陕西省吴起高级中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学（理）试题

陕西省吴起高级中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测数学（理）试题

吴起高级中学2019—2020学年第二学期 高二第一次质量检测理科数学试题 ‎(全卷150分 时间120分钟) ‎ 一、选择题(共60分，每小题5分.)‎ ‎1．已知向量，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数所对应的点在复平面的（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．下列说法错误的是(　　)．‎ A．向量与的长度相等 B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0‎ D．零向量没有方向 ‎4．分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ）‎ A．必要条件 B．必要条件 C．充分条件 D．必要条件或成分条件 ‎5．已知复数（为虚数单位），则复数的虚部是（ ）‎ A．1 B．‎-1 ‎C． D．‎ ‎6．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．的展开式中的系数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）‎ A．32种 B．25种 C．20种 D．10种 ‎9．已知且,则的值是（ ）‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎10．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有 A．21种 B．315种 C．153种 D．143种 ‎11．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎12．一个向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(共20分，每小题5分.)‎ ‎13．已知向量，，若与共线，则__________．‎ ‎14．用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是 ．‎ ‎15．设复数满足，则的最大值是_______.‎ ‎16．某幼儿园的老师要给甲、乙、丙、丁4个小朋友分发5本不同的课外书，则每个小朋友至少分得1本书的不同分法数为______.‎ 三、解答题(共70分，17题10分.18-22每题12分)‎ ‎17．已知长方体中, ，点是的中点，点是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．‎ ‎（1）写出点的坐标；‎ ‎（2）求线段的长度；‎ ‎（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．‎ ‎18．已知复数 （为正实数），且 为纯虚数.‎ ‎（1）求复数 ；‎ ‎（2）若 ，求复数 的模 ．‎ ‎19．设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2.‎ ‎20．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，‎ ‎（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？‎ ‎（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？‎ ‎21．已知空间三点，设 .‎ ‎1求和的夹角的余弦值；‎ ‎2若向量与相垂直，求实数k的值；‎ ‎3若向量与共线，求实数的值．‎ 22． 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧棱底面，，点为的中点，作，交于点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）求二面角的余弦值.‎ 吴起高级中学2019—2020学年第二学期高二 第一次质量检测理科数学参考答案 一、选择题（每题5分）‎ ‎1．A 2．B 3．D 4．C 5．B 6．D ‎7．D 8．A 9．C 10．D 11．B 12．A 二、填空题（每题5分）‎ ‎13．3 14． 15．6 16．240‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17、（10分）解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，‎ 由得：‎ ‎，‎ 因为点N是AB的中点，点M是的中点，‎ ‎，；‎ ‎（2）由两点距离公式得：‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（3）直线与直线不垂直，‎ 理由：由（1）中各点坐标得：‎ ‎，‎ ‎，‎ 与不垂直，‎ 所以直线与直线不垂直.‎ ‎18、（12分）解：（1） .‎ ‎，所以 ，又 为正实数，‎ 所以 ．所以 ， ‎ ‎（2） ，所以 ．‎ ‎19、（12分）证明：假设全部小于2.即，‎ 则，①‎ 又，当且仅当时等号成立，‎ 与①矛盾，所以假设错误．原命题为真．‎ 所以至少有一个不小于2.‎ ‎20、（12分）解：（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，‎ 红球4个，取法有种，‎ 红球3个和白球1个，取法有种；‎ 红球2个和白球2个，取法有种；‎ 根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．‎ ‎（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.‎ 第一种，4红1白，取法有种；‎ 第二种，3红2白，取法有种，‎ 第三种，2红3白，取法有种，‎ 根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有 ‎21、（12分）解： ‎ ‎1 ，‎ ‎ 和的夹角的余弦值为．‎ ‎2 ，‎ ‎ 与相垂直 ‎ ‎ ‎ ‎，或．‎ ‎3)， ‎ 向量与共线，存在实数，使得 即， ‎ ‎，或．‎ ‎22、（12分）解:（1）证明:连接交于,连接.‎ 因为,分别为,的中点,所以为的中位线 ‎∴,又平面,平面,∴平面 ‎（2）在中,,点为的中点,‎ ‎∴,则平面.‎ 又∵平面,则.‎ ‎（3）取中点,连接.‎ 依题意可得为等边三角形,∴,‎ 又因为底面,,平面 则,‎ 建立以为坐标原点,如图所示坐标系,则有:‎ ‎,,,,,,‎ ‎,,设平面的法向量为,‎ 则,∴‎ ‎∵平面,所以为平面的一条法向量,且 ‎∴‎