取值范围为.‎ ‎(3)①若{an}是P数列,则a=S1<a2=aq,‎ 若a>0,则q>1,又由an+1>Sn对一切正整数n都成立,可知,即对一切正整数n都成立,‎ 由,故2﹣q≤0,可得q≥2,;‎ 若a<0,则q<1,又由an+1>Sn对一切正整数n都成立,可知,即(2﹣q)qn<1对一切正整数n都成立,‎ 又当q∈(﹣∞,﹣1]时,(2﹣q)qn<1当n=2时不成立,‎ - 18 -‎ 故有或,解得,‎ ‎∴当{an}是P数列时,a与q满足的条件为或;‎ ‎②假设{an}是P数列,则由①可知,q≥2,a>0,且{an}中每一项均为正数,‎ 若{bn}中的每一项都在{cn}中,则由这两数列是不同数列,可知T1<T2;‎ 若{cn}中每一项都在{bn}中,同理可得T1>T2;‎ 若{bn}中至少有一项不在{cn}中且{cn}中至少有一项不在{bn}中,‎ 设{bn'},{cn'是将{bn},{cn}中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列,它们的所有项和分别为T1',T2',‎ 不妨设{bn'},{cn'}中最大的项在{bn'}中,设为am(m≥2),‎ 则T2'≤a1+a2+……+am﹣1<am≤T1',故T2'<T1',故总有T1≠T2与T1=T2矛盾,故假设错误,原命题正确.‎ ‎【点睛】本题主要考查关于数列的新定义问题,明确新定义的本质是求解的关键,侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎ - 18 -‎ ‎ ‎ - 18 -‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档