2017-2018学年湖北省孝感一中、应城一中等五校高二上学期期末联考数学文试题（解析版）

2017-2018学年湖北省孝感一中、应城一中等五校高二上学期期末联考数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省孝感一中、应城一中等五校高二上学期期末联考数学文试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 下列格式的运算结果为纯虚数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A、；‎ B、；‎ C、；‎ D、；‎ 所以纯虚数的是C。故选C。‎ ‎2. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加一项活动，则甲被选中的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C。‎ ‎3. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】由题意，，则，得，‎ 所以是既不充分也不必要条件，故选D。‎ ‎4. ‎ 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）‎ A. 222石 B. 220石 C. 230石 D. 232石 ‎【答案】A ‎【解析】，故选A。‎ ‎5. 已知实数1，，4构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】，则，‎ 当，则，离心率；‎ 当，则，离心率；‎ 所以离心率为或，故选C。‎ ‎6. 下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ B. 命题“”的否定是“”‎ C. 命题“若，则”的逆否命题为假命题 D. 若“或”为真命题，则中至少有一个为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】A、否命题为“若，则”，所以错误；‎ B、否定为“”，所以错误；‎ C、原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，所以错误；‎ D、若“或”为真命题，则中至少有一个为真命题，正确；‎ 所以正确的为D。故选D。‎ ‎7. 如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C。‎ 点睛：本题考查面积型的几何概型。概率等于阴影面积与总面积的比值。所以本题的关键就是求解阴影部分的面积，可以利用割补法求面积。常见的几何概型有长度型、面积型、体积型。‎ ‎8. 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的.如图所示程序框图，若输入的值分别为8,2,0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（ ）‎ A. 2.84 B. 2.81 C. 2.83 D. 2.82‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎（1）；‎ ‎（2），‎ 所以输出，故选C。‎ ‎9. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥的事件是（ ）‎ A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶 C. 恰有一次不中靶 D. 至少有一次中靶 ‎【答案】B ‎【解析】互斥事件指的是两个事件的交集为空集。‎ 事件A、C、D都包括事件“恰有一次中靶”，事件B不包括“恰有一次中靶”。故选B。‎ ‎10. 已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，垂足为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】过作，得，得为中点，且，‎ 所以，故选B。‎ ‎11. 如图，已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，设，则，得，又，‎ 所以椭圆方程为，故选D。‎ 点睛：本题考查椭圆标准方程的求解。本题已经知道焦点坐标，则只需再找到一个条件就可以求出标准方程，由题意可知，我们可以求出点P坐标，又，就可以求出标准方程。‎ ‎12. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】类比方法：，‎ 即，故选C。‎ 点睛：本题考查证明与推理中的类比推理。模仿题设中的方法应用，找到其方法特点，得到问题的求解方法。类比推理主要考查学生的数学应用能力，对学生的能力要求较高。‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若命题“存在实数，使”为假命题，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，，解得。‎ ‎14. 设点是以为左、右焦点的双曲线右支上一点，且满足，直线与圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，，所以，所以离心率。‎ ‎15. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值得一个实例，若输入的值分别为3,4，则输出的值为__________．‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎16. 已知点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，在圆上，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】，即圆上的点到准线的最小距离。又准线方程为。‎ 所以最小值为。‎ 点睛：本题考查抛物线的性质。抛物线的性质是抛物线上的点到准线的距离相等，所以本题中得到，即圆上的点到准线的最小距离。由图象得到最小值为。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：双曲线的离心率，若命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先求出、都为真的取值范围，因为、一真一假，所以实数的取值范围为。‎ 试题解析：‎ 若为真，则，即 若为真，则，即 若命题、中有且只有一个为真命题，则、一真一假.‎ ‎①若真、假 则,即无解 ‎②若假、真 则，即 .‎ 综上所述，所实数的取值范围为 点睛：本题考查由命题的真假求参数的范围。一般的，此类题型都先求出命题为真的范围，再由具体的真假情况，分类讨论或直接列方程组求解范围。命题真假判断还会考查关系联结词“或”、“且”、“非”的真假判断。‎ ‎18. 为研究患肺癌与是否吸烟有关，某肿瘤机构随机抽取了40人做相关调查，其中不吸烟人数与吸烟人数相同，已知吸烟人数中，患肺癌与不患肺癌的比为；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为.‎ ‎（1）现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；‎ ‎（2）是否有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关？‎ 附：，其中.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）（2）有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关 ‎【解析】试题分析：（1）由题意可得列联表，穷举得到两人都是吸烟患肺癌的概率为；（2）由列联表得，. 所以有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关。‎ 试题解析：‎ 由题意可得列联表如下：‎ ‎（1）吸烟患肺癌的有人，不患肺癌的有人．用分层抽样的方法抽取人，则应抽取吸烟患肺癌的人，记为，，，．不吸烟患肺癌的人，记为．从人中随机抽取人，所有可能的结果有，，，，，，，，，，共种，则这两人都是吸烟患肺癌的情形共有种，∴，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为．‎ ‎（2）由列联表得，.‎ 所以有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关。‎ ‎19. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题易知，双曲线方程为；（2）直线的方程为 ‎，由弦长公式得，，所以 试题解析：‎ ‎（1）设所求双曲线方程为 代入点得，即 所以双曲线方程为，即.‎ ‎（2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得 ‎ 点到直线的距离.‎ 所以 ‎20. 已知的三边的倒数成等差数列，求证：.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】试题分析：由题意，，利用余弦定理和基本不等式，得，所以.‎ 试题解析：‎ 由题意，，则 而，又因为 所以（当时取等号） ‎ ‎∴ 即 ‎21. 某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）试估计平均收益率；‎ ‎（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据；‎ ‎（元）‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎38‎ ‎45‎ ‎52‎ 销量（万份）‎ ‎7.5‎ ‎7.1‎ ‎6.0‎ ‎5.6‎ ‎4.8‎ 据此计算出的回归方程为.‎ ‎（i）求参数的估计值；‎ ‎（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出最大收益.‎ ‎【答案】（1）0.275（2）（i）0.10（ii）99万元 ‎【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率求概率,再根据组中值与对应区间概率乘积的和为平均数可得平均收益率,（2）（i）根据回归方程过点 ,先根据数据求平均值,再代入回归方程求参数的估计值；（ii）先根据收入等于销量与每份保单的保费乘积得一个一元二次函数,根据二次函数对称轴确定函数最值.‎ 试题解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，‎ 取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，‎ 平均收益率为 ‎ ‎ .‎ ‎（Ⅱ）（i） ‎ ‎ ‎ 所以 ‎（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为 ‎ 万元，‎ ‎ ‎ 当元时，保费收入最大为360万元，‎ 保险公司预计获利为万元.‎ ‎22. 已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，平面上四个点，，，中有两个点在椭圆上，另外两个点在抛物线上.‎ ‎（1）求的标准方程；‎ ‎（2）是否存在直线满足以下条件：①过的焦点；②与交于两点，且以为直径的圆经过原点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）由题意，易知椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为；（2）设直线的方程为，，利用韦达定理，得到直线的方程。‎ 试题解析：‎ ‎（1）设抛物线，则有 据此验证四个点知，在抛物线上，‎ 易得，抛物线的标准方程为 设椭圆，把点，代入可得 所以椭圆的标准方程为 ‎（2）以为直径的圆经过原点,则 ‎ 的焦点. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为 直线交椭圆于点 ，不满足题意 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由，消去得 于是①‎ 由得 ②‎ 将①代入②式，得 解得 所以存在直线满足条件，且的方程为或. ‎