2018-2019学年广东省梅州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年广东省梅州市高一上学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广东省梅州市高一上学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵， ，‎ ‎∴．选D．‎ ‎2．　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意，，故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的诱导公式化简、求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎3．如图所示，D是的边AB的中点，则向量　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据向量加法的三角形法则知，‎ ‎，由D是中点和相反向量的定义，对向量进行转化．‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据三角形法则和D是的边AB的中点得，，‎ 所以，故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量加法的三角形法的应用，其中解答中结合图形和题意，合理利用平面向量的三角形法则化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．函数的图象的一个对称中心为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据正切函数的对称中心为，可求得函数y图象的一个对称中心．‎ ‎【详解】‎ 由题意，令，，解得，，‎ 当时，，所以函数的图象的一个对称中心为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正切函数的图象与性质的应用问题，其中解答中熟记正切函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎5．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为的图象向左平移个单位得到函数的图象，所以要得到函数的图象，只需要将函数的图象向左平移个单位，故选A.‎ ‎【考点】三角函数的平移变换.‎ ‎6．设，，，则a，b，c的大小关系是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数，，的单调性，借助于0和1，即可对a、b、c比较大小，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，可知函数是定义域上的增函数，，‎ 又是定义域上的增函数，，‎ 又是定义域上的减函数，，‎ 所以，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数、对数函数的单调性，借助指数函数、对数函数的单调性进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎7．若，且，则的值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，即可得解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，知，且，‎ 所以，则，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，其中解答中熟练应用同角三角函数的基本关系式，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎8．函数的图象大致是　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用函数的奇偶性排除选项B、C项，然后利用特殊值判断，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数满足，‎ 所以函数为偶函数，排除B、C，‎ 又因为时，，此时，所以排除D，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除，以及利用特殊值进行合理判断是解答的关键，着重考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题.‎ ‎9．函数的值域为 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为 又因为，所以函数的值域为，故选C.‎ ‎【考点】1.同角三角函数的基本关系式；2.三角函数的图像与性质；3.二次函数.‎ ‎10．已知函数，且，则　　‎ A． B．0 C． D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别求和，联立方程组，进行求解，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，且，‎ ‎，‎ 则，‎ 两式相加得且，‎ 即，，‎ 则，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数值的计算，结合函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎11．已知 是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意画出图形，把、都用表示，然后代入数量积公式求解，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 解：如图所示，因为、E分别是边AB、BC的中点，且，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量的基本定理的应用，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的加法、减法的三角形法则，以及数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.‎ ‎12．定义域为R的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则=( )‎ A．0 B． C． D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查学生的推理能力、数形结合思想、函数方程思想、分类讨论等知识。‎ 如图，由函数的图象可知，若关于的方程恰有5个不同的实数解，当时，方程只有一根为2；当时，方程有两不等实根（），从而方程，共有四个根，且这四个根关于直线对称分布，故其和为8.从而，，选C。‎ ‎【点评】本题需要学生具备扎实的基本功，难度较大。‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数的解析式有意义，得到于对数函数的不等式，求出x的范围，即可得到函数的定义域．‎ ‎【详解】‎ 由题意知函数有意义，满足，‎ 解得，所以函数的定义域是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域的求解，以及对数的运算性质的应用，其中解答中根据函数的解析式有意义，得到有关对数的不等式，根据对数的运算性质准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14．已知平面向量，，若，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出，根据，即，进行数量积的坐标运算，列出方程，即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意知，平面向量，，则；‎ 因为，所以，解得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的数量积的应用，其中解答中根据平面向量垂直的条件，得到关于的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎15．若幂函数在上是减函数，则实数的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得：‎ ‎【考点】幂函数定义及单调性 ‎16．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．‎ ‎【答案】[，]‎ ‎【解析】试题分析：本题已知函数的单调区间，求参数的取值范围，难度中等．由，得，又函数在上单调递增，所以，即，注意到，即，所以取 ‎，得．‎ ‎【考点】函数的图象与性质．‎ ‎【方法点晴】已知函数为单调递增函数，可得变量的取值范围，其必包含区间，从而可得参数的取值范围，本题还需挖掘参数的隐含范围，即函数在上单调递增，可知，因此，综合题设所有条件，便可得到参数的精确范围．‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，集合．‎ 当时，求及；‎ 若，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1），或； （2）或.‎ ‎【解析】（1）当时，Q=，由集合的交、并、补运算，即可求解；‎ ‎（2）由集合的包含关系，得Q⊆P，讨论①Q=∅，②Q≠∅，运算可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，Q=，‎ 所以，或.‎ ‎（2）因为P∩Q=Q，所以Q⊆P，‎ ‎①当m-1＞3m-2，即时，Q=∅，满足题意，‎ ‎②当m-1≤3m-2，即时，，解得，‎ 综合①②可得：实数m的取值范围或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交、并、补运算及集合的包含关系的应用，其中解答中熟记集合的运算的基本方法，以及合理利用集合的包含关系，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎18．已知角的终边经过点，求的值；‎ 已知，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．‎ 利用查同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，因为角的终边经过点，‎ ‎，，‎ ‎．‎ ‎（2）由题意，知，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了任意角的三角函数的定义与诱导公式，及同角三角函数的基本关系的化简求解，其中解答中熟记三角函数的定义和三角函数的基本关系式，合理应用诱导公式是解答的关键，属于基础题，着重考查了运算与求解能力.‎ ‎19．已知平面向量，，，且，‎ 求与 若，，求向量、的夹角的大小．‎ ‎【答案】（1），； （2）‎ ‎【解析】（1）由求出x的值，由求出y的值，从而得出、，得到答案；‎ ‎（2）计算、，利用平面向量夹角的公式求出，，即得夹角的大小．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可知，可得得，解得；‎ 又由，可得，解得；‎ 所以，；‎ ‎（2）由，；‎ 所以，‎ 又由，；‎ 所以，，‎ 所以向量、的夹角为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数量积表示两个向量的夹角，平行向量与共线向量，向量垂直的条件等知识点的应用，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直的条件”构造方程是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎20．已知函数 求的最小正周期及其单调递增区间；‎ 若，求的值域．‎ ‎【答案】（1），，；（2）‎ ‎【解析】由三角函数的周期公式求周期，再利用正弦型函数的单调性，即可求得函数的单调区间；‎ 由x的范围求得相位的范围，进而得到，即可求解函数的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，知，所以的最小正周期．‎ 又由，得，．‎ 所以的单调递增区间为，；‎ ‎（2）因为，所以，则，‎ 所以，所以，即．‎ 所以的值域为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记型函数的图象和性质，准确计算是解答的此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎21．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用且克的药剂，药剂在血液中的含量克随着时间小时变化的函数关系式近似为，其中．‎ 若病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？‎ 若病人第一次服用6克的药剂，6个小时后再服用3m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】由可得函数y的解析式，可令，分段解不等式求并集即可；‎ 由当，可得函数y的解析式，化简，结合函数的单调性，可得最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当可得，‎ 当时，，解得，此时；‎ 当时，，解得，此时，‎ 综上可得，‎ 所以病人一次服用9克的药剂，则有效治疗时间可达小时；‎ 当时，，‎ 由，在均为减函数，‎ 可得在递减，即有，‎ 由，可得，可得m的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，求得函数的解析式，合理利用函数的单调性和最值求解是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及运算与求解能力，属于中档试题.‎ ‎22．已知函数，，其中a为常数．‎ 当时，设函数，判断函数在上是增函数还是减函数，并说明理由；‎ 设函数，若函数有且仅有一个零点，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2），‎ ‎【解析】代入a的值，求出的解析式，判断函数的单调性即可；‎ 由题意把函数有且仅有一个零点转化为有且只有1个实数根，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，当时，，则，‎ 因为，又由在递减，‎ 所以在递增，‎ 所以根据复合函数的单调性，可得函数在单调递增函数；‎ 由，得，即，‎ 若函数有且只有1个零点，‎ 则方程有且只有1个实数根，‎ 化简得，‎ 即有且只有1个实数根，‎ 时，可化为，即，‎ 此时，满足题意，‎ 当时，由得：‎ ‎，解得：或，‎ 当即时，方程有且只有1个实数根，‎ 此时，满足题意，‎ 当即时，‎ 若是的零点，则，解得：，‎ 若是的零点，则，解得：，‎ 函数有且只有1个零点，所以或，，‎ 综上，a的范围是，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎