宁夏吴忠中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

宁夏吴忠中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

吴忠中学2019-2020学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷（理科）‎ 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，再根据集合交集定义运算即可.‎ ‎【详解】因为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数的不等式组，解出即可得出函数的定义域.‎ ‎【详解】由题意可得，解得，因此，函数的定义域为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎3.在中，已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过余弦定理求出，再利用三角形的内角和为求出.‎ ‎【详解】解：由余弦定理得，‎ 则，‎ 又，‎ 则.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理的应用，是基础题.‎ ‎4.如果等差数列中，++=12，那么++…+=（ ）‎ A. 14 B. ‎21 ‎C. 28 D. 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：等差数列中，，则 考点：等差数列的前项和 ‎5.若，，，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出.‎ ‎【详解】解：∵，，， ‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号. ∴的最小值是. 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题.‎ ‎6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，,故选D.‎ 考点：点线面的位置关系.‎ ‎7.已知向量，且，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为，所以‎2m-2=0,解得m=1,所以，选B.‎ ‎8.若，且，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵，，‎ ‎∴，‎ ‎∴．选B．‎ ‎9.已知命题:，，命题:是定义域上的减函数，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二次函数与对数函数的单调性即可判断出命题的真假.利用幂函数即可判断出命题的真假.‎ ‎【详解】解：命题:，，是真命题. 命题:是定义域上的增函数，因此是假命题. ∴下列命题中为真命题的是. 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数与对数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎10.对于任意实数，有以下四个命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，，则；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④若，则.‎ 其中正确的有（ ）‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的性质，逐个选项验证可得.‎ ‎【详解】选项①，则正确，由不等式的性质可得；‎ 选项②若，，则正确，由不等式的可加性可得； 选项③若，，则错误，比如若均为正数，可得；‎ 选项④，则错误，比如−1＞−2，但. 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，属基础题.‎ ‎11.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度约等于（ ）.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）‎ A. 92 B. ‎39 ‎C. 80 D. 60‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度.‎ ‎【详解】解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，‎ ‎ 则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝‎46m， ， 根据正弦定理 得. 故选：D.‎ ‎【点睛】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题.‎ ‎12.已知数列满足，且，则最小值为（ ）‎ A. 21 B. ‎10 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由累加法求出，所以，设，由此能导出或时有最小值，借此能得到的最小值.‎ ‎【详解】解：‎ ‎ 所以 设，由对勾函数的性质可知，‎ 在上单调递减，在上单调递减，‎ 又因为，所以当或时可能取到最小值.‎ ‎ 又因为， 所以的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及对勾函数的单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力.‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.直线与圆交于两点，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.‎ ‎【详解】根据题意，圆的方程可化为，‎ 所以圆的圆心为，且半径是，‎ 根据点到直线的距离公式可以求得，‎ 结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.‎ ‎14.已知等比数列，若，，则________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用等比数列性质得，再利用等比数列的通项公式列方程求出公比，进而可得.‎ ‎【详解】解：由得，‎ ‎，‎ 设等比数列的公比为，‎ 则由得，‎ 解得或，‎ 所以或.‎ 故答案为：或.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查学生计算能力，是基础题.‎ ‎15.若，且，那么形状一定是___________.‎ ‎【答案】等边三角形．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知及余弦定理可得，又，可解得，又，由正弦定理，余弦定理解得，整理解得，可得三角形为等边三角形.‎ ‎【详解】解：∵， ∴由余弦定理可得：， ∵， ∴，‎ 又∵， ∴由正弦定理可得：，‎ 根据余弦定理即有：， ∴整理可得：，即有：， ∴结合，从而有. 故三角形为等边三角形.‎ 故答案：等边三角形.‎ ‎【点睛】此题考查了正弦定理，余弦定理，以及等腰三角形的判定，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基本知识的考查.‎ ‎16.已知实数满足则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】画出不等式组表示的平面区域，‎ 由图可知原点到直线距离的平方为的最小值，为，原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为，因此的取值范围为 ‎【考点】线性规划 ‎【名师点睛】‎ 线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.‎ 三、解答题（本题共6小题，共70分，要写出必要的文字叙述、演算步骤及推理过程）‎ ‎17.已知关于不等式对于所有的实数都成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分和讨论，当时需，且对应二次方程的判别式小于0，联立不等式求解的取值范围.‎ ‎【详解】解：当时，原不等式可化为，即. 不满足题意； 当时，要使不等式对于所有的实数都成立， 则，即. 解得：. 综上，使不等式对于所有的实数都成立的的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，训练了“三个二次”结合求解含参数的范围问题，是中档题.‎ ‎18.在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：‎ ‎（1）a和c的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.‎ 解，即可求出a，c；（2） 在中，利用同角基本关系得 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.‎ ‎（1）由得，，又，所以ac=6.‎ 由余弦定理，得.‎ 又b=3，所以.‎ 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.‎ 因为a>c,∴ a=3，c=2.‎ ‎（2）在中，‎ 由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.‎ 于是=.‎ 考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.‎ ‎19.‎ 围建一个面积为‎360m2‎矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为‎2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．‎ ‎（Ⅰ）将y表示为x的函数；‎ ‎（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．‎ ‎【答案】（Ⅰ）y=225x+‎ ‎（Ⅱ）当x=‎24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为‎360m2‎，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值 试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m 则45x+180（x-2）+180·‎2a=225x+‎360a-360‎ 由已知xa=360,得a=,‎ 所以y=225x+‎ ‎（2）‎ ‎．当且仅当225x=时，等号成立．‎ 即当x=‎24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．‎ 考点：函数模型的选择与应用 ‎20.已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，记数列的前项和为，求 ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列S3=12,等差中项的性质，求得a2=4，结合 ‎2a1，a2，a3+1成等比数列，得a22=2（a2-d）（a2+d+1），进而求得的通项公式；（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和.‎ ‎【详解】设公差为d，则∵S3=12，，即a1+a2+a3=12，∴‎3a2=12，∴a2=4，‎ 又∵‎2a1，a2，a3+1成等比数列，∴a22=2（a2-d）（a2+d+1），解得d=3或d=-4（舍去），‎ ‎∴an=a2+（n-2）d=3n-2‎ ‎（2） ，∴ ①‎ ‎①× 得 ②‎ ‎①-②得 ‎ ‎ ，‎ ‎∴ ．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，以及等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于{}型数列，其中分别是等差数列和等比数列.‎ ‎21.设三个内角的对边分别为,的面积满足.‎ ‎(1)求角的值;‎ ‎(2)求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2).‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合同角的商数关系，可得角的值；（2）由三角形的内角和定理，可得，运用两角和差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．‎ 试题解析：(1)‎ ‎,求得,‎ 所以.‎ ‎(2)因为,所以,即;‎ 经三角变换得 因为,所以,,‎ 所以.‎ ‎22.为数列的前项和.已知，‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前项和为，若对任意，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），，时，，相减可得，‎ ‎，利用等差数列的通项公式可得；‎ ‎（2），利用裂项求和方法即可得出，再将恒成立问题转化为的最大值问题，即可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1），， 时，， 相减可得：， 化为：， ∵，‎ ‎，即， 又，解得. ∴数列是等差数列，首项为3，公差为2. ；‎ ‎（2）， ∴数列前项和 ‎，‎ 由得，‎ 又对任意，恒成立，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.‎