数学理卷·2018届河北省石家庄市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届河北省石家庄市高二上学期期末考试（2017-01）

石家庄市2016～2017学年度第一学期期末考试试卷 高二数学（理数）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.命题：“”的否定形式是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.将一枚质地均匀的硬币随机抛掷两次，出现一次正面向上，一次反面向上的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.设，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.执行如图所示的程序框图，则输出结果的值为（ ）‎ A． B．-1 C. D．0‎ ‎6.某单位要在800名员工中抽取80名员工调查职工身体健康状况，其中青年员工400名，中年员工300名，老年员工100名，下列说法错误的是（ ）‎ A．老年人应作为中点调查对象，故抽取的老年人应超过40名 ‎ B．每个人被抽到的概率相同为 C.应使用分层抽样抽取样本调查 D．抽出的样本能在一定程度上反应总体的健康状况 ‎7.若过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.某产品的广告费用（万元）与销售额（万元）的统计数据如下表所示，根据表中的数据可得回归方程，其中.据此模型预报.当广告费用为7万元时的销售额为（ ）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎38‎ ‎20‎ ‎31‎ ‎51‎ A．60 B．70 C. 73 D．69‎ ‎9.如图，空间四边形中，，点在线段上，且，点为的中点，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.设为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，且（其中点为椭圆的中心），则该椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在单位正方体中，是的中点，则点到平面 的距离为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.设分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线的右支上的点，射线平分交轴于点，过原点作的平行线交于点，若，则的离心率为（ ）‎ A． B．3 C.2 D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若五个数1,2,3,4，的平均数为4，则这五个数的标准差为 ．‎ ‎14.设一直角三角形的两条直角边长均是区间上的任意实数，则斜边长小于1的斜率为 ．‎ ‎15.已知，若向量共面，则的值为 ．‎ ‎16.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 现有6道题甲类题，3道乙类题，某同学从中任取两道题解答.试求：‎ ‎（1）所取的两道题都是甲类题的概率；‎ ‎（2）所取的两道题不是同一类题的概率.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 设命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 从某高一年级1000名学生中随机抽取100名测量身高，测量后发现被抽取的学生身高全部介于155厘米到195厘米之间，将测量结果分为八组：第一组，第二组，……，第八组，得到频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）计算第三组的样本数；并估计该校高一年级1000名学生中身高在170厘米以下的人数；‎ ‎（2）估计被随机抽取的这100名学生身高的中位数，平均数.‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知圆，直线，且直线与圆相交于两点.‎ ‎（1）若，求直线的倾斜角；‎ ‎（2）若点满足，求直线的方程.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆的上顶点为，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）从椭圆上一点向圆上引两条切线，切点分别为，当直线分别与轴、轴交于两点时，求的最小值.‎ 附加题：（此题各校根据本校情况，酌情选择，自行设置分数）‎ 已知函数，（为自然对数的底数）‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若对任意实数恒有，求实数的取值范围.‎ 石家庄市2016～2017学年度第一学期期末考试试卷 高二数学（理科答案）‎ ‎（时间120分钟，满分150分）‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C A C B A D B C A B C 二、填空题：‎ ‎13. 14. 15. 6 16. 11‎ 三、解答题：‎ ‎17.(本题满分10分)‎ 解：（Ⅰ）设所取的两道题都是甲类题为事件A，甲类题为，乙类题为，则基本 事件空间为 共15个基本事件 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 其中事件包含3个基本事件，．．．．．．．．．．4分 因为是等可能事件，所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅱ）设所取的两道题不是同一类题为事件B，则事件 包含9个基本事件，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为是等可能事件，所以 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ‎18.(本题满分12分)‎ 解：设,,‎ 易知,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 由是的充分不必要条件知AB，∴或 ．．．．．．．．．．．．．9分 故所求实数的取值范围是或 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎19.(本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）由第三组的频率为，‎ 则其样本数为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 由，则高一年级1000名学生身高低于170厘米的人数约为（人）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅱ）前四组的频率为，‎ ‎，则中位数在第四组中，由, 得，‎ 所以中位数为；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 经计算得各组频数分别为 平均数约为：‎ ‎ ．．．．．．．．．12分 ‎20.(本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）因为圆心到直线的距离，圆的半径为，‎ 所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以直线的斜率为，直线的倾斜角为.．．．．．．．．．．．6分 ‎ ‎（Ⅱ）联立方程组 消去并整理，得 ..．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎ 所以，. ①‎ 设，，由知点P为线段AB的中点.‎ 所以，解得,..．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以所求直线方程为..．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎21.(本题满分12分) ‎ ‎（Ⅰ）证明：连接BD，由已知中四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，‎ 可得BE⊥AB，PA⊥BE，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 由线面垂直的判定定理可得BE⊥平面PAB，．．．．．．4分 因为,‎ 所以平面PBE⊥平面PAB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又PA⊥底面ABCD，‎ 以点E为坐标原点，EB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴，过点E垂直于平行于直线AP的方向为z轴建立空间坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以，，，，．．．．．．8分 设为平面BPE的法向量，则，‎ 所以，令得为平面BPE的一个法向量，‎ 同理得为平面DPE的一个法向量，．．．．．．．．．．．．．．11分 ‎. ．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎22.(本题满分12分)‎ 解：（Ⅰ）因为所以,．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以椭圆的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（Ⅱ）设切点为，‎ 当切线斜率存在时，设切线方程为 又 故切线方程为，‎ 当k不存在时，切点坐标为，对应切线方程为，符合 综上知切线方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设点坐标为，是圆的切线，切点，过点的圆的切线为，过点的圆的切线为．‎ 两切线都过点，．‎ 切点弦的方程为，由题意知 ，．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ‎，，‎ ‎，．．．．．．．．．．．．．．．10分当且仅当，时取等号，，的最小值为 ．．．．．．．12分 附加题：‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎（1）当时，在R上单调递增；‎ ‎（2）当时，令得，‎ ‎ 令得，‎ 所以的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ 综上知（1）当时，在R上单调递增；‎ ‎（2）当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以在时取得最小值，‎ 由题意，只需，解得；‎ 当时，在R上单调递增，‎ 而当时，满足条件 当 时，对于给定的，若，则，‎ 而，故必存在使得，不合题意。‎ 综上知，满足条件的实数的取值范围是.‎