天津市和平区2018-2019学年高二下学期期末考试质量调查数学试题

天津市和平区2018-2019学年高二下学期期末考试质量调查数学试题

和平区2018~2019高二年级数学期末试卷 一、选择题 ‎1.计算：（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用组合数公式求解即可．‎ ‎【详解】由组合数公式可得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查组合数公式的应用，是基本知识的考查．‎ ‎2.从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从、、中任取两个字母排成一列，直接利用排列数公式可得出结果.‎ ‎【详解】由排列数的定义可知，从、、中任取两个字母排成一列，则不同的排列种数为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查排列数的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.五名应届毕业生报考三所高校,每人报且仅报一所院校,则不同的报名方法的种数是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，每个人可以报任何一所院校，则结合乘法原理可得：‎ 不同的报名方法的种数是.‎ 本题选择D选项.‎ ‎4.从名男生和名女生中选出名学生参加一项活动，要求至少一名女生参加，不同的选法种数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从反面考虑，从名学生中任选名的所有选法中去掉名全是男生的情况，即为所求结果．‎ ‎【详解】从名学生中任选名，有种选法，其中全为男生的有种选法，‎ 所以选出名学生，至少有名女生选法有种.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查组合问题，也可以直接考虑，分类讨论，在出现“至少”的问题时，利用正难则反的方法求解较为简单，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.已知的展开式中含的项的系数为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第项，整理成最简形式，令的指数为，求得，再代入系数求出结果．‎ ‎【详解】二项展开式通项为，令，得，‎ 由题意得，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．‎ ‎6.已知随机变量，若，则，分别为（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项分布的数学期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性质可求出和的值.‎ ‎【详解】，，.‎ ‎，，由期望和方差的性质可得，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．‎ ‎7.在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：可从事件的反面考虑，即事件A不发生的概率为，由此可易得结论．‎ 详解：设事件A在一次试验中发生概率为，则，解得．‎ 故选A．‎ 点睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率时，通常从事件的反而入手可能较简单，如本题中“至少发生1次”的反面为“一次都不发生”，若本题求“至多发生3次”的概率，其反面是“至少发生4次”即“全发生”．‎ ‎8.在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是(　　)‎ A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品 C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将件一等品编号为，件二等品的编号为，列举出从中任取件的所有基本事件的总数，分别计算选项的概率，即可得到答案．‎ ‎【详解】将3件一等品编号为1,2,3,2件二等品编号为4,5，从中任取2件有10种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率为P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率为P2＝，其对立事件是“至多有一件一等品”，概率为P3＝1－P2＝1－＝.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中明确古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的计算公式，合理作出计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ 二、填空题：‎ ‎9.名同学排成一排照相，其中同学甲站在中间，则不同的排法种数为________（用数字作答）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，不用管甲，其余人全排列即可，根据排列数的定义可得出结果.‎ ‎【详解】根据题意，甲在中间位置固定了，不用管，其它名同学全排列即可，所以排法种数共有种.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题是排列问题，有限制条件的要先安排，最后安排没有条件要求的即可，属于一般基础题．‎ ‎10.‎ 某省实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理科中选考科.学生甲想报考某高校的医学专业，就必须要从物理、生物、政治科中至少选考科，则学生甲的选考方法种数为________（用数字作答）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在物理、化学、生物、政治、历史、地理科中任选科的选法中减去只选化学、历史、地理科的情况，利用组合计数原理可得出结果.‎ ‎【详解】从物理、生物、政治科中至少选考科，也可以理解为：在物理、化学、生物、政治、历史、地理科中任选科选法中减去只选化学、历史、地理科的情况，‎ 科中任选科的选法种数为，‎ 因此，学生甲的选考方法种数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查组合问题，也可以直接考虑，分类讨论，在出现“至少”的问题时，利用正难则反的方法求解较为简单，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.的展开式中的有理项共有__________项．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎，，因为有理项，所以，共三项．填 3.‎ ‎12. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解．‎ 解：P（A）=，P（AB）=．‎ 由条件概率公式得P（B|A）=．‎ 故答案．‎ 点评：本题考查了条件概率与互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于对条件概率的理解与公式的运用，属中档题．‎ ‎13.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的道试题中，甲能答对其中的道，乙能答对其中的道，规定每次考试都从备选题中随机抽出道题进行测试，至少答对道题才算合格，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设事件表示甲考试合格，事件表示乙考试合格，计算出、，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为，由此能求出结果.‎ ‎【详解】设事件表示甲考试合格，事件表示乙考试合格，‎ 则，.‎ 则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．‎ 三、解答题：‎ ‎14.在件产品中，有件正品，件次品，从这件产品中任意抽取件.‎ ‎（1）共有多少种不同的抽法？‎ ‎（2）抽出的件中恰有件次品的抽法有多少种？‎ ‎（3）抽出的件中至少有件次品的抽法有多少种？‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）从这件产品中任意抽出件，是组合问题，利用组合数的定义可得出结果；‎ ‎（2）抽出件中恰好有件次品是指件正品，件次品，利用组合计数原理和分步计数原理可得出结果；‎ ‎（3）在件产品中任意抽出件的抽法种数减去件产品全是正品的抽法种数，用间接法求解．‎ ‎【详解】（1）从这件产品中任意抽出件，共有种不同的抽法；‎ ‎（2）抽出的件中恰好有件次品的抽法，是指件正品，件次品，有种不同的抽法；‎ ‎（3）抽出的件中至少有件次品的抽法种数，可以在件产品中任意抽出件的抽法种数减去件产品全是正品的抽法种数，‎ 因此，共有种不同的抽法.‎ ‎【点睛】本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎15.已知.‎ ‎（1）当时，求：‎ ‎①展开式中的中间一项；‎ ‎②展开式中常数项的值；‎ ‎（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大，求展开式中含项的系数.‎ ‎【答案】（1）①；②；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；‎ ‎（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于求出 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含项的系数．‎ ‎【详解】（1）①当时，的展开式共有项，‎ 展开式中的中间一项为；‎ ‎②展开式的通项公式为，‎ 令，得，所求常数项的值为；‎ ‎（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于，‎ 而展开式中各项系数之和为，各二项式系数之和为，‎ 则，即，解得.‎ 所以，展开式通项为，‎ 令，解得，因此，展开式中含项的系数为.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．‎ ‎16.某中学高中毕业班的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次.若考核为合格，则给予分的降分资格；若考核为优秀，则给予分的降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立.‎ ‎（1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；‎ ‎（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量，请写出所有可能的取值，并求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）所有可能的取值为、、、，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出三名同学考核均为合格的概率，利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率；‎ ‎（2）根据题意得出所有可能的取值为、、、，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出．‎ ‎【详解】（1）由题意知，三名同学考核均为合格的概率为，‎ 因此，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率为；‎ ‎（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有、、、，‎ 则，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．‎ ‎17.是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准，日均值在微克/立方米以下，空气质量为一级；在微克应立方米微克立方米之间，空气质量为二级：在微克/立方米以上，空气质量为超标.从某市年全年每天的监测数据中随机地抽取天的数据作为样本，监测值频数如下表：‎ 日均值 ‎（微克/立方米）‎ 频数（天）‎ ‎（1）从这天的日均值监测数据中，随机抽出天，求恰有天空气质量达到一级的概率；‎ ‎（2）从这天的数据中任取天数据，记表示抽到监测数据超标的天数，求的分布列.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表格可知：这天的日均值监测数据中，只有天达到一级，然后利用组合计数原理与古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率；‎ ‎（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，然后利用超几何分布即可得出随机变量的分布列.‎ ‎【详解】（1）由表格可知：这天的日均值监测数据中，只有天达到一级．‎ 随机抽取天，恰有天空气质量达到一级的概率为；‎ ‎（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，‎ ‎，，，.‎ 因此，随机变量的分布列如下表所示：‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，同时也考查了超几何分布及其分布列等基础知识与基本技能，属于中档题．‎ ‎18.高二某班名同学期末考完试后，商量购买一些学习参考书准备在高三时使用，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪购买，掷出点数大于或等于的人去图书批发市场购买，掷出点数小于的人去网上购买，且参加者必须从图书批发市场和网上选择一家购买.‎ ‎（1）求这人中至多有人去图书批发市场购买的概率；‎ ‎（2）用、分别表示这人中去图书批发市场和网上购买的人数，记，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，名同学中每名同学去图书批发市场购买的概率为，然后利用互斥事件的概率加法公式和独立重复试验的概率公式可计算出所求事件的概率；‎ ‎（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、、，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【详解】（1）由题意可知，名同学中每名同学去图书批发市场购买的概率为，‎ 所以，这人中至多有人去图书批发市场购买的概率为；‎ ‎（2）用、分别表示这人中去图书批发市场和网上购买人数，记，则的可能取值为、、，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列如下表所示：‎ 因此，随机变量的数学期望为.‎ ‎【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎