广东省湛江市第二十一中学2019-2020学年高二下学期复学考试数学试题

广东省湛江市第二十一中学2019-2020学年高二下学期复学考试数学试题

高二数学第二学期开学考 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题）‎ 本大题每小题5分，共60分 ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}，那么A∪B等于（　　）‎ A．{﹣1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}‎ ‎2．函数lnx的定义域为（　　）‎ A．（0，1） B．（0，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎3．已知函数y＝ax（a＞0且a≠1）是增函数，那么函数的图象大致是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4．若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则a的值为（　　）‎ A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2‎ ‎5．如图，四边形ABCD中，，E为线段AC上的一点，若，则实数λ的值等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知α为第三象限角，cosα﹣sinα，则cos2α＝（　　）‎ A． B． C．± D．‎ ‎7．设x∈R，则“|x﹣2|＞1”是“x2﹣4x+3＞0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎8．已知椭圆y2＝1，作垂直于x轴的垂线交椭圆于A、B两点，作垂直于y轴的垂线交椭圆于C、D两点，且AB＝CD，两垂线相交于点P，则点P的轨迹是（　　）‎ A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线 ‎9．△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，bcosA＝sinB，则A＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在空间直角坐标系中，以A（m，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰三角形，其中m∈Z，则m的值为（　　）‎ A．﹣4 B．4 C．﹣6或4 D．6或4‎ ‎11．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列{an}，若a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（　　）‎ A．12，13 B．13，13 C．13，12 D．12，14‎ ‎12．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到g（x）＝Asinωx的图象，则只要将f（x）的图象（　　）‎ A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 本大题每小题5分，共20分 ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．抛物线y2＝8x的焦点F到双曲线1的渐近线的距离为　 　．‎ ‎14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD＝30°，AD＝5，AC＝3，BC＝3，则•的值为　 　．‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，点P，Q分别为圆C1：x2+（y﹣4）2＝1和圆C2：（x﹣2a）2+（y﹣a2）2＝1（其中a∈R）上的两个动点，则PQ的最小值为　 　．‎ ‎16．已知x与y之间的一组数据：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ Y ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎7‎ 且y与x的线性回归方程为2x．则当x＝4时，　 　‎ ‎ 评卷人 ‎ ‎ 得 分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三．解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若，且，求f（α）的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期，及函数f（x）的单调递减区间．‎ ‎18．（12分）Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝9．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn＝a2n﹣1+a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎19．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．‎ ‎（Ⅰ）求f（0）及f（f（1））的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（Ⅲ）若关于x的方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围，‎ ‎20．（12分）如图，在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，底面正方形ABCD的中心在坐标原点，棱AD，BC平行于x轴，AB，CD平行于y轴，顶点P在z轴的正半轴上，点M，N分别在线段PA，BD上，且．‎ ‎（1）求直线MN与PC所成角的大小；‎ ‎（2）求锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值．‎ ‎21．（12分）某颜料公司生产A，B两种产品，其中生产每吨A产品，需要甲染料1吨，乙染料4吨，丙染料2吨，生产每吨B产品，需要甲染料1吨，乙染料0吨，丙染料5吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不超过50吨、160吨和200吨，如果A产品的利润为300元/吨，B产品的利润为200元/吨，设公司计划一天内安排生产A产品x吨，B产品y吨．‎ ‎（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在如图的坐标系中画出相应的平面区域；‎ ‎（Ⅱ）该公司每天需生产A、B产品各多少吨可获得最大利润，最大利润是多少？‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：的离心率为，且与双曲线有相同的焦点•‎ ‎（l）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M满足，点P（1，），若直线MP斜率为，求△ABP面积的最大值及此时直线l的方程．‎ 高二数学第二学期开学考 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，‎ 集合B＝{x∈Z|x2﹣2x≤0}＝{x∈Z|0≤x≤2}＝{0，1，2}，‎ ‎∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．‎ 故选：D．‎ ‎2．【解答】解：函数的定义域应满足，，解得0＜x＜1．‎ 故选：A．‎ ‎3．【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，故排除CD；‎ ‎∵函数y＝ax（a＞0且a≠1）是增函数，‎ ‎∴a＞1，‎ 由复合函数的单调性可知，函数f（x）在定义域上为减函数，故排除A．‎ 故选：B．‎ ‎4．【解答】解：根据题意，圆的方程为x2+y2﹣2x+4y+1＝0，其圆心为（1，﹣2），‎ 若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则圆心在直线x+y+a＝0上，‎ 则有a+1﹣2＝0，解可得a＝1；‎ 故选：A．‎ ‎5．【解答】解：，‎ ‎∵，‎ ‎，‎ 由向量共线定理可知，21，‎ 则λ，‎ 故选：A．‎ ‎6．【解答】解：∵α为第三象限角，cosα﹣sinα，‎ ‎∴1﹣2sinαcosα，‎ ‎∴sinαcosα，‎ ‎∴sinα＜0，cosα＜0，且cosα＜sinα，‎ ‎∴cosα+sinα＜0，‎ ‎∵（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα，‎ ‎∴sinα+cosα，‎ 则cos2α＝（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）‎ 故选：A．‎ ‎7．【解答】解：“|x﹣2|＞1”，解之得x＜1或x＞3，‎ ‎“x2﹣4x+3＞0”，解之得x＜1或x＞3，‎ 故“|x﹣2|＞1”是“x2﹣4x+3＞0”的充分必要条件．‎ 故选：C．‎ ‎8．【解答】解：∵AB≤2，∴CD≤2，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，‎ 设A（m，t），D（t，n），‎ 所以P（m，n），‎ 因为，，消去t可得：2n2，‎ 故选：B．‎ ‎9．【解答】解：∵a，bcosA＝sinB，‎ ‎∴bcosA＝asinB，‎ ‎∴由正弦定理可得sinAsinBsinBcosA，‎ ‎∵B是三角形内角，sinB≠0，‎ ‎∴tanA，‎ ‎∴由A是三角形内角，可得：A．‎ 故选：D．‎ ‎10．【解答】解：如果点A（m，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3）为顶点的△ABC是以AB为底边的等腰三角形，‎ ‎∴|AC|＝|BC|，‎ ‎∴，‎ ‎∴53＝（m﹣2）2，m∈Z，‎ ‎∴方程无解．‎ 如果点A（m，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3）为顶点的△ABC是以AC为底边的等腰三角形，‎ ‎∴|AB|＝|BC|，‎ ‎∴，‎ ‎∴（m﹣10）2＝85．‎ ‎∵m∈Z，‎ 方程无解．‎ 如果点A（m，1，9），B（10，﹣1，6），C（2，4，3）为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，‎ ‎∴|AB|＝|AC|，‎ ‎∴，‎ ‎∴（m﹣10）2＝32+（m﹣2）2．解得m＝4．‎ 故选：B．‎ ‎11．【解答】解：依题意 a32＝a1a7，∴（a1+4）2＝a1（a1+6×2），解得a1＝4，‎ 所以此样本的平均数为13，中位数为13．‎ 故选：B．‎ ‎12．【解答】解：设f（x）的周期为T，根据函数的图象，‎ 可得：，得T＝2π，由 π，可得ω＝1．‎ ‎∵A＞0，函数的最小值为﹣2，‎ ‎∴A＝2．‎ 函数表达式为f（x）＝2sin（x+φ），‎ 又∵当x时，函数有最小值，‎ ‎∴φ2kπ（k∈Z），解之得φ2kπ（k∈Z），‎ ‎∵|φ|，‎ ‎∴取k＝1，得φ，‎ 因此，函数的表达式为f（x）＝2sin（x），‎ 由此可得函数g（x）＝2sinx＝f（x），‎ ‎∴将函数f（x）的图象右移个单位长度，即可得到g（x）＝2sinx的图象．‎ 故选：B．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点（2，0），‎ 双曲线的一条渐近线方程：3x+4y＝0，‎ 抛物线y2＝8x的焦点到双曲线渐近线的距离为：．‎ 故答案为：．‎ ‎14．【解答】解：如图，∵AD∥BC，AD＝5，BC＝3，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎＝3．‎ 故答案为：3．‎ ‎15．【解答】解：∵圆C1：x2+（y﹣4）2＝1，∴圆心C1（0，4），半径r1＝1，‎ ‎∵圆C2：（x﹣2a）2+（y﹣a2）2＝1，∴圆心C2（2a，a2），半径r2＝1，‎ ‎∴|PQ|min＝|C1C2|﹣（r1+r2）22，‎ 故答案为：2．‎ ‎16．【解答】解：，．‎ 则样本点的中心的坐标为（1.5，3.5），‎ 代入2x，得．‎ ‎∴线性回归方程为．‎ 取x＝4，得．‎ 故答案为：8.5．‎ 三．解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．【解答】解：（Ⅰ）因为 ，且，‎ 所以 cosα，‎ 所以 ，‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以函数f（x）的最小正周期，‎ 由，‎ 解得，k∈Z，‎ 所以函数f（x）的单调递减区间．‎ ‎18．【解答】解：（1）等差数列{an}的公差设为d，‎ 由a1＝1，S3＝9，可得33×2d＝9，解得d＝2，‎ 则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；‎ ‎（2）bn＝a2n﹣1+a2n＝2（2n﹣1）﹣1+4n﹣1＝8n﹣4，‎ 则前n项和Tn＝4+12+…+（8n﹣4）n（4+8n﹣4）＝4n2．‎ ‎19．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；‎ 则f（0）＝0，‎ f（1）＝1﹣2＝﹣1，‎ 又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，‎ 则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；‎ ‎（Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0，‎ 则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，‎ 又由函数f（x）为偶函数，‎ 则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，‎ 则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，‎ ‎（Ⅲ）若方程f（x）﹣m＝0有四个不同的实数解，则函数y＝f（x）与直线y＝m有4个交点，‎ 而y＝f（x）的图象如图：‎ 分析可得﹣1＜m＜0；‎ 故m的取值范围是（﹣1，0）．‎ ‎20．【解答】解：（1）如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的所有棱长均为6，‎ A（3，﹣3，0），B（3，3，0），C（﹣3，3，0），D（﹣3，﹣3，0），P（0，0，3），‎ 设M（x1，y1，z1），N（x2，y2，0），‎ 由，得，，‎ 即，所以，‎ 由，得x2＝1，y2＝1，故N（1，1，0），‎ 所，‎ 所以cos，‎ 所以直线MN与PC所成的角为30°；‎ ‎（2）因为AC⊥平面PBD，设平面PBD的法向量，‎ 设平面PAN的法向量为，，‎ 由，得，故，‎ 所以，‎ 故锐二面角A﹣PN﹣D的余弦值为．‎ ‎21．【解答】解：（Ⅰ）设生产A产品x吨，B产品y吨，则（x，y∈N）可行域如图所示，‎ ‎（Ⅱ）约束条件的可行域，利润z＝300x+200y，‎ 由，可得x＝40，y＝10，‎ 结合图形可得x＝40，y＝10时，zmax＝14000．‎ 答：该公司每天需生产A、B产品各40，10吨可获得最大利润，最大利润14000元．‎ ‎22．【解答】解：（1）由题意，双曲线的焦点（±1，0）所以由题意知椭圆中：c＝1，e，b2＝a2﹣c2，解得：a2＝4，b2＝3，所以椭圆的方程为：；‎ ‎（2）∵，∴M为线段AB的中点，又kMPkPO，‎ ‎1）当M为坐标原点时，‎ ‎①当AB的斜率不存在时，此时，A，B为短轴的两个端点，S△ABP2b•|xP|，‎ ‎②当AB的斜率存在时，设的斜率为k，设A（x，y），B（x'，y'），则直线AB：y＝kx（k）‎ 代入椭圆方程整理：（3+4k2）x2﹣12＝0，x+x'＝0，xx'，‎ ‎∴|AB|4，‎ P到直线AB的距离d，‎ 所以SABP•|AB|•d＝2，‎ 令t＝6﹣12k，∴，‎ ‎∵要得面积S△ABP的最大值，则t＞0，t24，‎ ‎∴3，这时t，即t＝12，∴6﹣12k＝12，k时等号成立，‎ ‎∴（S△ABP）max＝2，直线方程为：yx．‎ ‎2）当M不为原点时，‎ 由kMP＝kOP，∴M，O，P三点共线，‎ ‎∴kMO，设A（x，y），B（x'，y'），M（x0，y0），‎ lAB的斜率为：kAB，x+x'＝2x0，y+y'＝2y0，，‎ 因为A，B在椭圆上：，‎ ‎∴0，‎ ‎∴10，‎ ‎∴1•kAB＝0，‎ 即10，∴kAB，‎ 设直线lAB：yx+m代入椭圆整理得：x2﹣mx+m2﹣3＝0，△＝m2﹣4（m2﹣3）＞0，m2＜4，x+x'＝m，xx'＝m2﹣3‎ ‎∴|AB|•，P到直线AB的距离为：d2，‎ ‎∴S△ABP••2•，‎ 令g（m）＝（2﹣m）3（2+m），（﹣2＜m＜2），‎ g'（m）＝﹣4（2﹣m）2（m+1），m∈（﹣2，﹣1），g'（m）＞0，g（m）单调递增，m∈（﹣1，2），g'（m）＜0，g（m）单调递减，所以g（﹣1）max＝27，∴S△ABP）max，∴直线AB的方程：y1，‎ 综上所述，面积的最大值为，直线AB的方程：y1．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2020/1/16 9:31:39；用户：徐力；邮箱：66145@xyh.com；学号：27265278‎