【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 学案

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【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 学案

‎《计数原理》全章复习与巩固 ‎ ‎ ‎【学习目标】 ‎ ‎1. 正确使用加法原理和乘法原理,正确区分排列和组合问题,熟练掌握二项式定理的形式和二项式系数的性质.‎ ‎2. 能把所学知识使用到实际问题中,并能熟练运用.‎ ‎【知识网络】‎ ‎【要点梳理】 ‎ 要点一:计数方法 排列与组合 ‎ (1)分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,两者的区别在于分步计数原理与分步有关,分类计数原理与分类有关.‎ ‎ (2)排列与组合主要研究从一些不同元素中,任取部分或全部元素进行排列或组合,求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关,与顺序有关的属排列问题,与顺序无关的属组合问题.‎ ‎ (3)排列与组合的主要公式 ‎①排列数公式:,‎ ‎.‎ ‎②组合数公式:.‎ ‎③组合数性质:(i),;‎ ‎(ii);‎ ‎(iii).‎ 排列组合应用题的处理方法和策略 ‎ (1)正确选择使用分类计数原理还是分步计数原理.“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件,而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件.所以准确理解两个原理的关键在于明确:分类计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰,彼此之间交集为空集,并集为全集,不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件;分步计数原理强调各步骤缺一不可,需要依次完成所有步骤才能完成事件,步与步之间互不影响,即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.‎ ‎ (2)排列与组合定义相近,它们的区别在于是否与顺序有关.‎ ‎ (3)复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简化等手段使问题直观化,从而寻求解题途径,由于结果的正确性难以直接检验,因而常需要用不同的方法求解来获得检验.‎ ‎ (4)按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程分步,是处理组合问题的基本思想方法,要注意题设中“至少”“至多”等限制词的意义.‎ ‎ (5)处理排列组合的综合性问题,一般思路方法是先选元素(组合),后排列,按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程“分步”,始终是处理排列、组合问题的基本方法和原理,通过解题训练要注意积累分类和分步的基本技能.‎ ‎ (6)在解决排列组合综合性问题时,必须深刻理解排列与组合的概念,能够熟练确定问题是排列问题还是组合问题,牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质.容易产生的错误是重复和遗漏计数.‎ ‎ 常见的解题策略有以下几种:‎ ‎ ①特殊元素优先安排的策略;‎ ‎ ②合理分类与准确分步的策略;‎ ‎ ③排列、组合混合问题先选后排的策略;‎ ‎ ④正难则反、等价转化的策略;‎ ‎ ⑤相邻问题捆绑处理的策略;‎ ‎ ⑥不相邻问题插空处理的策略;‎ ‎ ⑦定序问题除法处理的策略;‎ ‎ ⑧分排问题直排处理的策略;‎ ‎ ⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;‎ ‎ ⑩构造模型的策略.‎ 要点诠释:‎ 主要的计数思想有分类与分步、模型处理思想、优限法思想、正难则反思想、先选后排思想等;常见问题的类型基本上是组合与排列问题、至多与至少问题、相邻与不相邻问题等.‎ 要点二:二项式定理 关于二项式定理的知识 ‎(1)二项式定理 ‎,其中各项系数就是组合数,展开式共有(n+1)项,第r+1项是.‎ ‎ (2)二项展开式的通项公式 ‎ 二项展开式的第r+1项(r=0,1,…,n)叫做二项展开式的通项公式.‎ ‎ (3)二项式系数的性质 ‎ ①对称性:(r=0,1,2,…,n).‎ ‎②递推性:‎ ‎③增减性与最大值:逐渐增大,随后又逐渐减小 若n是偶数,则中间项的二项式系数最大,其值为.‎ 若n是奇数,则中间两项的二项式系数相等,并且最大,其值为.‎ ‎ ④所有二项式系数和等于,即.‎ ‎ 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和,即.‎ 要点诠释:‎ 熟记二项式定理,是解答与二项式定理有关问题的前提条件,对比较复杂的二项式,有时先化简再展开更便于计算. 注意二项式系数与项的系数是有区别的.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一:两个计数原理 例1. 某学习小组有8名同学,从男生中选2人,女生中选1‎ 人参加数学、物理、化学三种竞赛,要求每科均有1人参加,共有180种不同的选法,那么该小组中男、女同学各有多少人?‎ ‎【解析】设男生有x人,则女生有(8-x)人,依题意,得:‎ ‎,‎ 即,‎ 解得(舍),‎ 故男生有5人,女生有3人;或男生有6人,女生有2人.‎ ‎【总结升华】对于复杂问题,不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时,可以综合应用两个原理.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】计算.‎ ‎【答案】362879‎ ‎【解析】由,故原式=.‎ ‎【变式2】某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有 ( )‎ A.504种 B.960种 C.1008种 D.1108种 ‎ 【答案】 C ‎ 【解析】分两类:甲、乙排1、2号或6、7号,共有2×种方法;甲、乙排中间,丙排7号或不排7号,共有种方法;故共有1008种不同的排法.‎ 例2. 同室4人各写1张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式有(  )‎ ‎  A.6种          B.9种          C.11种            D.23种 ‎ ‎【解析】解法1:设四人A,B,C,D写的贺年卡分别是a,b,c,d,当A拿贺年卡b,则B可拿a,c,d中的任何一个,即B拿a,C拿d,D拿c或B拿c,D拿a,C拿d或B拿d,C拿a,D拿c,所以A拿b时有三种不同分配方法.同理,A拿c ,d时也各有三种不同的分配方式.由分类计数原理,四张贺年卡共有3+3+3=9种分配方式.‎ 解法2:让四人A,B,C,D依次拿一张别人送出的贺年卡.如果A先拿有3种,此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法.接下来,剩下的两个人都各只有一种取法.由分步计数原理,四张贺年卡不同的分配方式有3×3×1×1=9种.‎ ‎  ∴ 应选B.‎ ‎【总结升华】正确使用和区别两个原理是解决本题的关键.‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】现有6名同学同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是( )‎ ‎ A.56 B.65 C. D.6×5×4×3×2‎ ‎ 【答案】 A ‎ 【解析】因为每名同学有5个讲座可选,6位同学共有5×5×5×5×5×5=56种选法.‎ ‎【变式2】用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )‎ ‎ A.324 B.328 C.360 D.648‎ ‎ 【答案】 B ‎ 【解析】利用分类计数原理,共分两类:‎ ‎ (1)0作个位,共个偶数;‎ ‎ (2)0不作个位,共个偶数,‎ ‎ 共计72+256=328个偶数,故选B.‎ 类型二:排列与组合及分类、分布原理的应用 例3. 下表是高考第一批录取的一份志愿表. 如果有4所重点院校,每所院校有3个专业是你较为满意的选择. 若表格填满且规定学校没有重复,同一学校的专业也没有重复的话,你将有多少种不同的填表方法?‎ ‎【思路点拨】填写学校时是有顺序的,因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题;同一学校的两个专业也有顺序,要区分第一专业和第二专业. 因此这是一个排列问题.‎ ‎【解析】填表过程可分两步.‎ 第一步,确定填报学校及其顺序,则在4所学校中选出3所并加排列,共有种不同的排法;‎ 第二步,从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序,其中又包含三小步,因此总的排列数有.‎ 综合以上两步,由分步计数原理得不同的填表方法有:种.‎ ‎【总结升华】要完成的事件与元素的排列顺序是否相关,有时题中并未直接点明,需要根据实际情景自己判断,特别是学习了组合这一点尤其重要. 另外,较复杂的事件应分解开考虑.‎ 举一反三:‎ ‎ 【变式1】某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有_______种.(用数字作答)‎ ‎ 【答案】 96‎ ‎ 【解析】 两类:第一棒是丙有种传递方案,第一棒是甲、乙中一人有种传递方案.因此共有方案48+48=96种.‎ ‎ 【变式2】现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )‎ ‎ A.152 B.126 C.90 D.54‎ ‎ 【答案】 B ‎ 【解析】 分类讨论:若有2人从事司机工作,则方案有;若有1人从事司机工作,则方案有种,所以共有18+108=126种,故B正确.‎ 例4 . 8个人分两排坐,每排4人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有多少种安排方法?‎ ‎【思路点拨】由题意可分为“乙、丙坐前排,甲坐在前排的8人做法”和“乙、丙坐后,甲坐在前排的8人做法”两类情况;也可以采取“总方法数减去不合题意的方法总数”. 下面用两种方法来解答.‎ ‎【解析】解法一:‎ 由题意可分为“乙、丙坐前排,甲坐在前排的8人做法”和“乙、丙坐后,甲坐在前排的8人做法”两类情况. 在每类情况下,划分“乙、丙坐下”,“甲坐下”,“其他五人坐下”三个步骤,因此共有不同的排法有:种.‎ 解法二:采取“总方法数减去不合题意的方法总数”. 把“甲坐在第一排的8人坐法数”看成“‎ 总方法数”,这个数目是. 在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐第一排,且乙、丙坐两排的8人坐法”,这个数目是. 其中第一个因数表示甲坐在第一排的方法数,表示从乙、丙中任选一人的方法数,表示把选出的这个人安排在第一排的方法数,下一个则表示乙、丙中未安排的那个人坐在第二排的方法数,就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为:种.‎ ‎【总结升华】直接法和间接法对比考虑,正难则反.‎ 举一反三:‎ ‎ 【变式1】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 ( )‎ ‎ A.18 B.24 C.30 D.36‎ ‎ 【答案】 C ‎ 【解析】 用间接法解答:四名学生中有两名学生分到一个班的种数是,顺序有种,而甲、乙被分到同一个班有正种,所以种数是.‎ ‎【变式2】从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有( )‎ ‎ A.70种 B.80种 C.100种 D.140种 ‎ 【答案】 A ‎ 【解析】 直接法:一男两女,有种,两男一女,有种,共计70种.‎ ‎ 间接法:任意选取种,其中都是男医生有种,都是女医生有种,于是符合条件的有84-10-4=70种.‎ 类型三:求二项展开式特定项和有关二项展开式的系数问题 例5. 已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.‎ ‎(1)求展开式中二项式系数最大的项;‎ ‎(2)求展开式中系数最大的项.‎ ‎【思路点拨】先由条件列方程求出n. (1)需考虑二项式系数的性质;(2)需列不等式确定r.‎ ‎【解析】令x=1得展开式的各项系数之和为,而展开式的二项式系数的和为 ‎,‎ 故有,所以n=5.‎ ‎(1)因n=5,故展开式共有6项,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.‎ 故,.‎ ‎(2)设展开式中第r+1项的系数最大,‎ ‎,‎ 故有 即 解得.‎ ‎,即展开式中第5项的系数最大.‎ ‎.‎ ‎【总结升华】展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念,因此其求法也不同. 前者用二项式系数的性质直接得出,后者要列不等式组,解不等式组时可能会求出几个r,这时还必须算出相应项的系数后再比较大小.‎ ‎ 举一反三:‎ ‎【变式1】 展开式中,系数等于________.‎ ‎ 【答案】 15‎ ‎【解析】 ,所以系数等于15.‎ ‎ 【变式2】在的展开式中,系数为有理数的项共有_________项.‎ ‎ 【答案】 6‎ ‎ 【解析】二项展开式的通项公式为(0≤r≤20)‎ ‎,要使系数为有理数,则r必为4的倍数,所以r可为0、4、8、12、16、20共6种,故系数为有理数的项共有6项.‎ ‎【变式3】察下列等式:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎……‎ 由以上等式推测到一个一般的结论:‎ 对于,_______.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】这是一种需用类比推理方法来解的问题,结论由两项构成,第二项前有,两项的指数分别为,,因此对于,有 ‎.‎ ‎【变式4】的展开式中的系数是( )‎ ‎ A.-6 B.-3 C.0 D.3‎ ‎【答案】 A ‎【解析】 ,‎ ‎ 则x2的系数是-12+6=-6.‎
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