2018-2019学年四川省成都外国语学校高二下学期入学考试数学(理)试题 解析版

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2018-2019学年四川省成都外国语学校高二下学期入学考试数学(理)试题 解析版

绝密★启用前 四川省成都外国语学校 2018-2019 学年高二下学期入学考试 数学(理)试题 评卷人 得分 一、填空题 1.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 的准线交于 A,B 两点, ;则 C 的实轴长为______. 【答案】 【解析】 试题分析:设双曲线的方程为 ,由点 在双曲线上得 ,即 ,故 ,所以双曲线的实轴长为 . 考点:双曲线、抛物线的有关概念和基本性质. 2.已知 P 是椭圆 上的点, , 分别是椭圆的左、右焦点,若 的 面积为 ,则 的值为______. 【答案】12 【解析】 【分析】 由椭圆 1,可得 c=3.设 P(x0,y0),利用面积计算公式 3 , 解得 y0.把 y0 代入椭圆方程可得 x0.利用两点之间的距离公式即可得出. 【详解】 由椭圆 ,可得 . 设 ,则 ,解得 . 把 代入椭圆方程可得: ,解得 . , , . 故答案为:12. 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形面积计算公式、两点之间的距离公式,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 评卷人 得分 二、解答题 3.命题 p:函数 在 有零点;命题 q:不等式 对任意实数 x 恒成立,若 为真命题,求实数 a 的取值 范围. 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件求出 p,q 为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可. 【详解】 若 在 有零点, 由 得 , 设 , 则在 上为增函数,当 时, ,当 时, , 即 ,即 ,即 p: 当 时,不等式等价为 ,成立, 当 时,要使不等式恒成立, 则 ,得 , 即 ,即 , 综上 ,即 q: , 若 为真命题,则 p,q 至少有一个为真, 即 , , , 即实数 a 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查复合命题真假关系的应用,求出命题 p,q 为真命题的等价条件是解决本 题的关键. 4.某校高三年级 50 名学生参加数学竞赛,根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布 直方图,已知分数在 的矩形面积为 , 求: 分数在 的学生人数; 这 50 名学生成绩的中位数精确到 ; 若分数高于 60 分就能进入复赛,从不能进入复赛的学生中随机抽取两名,求两 人来自不同组的概率. 【答案】(1)3 人; (2)76.7; (3) . 【解析】 【分析】 (1)由所有的矩形面积和为 1 可得:分数在[50,60)的频率为 0.06,即可求出; (2)由 0.040+0.06+0.2=0.3,故中位数落在第四组,则中位数为 70 10; (3)分数在[40,50)的有 2 人,记为 a,b,在[50,60)共有 3 人,记为 c,d,e,由 此利用列举法能求出从分数[40,60)的 5 名学生任选 2 人,两人来自不同组的概率. 【详解】 由所有的矩形面积和为 1 可得:分数在 的频率为 ,故分数在 的人 数是 人, 由 , 故中位数落在第四组, 则中位数为 分数在 的有 2 人,记为 a,b,在 共有 3 人,记为 c,d,e, 从分数在 的 5 名学生任选 2 人的方法有:ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、 de,共 10 种, 两人来自不同组的有 ac、ad、ae、bc、bd、be 共 6 种, 两人来自不同组的概率 【点睛】 本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注 意列举法的合理运用. 5.已知圆 的方程为 ,直线的方程为 ,点 在直线上,过 点 作圆 的切线 ,切点为 . (1)若 ,试求点 的坐标; (2)若 点的坐标为 ,过 作直线与圆 交于 两点,当 时,求直线 的 方程. 【答案】(1)P(0,0)或 P (2) x+y-3=0 或 x+7y-9=0. 【解析】 试题分析: (1)设出点 P 的方程,利用两点之间距离公式得到关于实数 m 的方程,解方 程求得实数 m 的值可得点 的坐标为 或 (2)由题意可得圆心 到直线 的距离为 ,利用点到直线距离公式得到关于 实数 k 的方程,解方程可得直线 的方程为: 或 . 试题解析: (1)设 ,由条件可知 ,所以 ,解之得: , , 故所求点 的坐标为 或 (2)设直线 的方程为: ,易知 存在,由题知圆心 到直线 的距离为 ,所以 ,解得: 或 . 故所求直线 的方程为: 或 . 点睛:判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表 达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐, 则用代数法. 6.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 单位:千元对年 销售量 单位: 和年利润 单位:千元的影响,对近 13 年的年宣传费 和年销售量 2, 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. 由散点图知,按 建立 y 关于 x 的回归方程是合理的令 ,则 , 经计算得如下数据: 根据以上信息,建立 y 关于 的回归方程; 已知这种产品的年利润 z 与 x、y 的关系为 根据 的结果,求当年宣传 费 时,年利润的预报值是多少 附:对于一组数据 2, , ,其回归直线 的斜率和截距的最小 二乘 估计分别为 , 【答案】(1) (2) 年利润的预报值是 1090.4 【解析】 试题分析:(1)根据表中参考数据利用 即可得解; (2)由 结合(1)得 ,代入 求解即可. 试题解析: (1) , , 则 关于 的回归方程为 . (2)依题意 , 当 时, , 所以年利润的预报值是 1090.4. 点睛:求解回归方程问题的三个易误点: ① 易混淆相关关系与函数关系,两者的区别是函数关系是一种确定的关系,而相关关 系是一种非确定的关系,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也 可能是伴随关系. ② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过 点,可能 所有的样本数据点都不在直线上. ③ 利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为准确值,而实质上是预测值(期望 值). 7.己知椭圆 C: 的左右焦点分别为 , ,直线 l: 与椭圆 C 交 于 A,B 两点 为坐标原点. 若直线 l 过点 ,且 十 ,求直线 l 的方程; 若以 AB 为直径的圆过点 O,点 P 是线段 AB 上的点,满足 ,求点 P 的 轨迹方程. 【答案】(1) 或 ;(2) ( ). 【解析】 【分析】 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2).联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.根 据弦长公式|AB|= ,代入整理得 ,解得 .得到直线 l 的方程. (2)设直线 l 方程 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).联立 整理得 (2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.结合韦达定理及条件 ,整理得 3m2=8k2+8.从而有 |OP|2= (定值),得到点 P 的轨迹是圆,且去掉圆与 x 轴的交点.写出点 P 的轨迹方程 即可. 【详解】 (1)由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=8 ,则|AB|= . 因为直线 l 过点 F1(-2,0),所以 m=2k 即直线 l 的方程为 y=k(x+2). 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 联立 整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0. ∴ x1+x2= ,x1x2= .由弦长公式|AB|= , 代入整理得 ,解得 .所以直线 l 的方程为 , 即 或 . (2)设直线 l 方程 y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2). 联立 整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. ∴ x1+x2= ,x1x2= . 以 AB 为直径的圆过原点 O,即 . ∴ x1x2+ y1y2=0.将 y1=kx1+m,y2= kx2+m 代入,整理得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 将 x1+x2= ,x1x2= 代入, 整理得 3m2=8k2+8. ∵ 点 P 是线段 AB 上的点,满足 , 设点 O 到直线 AB 的距离为 d,∴ |OP|=d,于是|OP|2=d2= (定值), ∴ 点 P 的轨迹是以原点为圆心, 为半径的圆,且去掉圆与 x 轴的交点. 故点 P 的轨迹方程为 ( ). 【点睛】 本题考查椭圆方程求法,考查弦长的求法,考查椭圆、韦达定理、向量数量积、点到直 线距离公式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函 数与方程思想,是中档题. 8.如图,已知椭圆 ,椭圆的长轴长为 8,离心率为 . 求椭圆方程; 椭圆内接四边形 ABCD的对角线交于原点,且 ,求四边形ABCD 周长的最大值与最小值. 【答案】(1) ; (2)四边形 ABCD 的周长的最小值为 ,最大值为 20.. 【解析】 【分析】 (1)由题意可得 a=4,运用离心率公式可得 c,再由 a,b,c 的关系可得 b,进而得到 椭圆方程; (2)由题意的对称性可得四边形 ABCD 为平行四边形,运用向量的数量积的性质,可 得 2 2,即有四边形 ABCD 为菱形,即有 AC⊥BD,讨论直线 AC 的斜率为 0,可 得最大值;不为 0,设出直线 AC 的方程为 y=kx,(k>0),则 BD 的方程为 y x, 代入椭圆方程,求得 A,D 的坐标,运用两点的距离公式,化简整理,由二次函数的最 值求法,可得最小值. 【详解】 由题意可得 ,即 , 由 ,可得 , , 即有椭圆的方程为 ; 由题意的对称性可得四边形 ABCD 为平行四边形, 由 ,可得 , 即 , 可得 ,即有四边形 ABCD 为菱形, 即有 , 设直线 AC 的方程为 , ,则 BD 的方程为 , 代入椭圆方程可得 , 可设 , 同理可得 , 即有 , 令 , 即有 , 由 , 即有 ,即 时, 取得最小值,且为 ; 又当 AC 的斜率为 0 时,BD 为短轴,即有 ABCD 的周长取得最大值,且为 20. 综上可得四边形 ABCD 的周长的最小值为 ,最大值为 20. 【点睛】 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程求交点、 数量积的运算性质、二次函数的最值求法等是解题的关键.
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