2017-2018学年江西省抚州市临川一中高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年江西省抚州市临川一中高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

临川一中2018—2019学年度下学期期中考试 高二理科数学试卷 卷面满分：150 分 考试时间： 120分钟 ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足，则(　　)‎ A． 　B． C． D． ‎ ‎2.已知，，且，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知函数，则是在处取得极大值的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.大致的图象是（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知函数的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． ‎ ‎ D． ‎ ‎7. 在区间上随机取三个数，则事件“”发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎8.执行如右图所示的算法流程图，则输出的结果的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.在四面体中，与均是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则四面体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于、两点，过、分别作、的垂线，两垂线交于点，若到直线的距离小于， 则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.几只猴子在一棵枯树上玩耍，它们均不慎失足下落．已知 ‎ ‎（）甲在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）乙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；‎ ‎（）丙在下落的过程中依次撞击到树枝，，；（）丁在下落的过程中依次撞击到树枝，，；‎ ‎（）戊在下落的过程中依次撞击到树枝，，．‎ 则这根树枝从高到低不同的次序有（ ）种 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12.记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷 (非选择题共90分)‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知展开式中常数项为，则正数＝________.‎ ‎14.对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎不都相邻，则不同的站法种数是 ．（用数字作答）‎ ‎15.抛掷红、黄两颗骰子，设事件为“黄色的骰子的点数为3或‎6”‎，事件为“两颗骰子的点数之和大于‎7”‎.当已知黄色的骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于7的概率为__________．‎ ‎16.已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为__________．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知正项数列的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若是等比数列，且，，令，求数列的前项和.‎ 18. ‎ (本小题满分12分)如图，函数（其中）的图像与坐标轴的三个交点为，且，为的中点，且的纵坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求的解析式；‎ ‎（Ⅱ）求线段与函数图像围成的图中阴影部分的面积.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图，在多面体中，底面是菱形，，，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：;‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：‎ 组别 频数 ‎（Ⅰ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该所大学共有学生人，试估计有多少位同学旅游费用支出在元以上；‎ ‎（Ⅱ）已知样本数据中旅游费用支出在范围内的名学生中有名女生，名男生，现想选其中名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.‎ 附：若，则，‎ ‎，.‎ 21. ‎（本小题满分12分）已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线与曲线有个公共点.‎ ‎（Ⅰ）若，求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若，自上而下记这个交点分别为，求的取值范围.‎ ‎22．（本小题满分12分）已知函数,为常数.‎ ‎（Ⅰ）讨论并求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若的图像与轴有且只有一个交点,曲线在处切线斜率为，若存在两个不同的正实数满足，证明：.‎ 临川一中2018—2019学年度下学期期中考试答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D A C D C B B C B A D B 二、 填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）由得，‎ 两式相减得，‎ ‎∴， …………3′‎ ‎∵，∴，又由得得， ‎ 是首项为，公差为的等差数列，从而.…………5′‎ ‎（Ⅱ）设公比为，则由可得，∴，‎ ‎∴ …………8′‎ 故 …………10′‎ 解（Ⅰ）由，则周期…………2′‎ 又…………4′‎ ‎…………5′‎ ‎（Ⅱ）由图可知，设轴上方的阴影部分面积为，轴下方的阴影部分面积为，‎ 则…………8′‎ ‎…………11′‎ 则…………12′‎ ‎19.解：(Ⅰ)证明：作交于，交于，连接 由，易得 所以四边形是平行四边形，‎ 所以，又因为底面是菱形 …………2′‎ 所以，又易得，所以，所以，‎ 因为，‎ 所以，所以， …………4′‎ 故，故. …………5′‎ ‎(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则，，，，，‎ 所以，，， ………7′‎ 设平面的法向量为，则 令，得，所以 ………9′‎ 设平面的法向量为，则 令，得，所以 设平面与平面所成锐二面角为，‎ 则 ……11′‎ 所以平面C与平面所成锐二面角的余弦值为 ………12′‎ ‎20.（Ⅰ），，， ‎ 旅游费用支出在元以上的概率为 ‎，………………3′‎ ‎，‎ 估计有位同学旅游费用支出在元以上.………………5′‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，………………9′‎ ‎∴的分布列为 ‎.………………12′‎ ‎21.解：（Ⅰ）联立与，得，∵，………2′‎ ‎∴与抛物线恒有两个交点.联立与，得.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴，∴的最小值为.………………5′‎ ‎（Ⅱ）设，，，，‎ 则两点在抛物线上，两点在抛物线上，‎ ‎∴，，，，且，，∴.………………8′‎ ‎∴，，………………10′‎ ‎∴.‎ ‎∴，∴，∴.………………12′‎ ‎22.解：由题意得：，当时，当时，又易知.‎ ‎（1）①当时在总成立，且由，满足题意 ‎ 故在上单调递增。 ……………2′‎ ‎ ②当时，得在上单调递减，在单调递增.‎ ‎ i)当时，，令 ‎ ，所以在上也有个根，故与轴有两 个不同的交点，不符合题意； ……………4′‎ ‎ ii)当时,,满足题意，此时在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎ iii)当时，，令，‎ ‎ ，‎ ‎ 设，，‎ ‎ 故在单增，所以，‎ ‎ 所以，故在上有零点，不合题意.‎ ‎ 综上得：当时，在上单调递增；‎ ‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增。……………6′‎ ‎ （2）由题意得，解得，由（1）得，……………8′‎ ‎ 得 在总成立，故在上单调递增，‎ ‎ 不妨设，所以有，‎ ‎ 则即为 ‎ 得， ……………10′‎ ‎ 又，‎ ‎ 则，即 ‎ 亦即 ‎ 得，故 ……………12′‎