中考圆的复习资料全
圆的知识点复习
知识点1 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
题型
1. 在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,
若油面宽AB=800mm,则油的最大深度为 mm.
2. 如图,在△ABC中,∠C是直角,AC=12,BC=16,以C为圆心,AC为半径的圆交斜边AB于D,求
AD的长。
C
B
D
A
3. 如图,弦AB垂直于⊙O的直径CD,OA=5,AB=6,求BC长。
4. 如图所示,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD于M,CD=15cm,OM:OC=3:5,求弦AB的长。
知识点2 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距:过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫弦心距。
定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角度数相等,所对的弦相等。
在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角度数相等,所对的弧相等。
题型
1. 如果两条弦相等,那么( )
A.这两条弦所对的弧相等 B.这两条弦所对的圆心角相等
C.这两条弦的弦心距相等 D.以上答案都不对
2.下列说法正确的是( )
A.相等的圆心角所对的弧相等 B.在同圆中,等弧所对的圆心角相等
C.相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D.圆心到弦的距离相等,则弦相等
3. 线段AB是弧AB 所对的弦,AB的垂直平分线CD分别交 弧AB、AC于C、D,AD的垂直平分线EF分别 交弧AB、AB于E、F,DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H,则下面结论不正确的是( )
A.弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC
3. 弦心距是弦的一半时,弦与直径的比是________,弦所对的圆心角是_____.
5. 如图,AB为⊙O直径,E是中点,OE交BC于点D,BD=3,AB=10,则AC=_____.
6. 如图,AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE=________.
7. 如图,已知AB、CD为⊙O的两条弦,弧AD=弧BC, 求证:AB=CD。
8. 如图,BC为⊙O的直径,OA是⊙O的半径,弦BE∥OA, 求证:AC=AE。
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
知识点3 圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论
半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形性质:
圆内接四边形的对角互补。
题型
1. 下列说法正确的是( )
A.顶点在圆上的角是圆周角 B.两边都和圆相交的角是圆周角
C.圆心角是圆周角的2倍 D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
2.下列说法错误的是( )
A.等弧所对圆周角相等 B.同弧所对圆周角相等
C.同圆中,相等的圆周角所对弧也相等. D.同圆中,等弦所对的圆周角相等
3. 已知⊙O是△ABC的外接圆,若∠A=80°,则∠BOC的度数为( )
A.40° B.80° C.160° D.120°
4. 在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )
A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
5. △ABC三个顶点A、B、C都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( )
A.40° B.50° C.70° D.110°
第8题图
6.等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是弧AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是 ________。
7. ⊙O中,若弦AB长2cm,弦心距为cm,
则此弦所对的圆周角等于 。
8. 如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上, 若∠B=60°,
则∠A等于_________。
9. 如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
(1)P是弧CAD上一点(不与C、D重合),试判断
∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),
∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论。
9. 如图,⊙C经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点A与点B,点A的坐标为(0,4),M是圆上一点
∠BMO=120°。
(1)求证:AB为⊙C直径。
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标。
第9题图
11. 如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长。
第10题图 第11题图 第12题图
12. 如图,A、B、C、D四点都在⊙O上,AD是⊙O的直径,且AD=6cm,若∠ABC=∠CAD,
求弦AC的长。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点1 点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则:
(1)点P在圆外 d>r
(2)点P在圆上 d=r
(3)点P在圆外 d
r
题型
1. 在平面直角坐标系中,以点(2,1)为圆心,1为半径的圆,必与( )
A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相切
2. 已知⊙O的半径为5 cm,直线l上有一点Q且OQ =5cm,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交
3. 已知圆的半径等于10厘米,直线和圆只有一个公共点,则圆心到直线的距离是________。
4. 等边三角形ABC的边长为2,则以A为圆心,半径为1.73的圆与直线BC的位置关系是________;以A为圆心,__________为半径的圆与直线BC相切。
5. 已知⊙O的直径为10cm。
(1)若直线l与⊙O相交,则圆心O到直线l的距离为______;
(2)若直线l与⊙O相切,则圆心O到直线l的距离为______;
(3)若直线l与⊙O相离,则圆心O到直线l的距离为______。
6.. 如图,⊙M与x轴相交于点A(2,0),
B(8,0),与y轴相切于点C,
求圆心M的坐标.
知识点3
切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
题型
1.命题:“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是( )
A.经过半径的外端点的直线是圆的切线 B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线
C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2. 如图,BC是⊙O直径,P是CB延长线上一点,PA切⊙O于A,若PA=,OB=1,则∠APC等于( )
A. 150 B.300 C.450 D.600
3. 如图,线段AB过圆心O,交⊙O于点A、C,∠B=300,直线BD与⊙O切于点D,则∠ADB的度数是( )
A.1500 B.1350 C.1200 D.1000
4.如图,⊙的直径与弦的夹角为,切线与的延长线交于点,若⊙的半径为3, 则的长为( )
A.6 B. C.3 D.
5. PA是⊙O的切线,切点为A,PA=,∠APO=30°,则⊙O的半径长为_______.
6. 如图,直线AB与⊙O相切于点B,BC是⊙O的直径,AC交⊙O于点D,连结BD,则图中直角三角形有 ______个.
第2题图 第3题图 第4题图 第6题图
7. 如图,∠PAQ是直角,⊙O 与AP相切于点T,与AQ交于B、C两点.
(1)BT是否平分∠OBA?说明你的理由;
(2) 若已知AT=4,弦BC=6,试求⊙O 的半径R.
8. 如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在圆上,∠CAB=30°,
求证:DC是⊙O的切线。
9. 在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D。
试说明:C是⊙D的切线。
E
F
B
O
C
A
.
A
B
D
C
O
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
10. 已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切,梯形的上底 AD与底 BC 是方程 -10x + 16 = 0的两根,求 ⊙E 的半径 r 。
11. 如图,△ABC内接于⊙O ,直线EF经过 B 点,∠CBF =∠A。
求证:EF 是⊙O 的切线。
第11题图
O
A
B
E
D
C
12. 如图,Rt△ABC中,∠B=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E, 交AC于点D,其中DE∥OC。
(1)求证:AC为⊙O的切线。
(2)若AD=2,且AB、AE的长是关于x的
方程x2-8x+k=0的两个实数根,求⊙O的半径、CD的长。
A
B
C
O
G
F
D
E
13. 如图,等腰△ABC中,AC=BC=10,AB=12,以BC为 第12题图
直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为
F,交CB的延长线于点E。
(1)求证:直线EF是⊙O的切线。 第13题图
(2)求DF、DE的长。.
A
B
C
D
E
M
14. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,以
CD为半径作⊙C与AE切于点E,过点B作BM∥AE。
(1)求证:BM是⊙C的切线。 第14题图
A
B
D
E
C
O
(2)作DF⊥BC于F,若AB=16,∠DBM=60°,求EF的长。
15. 如图,AB为⊙O的直径,D为的中点,DC⊥AE
交AE的延长线于C。
(1)求证:CD是⊙O的切线。
(2)若CE=1,CD=2,求⊙O的半径。 第15题图
O
B
A
C
D
E
16. 如图,钝角△ABC,CD⊥AC,BE平分∠ABC交
AC于E,且∠CEB=45°,以AD为直径作⊙O。
(1)求证:BC是⊙O的切线。
(2)若⊙O直径为10,AC=BC,求△ABC的周长。 第16题图
17. 如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN,
若∠MAC=∠ABC.
(1)求证:MN是半圆的切线。
(2)设D是弧AC的中点,连结BD交AC 于G,
过D作DE⊥AB于E,交AC于F.求证:FD=FG。 第17题图
知识点4
切线长定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
题型
1. 如图,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,OP交⊙O于C,下列结论错误的是( )
A. ∠1=∠2 B.PA=PB C.AB⊥OP D.
2. 如图,PA、PB是⊙O的两条切线,切点是A、B. 如果OP=4,,那么∠AOB等于( )
A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
3. 从圆外一点向半径为9的圆作切线,已知切线长为18,从这点到圆的最短距离为( )
A.9 B.9(-1) C.9(-1) D.9
4. 有圆外一点P,PA、PB分别切⊙O于A、B,C为优弧AB上一点,若∠ACB=a,则∠APB=( )
A.180°- B.90°- C.90°+ D.180°-2
5. 一个钢管放在V形架内,如图是其截面图,O为钢管的圆心.如果钢管的半径为25cm,∠MPN=60°,则OP=( )
A.50cm B.25cm C.cm D.50cm
第1题图 第2题图 第5题图 第6题图
6. 如图,PA、PB分别切⊙O于A、B,并与⊙O的切线分别相交于C、D,已知PA=7cm,则△PCD的周长等于_________。
7. 如图,已知为的直径,是的切线,为切点,.
(1)求的大小。(2)若,求的长(结果保留根号)。
第7题图 第8题图
8. 如图,的直径和是它的两条切线,切于E,交AM于D,交BN于C。设。
(1)求证: (2)求关于的关系式
9.如图所示,在直角坐标系中,A点坐标为(-3,-2),⊙A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,则当PQ最小时,求P点的坐标是多少?
第9题图 第10题图
10. 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB=10cm,点P由点C出发以每秒2cm的速度沿CA向点A运动(不运动至A点),⊙O的圆心在BP上,且⊙O分别与AB、AC相切,当点P运动2秒钟时,求⊙O的半径。
11. 已知:∠MAN=30°,O为边AN上一点,以O为圆心、2为半径作⊙O ,交AN于D、E两点,设AD=.
⑴ 如图⑴当取何值时,⊙O与AM相切;
M
A
N
E
D
O
图(1)
.
M
A
N
E
D
B
C
O
图(2)
⑵ 如图⑵当为何值时,⊙O与AM相交于B、C两点,且∠BOC=90°。
知识点5
内切圆:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内心:内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
题型
1. 已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F,那么点O是△DEF的( )
A.三条中线交点 B.三条高的交点
C.三条角平分线交点 D.三条边的垂直平分线的交点
2. 如图,⊙O为△ABC的内切圆,∠C=900,AO的延长
线交BC于点D,AC=4,CD=1,则⊙O的半径等于( )
A. B.
C. D.
3. 如图,⊙O内切于△ABC,切点为D、E、F,
若∠B=500,∠C=600,连结OE、OF、DE、DF,
则∠EDF等于( )
A.450 B.550
C.650 D.700
4. 直角三角形有两条边是2,则其内切圆的半径是__________。
5. 某市有一块由三条马路围成的三角形绿地,如图,现准备在其中建一小亭供人们小憩,使小亭中心到三
条马路的距离相等,试确定小亭的中心位置。
6. 如图,Rt△ABC 的两条直角边长分别为5和12,则△ABC 的内切圆到半径为多少?
7. 等腰三角形的腰长为13cm,底边长为10 cm,求它的内切圆的半径。
F
A
B
C
D
E
5
O
8. 如图,在Rt△ABC中,.求△ABC的内切圆半径。
第5题图 第6题图 第8题图
24.3 正多边形和圆
知识点1 正多边形和圆的关系
定理1:把圆分成n(n≥3)等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
定理2:经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。
知识点2 正多边形有关概念
正多边形:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的边心距:中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
知识点3 正多边形的有关角
1. 正多边形的中心角都相等,中心角= (n为正多边形的边数)
2. 正多边形的每个外角= (n为正多边形的边数)
题型
1. 以下有四种说法:①顺次连结对角线相等的四边形各边中点,则所得的四边形是菱形;②等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形;③顶点在圆周上的角是圆周角;④边数相同的正多边形都相似,其中正确的有()
A.1个 B.2个 C.3个 D 4个
2. 以下说法正确的是
A.每个内角都是120°的六边形一定是正六边形 B.正n边形的对称轴不一定有n条
C.正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数
D.正多边形一定既是轴对称图形,又是中心对称图形
3. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是( )
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
4. 若一个正多边形的每一个外角都等于36°,那么这个正多边形的中心角为( )
A.36° B、 18° C.72° D.54°
5. 将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角,使它成为正n边形,那么正n边形的面积为( )
A.
6. 如图所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则∠ADB的度数是( )
A.60° B.45° C.30° D.22.5°
7. ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆,弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE
的________,它是正五边形ABCDE的________圆的半径。
8. 两个正六边形的边长分别是3和4,这两个正六边形的面积之比等于________。
9. 圆内接正方形的半径与边长的比值是________。
10. 圆内接正六边形的边长是8 cm,那么该正六边形的半径为________,边心距为________。
11. 圆内接正方形ABCD的边长为2,弦AE平分BC边,与BC交于F,则弦AE的长为__________。
12. 正方形的内切圆半径为r,这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形,其中一个弓形的面积为_________。
13. 正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍,那么这个正多边形的边数是________。
14. 周长相等的正方形和正六边形的面积分别为和,则和的大小关系为__________。
15. 四边形ABCD为⊙O的内接梯形,AB∥CD,且CD为直径,如果⊙O的半径等于r,∠C=60°,那么图中△OAB的边长AB是______,△ODA的周长是_______,∠BOC的度数是________。
16. 如图,正方形ABCD内接于⊙O,点E在上,则∠BEC= 。
17. 如果正三角形的边长为a,那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。
18. 分别求出半径为R的圆内接正三角形,正方形的边长,边心距和面积。
24.4 弧长和扇形面积
知识点1 计算公式
1. n°的圆心角所对的弧长:l=
2. 扇形面积:(由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形)
方法一: S扇形= 方法二:S扇形=
题型
1. 如果扇形的半径是6,所含的弧长是5π,那么扇形的面积是 ( )
A.5π B.10π
C.15π D.30π
2. 如果一条弧长等于,它的半径等于,这条弧所对的圆心角增加,则它的弧长增加( )
A. B. C. D.
Q
O
A
P
C
B
3. 在半径为3的中,弦,则的长为( )
A. B. C. D.
4. 扇形的周长为,圆心角为,则扇形的面积是( )
A.16 B.32 C.64 D. 第5题图
5. 如图,扇形的圆心角为,且半径为,分别以,为直径在扇形内作半圆,和分别表示两个阴影部分的面积,那么和的大小关系是( )
A. B. C. D.无法确定
.
6. 半径为的圆中,的圆周角所对的弧的弧长为__________。
7. 半径为的圆中,长为的一条弧所对的圆心角的度数为__________。
8. 已知圆的面积为,若其圆周上一段弧长为,则这段弧所对的圆心角的度数为________。
9. 如图,是半圆的直径,以为圆心,为半径的半圆交于,两点,弦是小半圆的 切线,为切点,若,,则图中阴影部分的面积为__________。
B
C
A
O
E
F
B
C
D
A
第9题图 第10题图 第11题图
10. 弯制管道时,先按中心线计算其“展直长度”,再下料.根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为
。(单位:,精确到)
11. 如图,在Rt△中,,,,将△绕点旋转至△的位置,且使点,,三点在同一直线上,则点经过的最短路线长是 。
12. 已知:扇形的弧长为cm,面积为 cm2 ,求扇形弧所对的圆心角。
13. 有一正方形是以金属丝围成的,其边长,把此正方形的金属丝重新围成扇形的, 使,不变,问正方形面积与扇形面积谁大?大多少?由计算得出结果。
14. 如图,ACBD为夹在环形的两条半径之间的一部分,弧AD的长
为πcm,弧CB的长为2πcm,AC=4cm,求这个图形的面积。
15. 已知如图,P是半径为R的⊙O外一点,PA切⊙O于A,PB切
⊙O于B,∠APB=60°.求:夹在劣弧AB及PA,PB之间的阴影部分的面积。
16. 已知扇形OAB的面积为S,∠AOB=60°.求扇形OAB的内切圆的面积。
17.若分别以线段CD的两个端点为圆心,CD长为半径的⊙C,⊙D相交于A,B.求证:分别以AB,CD为直径的两个圆的面积之和与⊙C的面积相等。
18.求证:圆心角为60°的扇形的内切圆的面积,等于扇形面积的三分之二。
知识点2 圆锥
1. 圆锥的母线:连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
2. 圆锥的高:圆锥的顶点到底面圆的距离,即顶点与底面圆的圆心的连线的长是圆锥的高。
3. 圆锥的侧面展开图是一个扇形,这个扇形的半径为圆锥的母线,扇形弧长为底面圆的周长。
4. 圆锥的侧面积:圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的 扇形面积。
设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,扇形的圆心角为n,
1. 圆锥的全面积:圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
题型
1. 已知圆锥的高为,底面半径为2,则该圆锥侧面展开图的面积是( )
A.π B.2π C.π D.6π
2. 已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为( )
A.180° B.120° C.90° D.135°
3. 如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为( )
A.1∶ B.2∶ C.3∶2 D.2∶3
4. 边长为a的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180°, 所得几何体的表面积为( )
A. B. C. D.π
5. 若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是( )cm。
A.8 B. C.6 D.4
6. 在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面 , 则这 个圆锥的高为( )cm.
A. B. C. D.
7. 一个圆锥的高为cm,侧面展开图是一个半圆,则圆锥的全面积是( )
A.200πcm2 B.300πcm2 C.400π cm2 D.360πcm2
8. 一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2,母线长为50cm,那么这个烟囱帽的底面直径为( )
A.80cm B.100cm C.40cm D.5cm
9. 圆锥的轴截面是一个等边三角形,则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是____________。
10. 一个扇形,半径为30cm,圆心角为120°,用它做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的全面积为________。
11. 已知圆锥的母线长6 cm,底面半径为 3 cm,圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角是__________。
12. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形,扇形面积为10 cm2,则这个圆锥的表面积是________。
13. 一个扇形,半径为30cm,圆心角为120°,用它做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥的全面积为________。
14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm,圆心角为240°的扇形,求这个圆锥的高。
15. 已知:一个圆锥的底半径 r=10cm,过轴的截面的顶角为60°。求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积。
16. 已知:一个圆锥的侧面展开图是半径为 20 cm,圆心角为120°的扇形,求这圆锥的底半径和高。
17. 如图,一个圆柱的底面半径为40 cm,高为60 cm,从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥,得到一个几何体,求其全面积。
A
B
C
第17题图 第18题图
18. 如图,圆锥的底面半径为1,母线长为3,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上,问它爬行的最短路线是多少?