2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年宁夏石嘴山市第三中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求得集合的元素，由此求得两个集合的交集.‎ ‎【详解】‎ 依题意，故,故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两个集合的交集的求法，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎2．命题“，使”的否定是（ ）‎ A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 ‎【答案】A ‎【解析】根据含有一个量词的命题的否定，可直接得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为特称命题的否定为全称命题，所以命题“，使”的否定是“，使”.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改量词与结论即可，属于基础题型.‎ ‎3．设，若，则实数是（ ）‎ A．1 B．-1 C． D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 解得a=-1,‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.‎ ‎4．已知，，，则（　　）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数和对数函数的单调性可确定临界值，从而得到大小关系.‎ ‎【详解】‎ ‎；；且 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用指数和对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.‎ ‎5．已知，则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分子分母同时除以，可将所求式子化为关于的式子，代入求得结果.‎ ‎【详解】‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求解正弦、余弦的齐次式的值的问题，关键是能够通过除法运算构造出关于正切值的式子，属于常考题型.‎ ‎6．函数的定义域（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】解不等式即得函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以函数的定义域为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎7．设函数，则下列结论错误的是（ ）‎ A．的一个周期为 B．的图像关于直线对称 C．在单调递减 D．的一个零点为 ‎【答案】C ‎【解析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ A．函数的周期为2kπ，当k＝﹣1时，周期T＝﹣2π，故A正确，‎ B．当x时，cos（x）＝cos（）＝coscos3π＝﹣1为最小值，此时y＝f（x）的图象关于直线x对称，故B正确，‎ C．当x＜π时，x，此时函数f（x）不是单调函数，故C错误，‎ D．当x时，f（π）＝cos（π）＝cos0，则f（x+π）的一个零点为x，故D正确 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键．‎ ‎8．图象可能是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】判断函数的奇偶性，利用导数判断函数在上的单调性即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 显然是偶函数，图象关于轴对称，‎ 当时，，‎ 显然当时，，‎ 当时，，而，‎ 所以，‎ ‎∴在上恒成立，‎ ‎∴在上单调递减．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的识别，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题．‎ ‎9．已知函数在上的值域为，函数在上的值域为.若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先计算出两个函数的值域，根据是的必要不充分条件可得是的真子集，从而得到的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为在上单调递增，所以，又函数在上单调递增，于是.因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，故有（等号不同时取），得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；‎ ‎（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；‎ ‎（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；‎ ‎（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．‎ ‎10．设函数是定义在实数集上的奇函数，在区间上是增函数，且，则有（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，，再利用函数在区间上是增函数可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：为奇函数，，‎ 又 ‎，，‎ 又，且函数在区间上是增函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性、奇偶性比较函数值的大小，考查利用知识解决问题的能力.‎ ‎11．已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（且）有个不同的根，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 由已知，函数在区间的图象如图所示，直线y（且）表示过定点的直线，为使关于的方程（且）有个不同的根，即直线与函数的图象有4个不同的交点.‎ 结合图象可知，当直线介于直线和直线之间时，符合条件，‎ 故选.‎ ‎【考点】函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程.‎ ‎12．定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 构造函数，根据可知，得到在上单调递减；根据，可将所求不等式转化为，根据函数单调性可得到解集.‎ ‎【解答】‎ 令，则 在上单调递减 ‎ ‎ 则不等式可化为 等价于，即 ‎ 即所求不等式的解集为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，关键是能够构造函数，将所求不等式转变为函数值的比较，从而利用其单调性得到自变量的关系．‎ 二、填空题 ‎13．若，则___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先化简已知得，再利用平方关系求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，因为，所以 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.‎ ‎14．定积分__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据定积分的几何意义求出，再由微积分基本定理求出，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为表示圆面积的，所以；‎ 又，‎ 所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查求定积分的问题，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即可，属于常考题型.‎ ‎15．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】求出函数的导数，令，解出的值，再将的值代入函数的解析式可得出点的坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎，，令，即，解得 ‎，‎ ‎，，‎ 因此，点的坐标为或，故答案为：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，利用切线与直线的位置关系求切点坐标，解题时要利用已知条件得出导数值与直线斜率之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎16．已知函数，当时，关于的不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先应用条件将函数解析式化简，通过解析式的形式确定函数的单调性，解出函数值1所对应的自变量，从而将不等式转化为，进一步转化为，求解即可，要注意对数式中真数的条件即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，是上的增函数，且，所以可以转化为，结合函数的单调性，可以将不等式转化为，解得，从而得答案为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 解决该题的关键是将不等式转化，得到所满足的不等式，从而求得结果，挖掘题中的条件就显得尤为重要.‎ 三、解答题 ‎17．已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图像与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】[，1)∪(，＋∞)．‎ ‎【解析】先求出当命题p，q为真命题时的取值范围，由p∨q真，p∧q假可得p与q一真一假，由此可得关于的不等式组，解不等式组可得结论．‎ ‎【详解】‎ 当命题p为真，即函数y＝loga(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减时，‎ 可得．‎ 当命题q为真，即函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图像与x轴交于不同的两点，‎ 可得，‎ 解得，‎ 又，‎ 所以当q为真命题时，有．‎ ‎∵p∨q为真，p∧q为假，‎ ‎∴p与q一真一假．‎ ‎①若p真q假，则 ，解得；‎ ‎②若p假q真，则 ，解得．‎ 综上可得或．‎ ‎∴实数a的取值范围是[，1)∪(，＋∞)．‎ ‎【点睛】‎ 根据命题的真假求参数的取值范围的步骤：‎ ‎(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎(2)判断命题p，q的真假性；‎ ‎(3)根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．‎ ‎18．已知函数在一个周期内的图像经过点和点，且的图像有一条对称轴为.‎ ‎（1）求的解析式及最小正周期；‎ ‎（2）求的单调递增区间.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）由函数的图象经过点且f（x）的图象有一条对称轴为直线，‎ 可得最大值A，且能得周期并求得ω，由五点法作图求出 的值，可得函数的解析式．‎ ‎（2）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一个周期内的图象经过点，，且f（x）的图象有一条对称轴为直线，‎ 故最大值A＝4，且,‎ ‎∴，‎ ‎∴ω＝3．‎ 所以.‎ 因为的图象经过点，所以，‎ 所以，.‎ 因为，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以，，‎ 所以，，‎ 即的单调递增区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+）的性质求解析式，通常由函数的最大值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出的值，考查了正弦型函数的单调性问题，属于基础题．‎ ‎19．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎．‎ ‎（1）若，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求．‎ ‎【答案】（1），；（2）或．‎ ‎【解析】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数．‎ 试题解析：（1）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由解得或.‎ 从而与的交点坐标为，.‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时，的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上，或.‎ 点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值．‎ ‎20．已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ）极大值，极小值；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域与导数，求出极值点，然后列表分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值；‎ ‎（Ⅱ）求出函数的导数为，对分、、和四种情况讨论，分析导数在区间上的符号，可得出函数的单调区间.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，‎ ‎，令，或.‎ 列表如下：‎ 极大值 极小值 所以，函数的极大值，极小值；‎ ‎（Ⅱ）由题意得，‎ ‎（1）当时，令，解得；，解得.‎ ‎（2）当时，‎ ‎①当时，即时，‎ 令，解得或；令，解得；‎ ‎②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；‎ ‎③当时，即当时，‎ 令，解得或；令，解得.‎ 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数的单调区间，在处理含参数的函数问题时，要弄清楚分类讨论的基本依据，结合导数分析导数符号进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ ‎21．已知函数， ‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在满足，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）分别在，，三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将问题转化为有解；利用绝对值三角不等式可求得，从而得到，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时， ‎ 当时，，解得：；‎ 当时，，解得：；‎ 当时，，解得：‎ 的解集为：‎ ‎（2）若存在满足等价于有解 ‎ ，解得：‎ 实数的取值范围为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用、能成立问题的求解问题，关键是能够将能成立问题转化为最值的求解问题，通过求解最值得到不等关系，从而求得结果.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎(Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ)若直线为函数的切线，求的最小值.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2) .‎ ‎【解析】（1）由即为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到结论；‎ ‎（2）求得函数的导数，设出切点，可得的值和切线方程，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)证明：整理得 令，‎ 当，，所以在上单调递增；‎ 当，，所以在上单调递减，‎ 所以，不等式得证.‎ ‎(Ⅱ)，设切点为，‎ 则，函数在点处的切线方程为 ‎，令，解得，‎ 所以，令，‎ 因为，，所以，‎ ‎，‎ 当，，所以在上单调递减；‎ 当，，所以在上单调递增，‎ 因为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎