天津市河北省区2019届高三总复习质量检测（二）数学（理）试题

天津市河北省区2019届高三总复习质量检测（二）数学（理）试题

‎2019年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用求出集合，再根据交集定义求得结果.‎ ‎【详解】由可知：‎ 则 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.‎ ‎2.若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（ ）‎ A. 1 B. ‎0 ‎C. － D. －1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.‎ ‎【详解】设z＝bi，b∈R且b≠0，则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，‎ ‎∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的运算和纯虚数的概念.‎ ‎3.命题p：“∀x∈（-∞，0），3x≥4x”的否定￢p为（ ）‎ A. , B. ,‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 ‎【详解】命题是全称命题,则：,‎ 故选C ‎【点睛】本题考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键 ‎4.已知，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 容易得出，再根据对数函数的性质将b化为与c同底的对数，即可比较出大小.‎ ‎【详解】解：，，，所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.‎ ‎5.已知双曲线的左、右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直角三角形几何性质得坐标原点到交点距离等于c，再根据交点在渐近线上，解得a,b，即得双曲线的方程.‎ ‎【详解】由题意得 因为交点在渐近线上，所以，双曲线的方程为，选A.‎ ‎【点睛】1.已知双曲线方程求渐近线：‎ ‎2.已知渐近线 设双曲线标准方程 ‎3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎6.已知四面体的四个面都为直角三角形，且平面，，若该四面体的四个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的垂直关系可将四面体放入正方体中，求解正方体的外接球表面积即为所求的四面体外接球的表面积；利用正方体外接球半径为其体对角线的一半，求得半径，代入面积公式求得结果.‎ ‎【详解】且为直角三角形 ‎ 又平面，平面 ‎ 平面 由此可将四面体放入边长为的正方体中，如下图所示：‎ 正方体的外接球即为该四面体的外接球 正方体外接球半径为体对角线的一半，即 球的表面积：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的求解问题，关键是能够通过线面之间的位置关系，将所求四面体放入正方体中，通过求解正方体外接球来求得结果.‎ ‎7.已知函数，，给出下列四个命题：‎ ‎①函数的最小正周期为；‎ ‎②函数的最大值为1；‎ ‎③函数在上单调递增；‎ ‎④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．‎ 其中正确命题的个数是（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角恒等变换公式将整理为，根据 的图象与性质、平移变换分别判断四个命题，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 最小正周期，可知①错误；‎ ‎，即的最大值为，可知②正确；‎ 当时，，此时不单调，可知③错误；‎ 向左平移个单位，即，可知④正确.‎ 故正确命题个数为个 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查的最小正周期、最值、单调性、平移变换的相关知识，关键是能够首先通过两角和差公式、诱导公式、辅助角公式将函数整理为的形式.‎ ‎8.已知函数，若函数的最大值不超过1，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，，‎ 绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，‎ 据此排除B选项；‎ 当时，，‎ 绘制函数图象如图所示，观察可得函数的最大值为，满足题意，‎ 据此排除CD选项；‎ 本题选择Ａ选项.‎ 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）‎ ‎9.交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为___‎ ‎【答案】808‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数.‎ ‎【详解】由题意可得抽样比为：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样中抽样比、总体数量的计算，属于基础题.‎ ‎10.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为______．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图运行程序，直到时，输出结果即可.‎ ‎【详解】按照程序框图运行程序，输入：，，，符合，循环；‎ ‎，，符合，循环；‎ ‎，，符合，循环；‎ ‎，，不符合，输出 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查程序框图中根据循环框图计算输出结果，属于常规题型.‎ ‎11.若实数，满足条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据约束条件得到可行域，将所求最小值问题转化为在轴截距最小的问题，由平移可知过时截距最小，代入求得的最小值.‎ ‎【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：‎ 将整理为：‎ 则当在轴截距最小时，取最小值 由平移可知，当过点时，截距最小 由得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查线性规划求解型的最值问题，关键是能够将问题转化为直线在轴截距最值得求解问题，通过平移求得结果，属于常规题型.‎ ‎12.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，若直线与圆交于，两点，则线段的长度为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 将的参数方程化为普通方程；的极坐标方程化为直角坐标方程，确定圆心和半径；根据直线被圆截得的弦长等于求得结果.‎ ‎【详解】由得的普通方程为：‎ 由得的直角坐标方程为：，即 圆的圆心为，半径 则圆心到直线的距离 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题的求解，其中涉及到参数方程化普通方程、极坐标与直角坐标的互化问题，属于常规题型.‎ ‎13.已知首项与公比相等的等比数列中，若，，满足，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将写成等比数列基本量和的形式，由可得；从而利用 ‎，根据基本不等式求得结果.‎ ‎【详解】设等比数列公比为，则首项 由得：‎ 则： ‎ ‎ ‎ 则（当且仅当，即时取等号）‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够根据等比数列各项之间的关系，通过等比数列基本量得到满足的等式，从而配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.‎ ‎14.如图，在平面四边形中，，．若，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过D作，则，利用三角形的相似比表示出x，y即可得出结论．‎ ‎【详解】如图，过D作BC的垂线，交BC延长线于M，‎ 设∠BAC=α，则∠ACD=2α，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴（为相似比）．‎ 又，‎ ‎∴,‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查对平面向量基本定理的理解和应用，解题时借助平面几何知识求解是解答本题的关键，合理构造相似三角形并由三角形的相似比得到的取值后可得所求．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）‎ ‎15.已知的内角，，的对边分别为，，，满足．‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据正弦定理将边角关系式化为边之间的关系，从而可凑得的形式，得到，进而得到；（Ⅱ）由正弦定理求得，利用同角三角函数关系得到；再利用二倍角公式得到；通过两角和差正弦公式求得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）‎ 由正弦定理得：，化简得：‎ 又 ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，‎ 由正弦定理得：‎ 又 ‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理解三角形、同角三角函数关系、二倍角公式的应用、两角和差正弦公式的应用问题，属于常规题型.‎ ‎16.某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分．‎ ‎（Ⅰ）求的分布列及数学期望；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意知，的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和；（2）由表示“甲队得分等于乙队得分等于”，表示“甲队得分等于乙队得分等于”，可知、互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于分且甲队获胜的概率．‎ 试题解析：（1）由题意知,的所有可能取值为.;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎（2）用表示“甲得分乙得分”, 用表示“甲得分乙得分”, 且互斥,‎ 又,,甲、乙两队得分总和为分且甲获胜的概率为.‎ 考点：（1）离散型随机变量的期望与方差；（2）古典概型及其概率计算公式；（3）离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【方法点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．解离散型随机变量的分布列的试题时一定要万分小心，特别是列举随机变量取值的概率时，要注意按顺序列举，做到不重不漏，尽量注意概率之和为，防止出现错误．‎ ‎17.如图，四棱柱ABCD-A1B‎1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，∠BAD=120°，AB=2，E，F分别为CD，AA1的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：DF∥平面B1AE；‎ ‎（Ⅱ）若直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为，求AA1的长；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角B1-AE-D1的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）取AB1的中点G,连接FG,GE,证明四边形GEDF是平行四边形,可得DFEG,故而DF平面B1AE；‎ ‎（II）建立空间坐标系,求出平面B1AE的法向量,设AA1=t（t＞0）,令sinα=|cos＜，＞|===,求出t；‎ ‎（III）求出两半平面的法向量,计算法向量的夹角得出二面角的大小 ‎【详解】（Ⅰ）证明：取AB1的中点G,连接FG,GE,‎ ‎∵,FGA1B1,,DEA1B1,‎ ‎∴FG=DE,FGDE,‎ ‎∴GEDF是平行四边形,‎ ‎∴DFEG,‎ 又DF⊄平面B1AE,EG⊂平面B1AE,‎ ‎∴DF平面B1AE 解：（Ⅱ）在菱形ABCD中,‎ ‎∵∠BAD=120°,‎ ‎∴∠ADC=60°‎ ‎∴△ACD是等边三角形,‎ ‎∴AE⊥CD,‎ ‎∴AE⊥AB,‎ 又AA1⊥平面ABCD,‎ ‎∴AA1⊥AB，AA1⊥AE,‎ 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 设AA1=t（t＞0）,‎ 则,‎ ‎∴,,‎ 设平面B1AE的法向量=（x,y,z）,则,即,‎ 不妨取z=-2,得=（t,0,-2）,‎ 设直线AD1与平面B1AE所成的角为α，‎ 则sinα=|cos＜，＞|===．‎ 解得t=2，即AA1的长为2．‎ ‎（Ⅲ）设平面D1AE的法向量=（x,y,z）,‎ ‎∵,‎ ‎∴,即,‎ 不妨取z=1得=（2,0,1）,‎ 设二面角B1-AE-D1的平面角为θ,则|cosθ|=|cos＜＞|===‎ ‎∴,即二面角B1-AE-D1的正弦值为 ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定,考查利用空间向量求二面角的正弦值,考查运算能力 ‎18.已知数列满足，，设．‎ ‎（Ⅰ）求，，的值；‎ ‎（Ⅱ）证明数列是等差数列；‎ ‎（Ⅲ）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），，．（Ⅱ）见解析（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（Ⅰ）将分别代入递推关系式，求解出；再根据求得结果；（Ⅱ）将递推关系式左右同除可得到，符合等差数列定义式，从而证得结论；（Ⅲ）求出，进而可得的通项公式，采用分组求和的方法，分别对两个部分用错位相减法和等差数列求和方法进行运算，分组求解完毕后作和即可.‎ ‎【详解】（Ⅰ）解：将代入得 又 ‎ 将代入得 ‎ 从而，，‎ ‎（Ⅱ）证明：将两边同时除以得：‎ ‎ ，即 数列是以为首项，为公差的等差数列 ‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得 ‎ ‎ 设 两式相减得：‎ 化简得 设 ‎【点睛】本题考查利用数列递推关系式证明等差数列、等差数列通项公式的应用、数列求和方法中的等差数列求和、分组求和法和错位相减法；解题关键是能够根据通项公式的形式确定具体求和的方法，属于常规题型.‎ ‎19.已知椭圆过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程，并求其离心率；‎ ‎（Ⅱ）过点作轴的垂线，设点为第四象限内一点且在椭圆上（点不在直线上），直线关于的对称直线与椭圆交于另一点．设为坐标原点，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ），离心率．（Ⅱ）直线与直线平行．见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将点代入到椭圆方程，解得的值，根据，得到的值，从而求出离心率；（Ⅱ）直线，，点，，将直线与椭圆联立，得到和，从而得到的斜率，得到，得到直线与直线平行．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由椭圆过点，‎ 可得，解得． ‎ 所以， ‎ 所以椭圆的方程为，离心率． ‎ ‎（Ⅱ）直线与直线平行． ‎ 证明如下：由题意，设直线，，‎ 设点，，‎ 由得 ‎， ‎ 所以，所以，‎ 同理，‎ 所以， ‎ 由，，‎ 有，‎ 因为在第四象限，所以，且不在直线上，所以，‎ 又，故，所以直线与直线平行.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程，直线与椭圆相交求交点，判断两直线的位置关系，属于中档题.‎ ‎20.已知函数，，其中为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）用表示，中的较大者，记函数．若函数在内恰有2个零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据垂直关系，利用求得；（Ⅱ）求导后，分别在和两个范围内判断导函数的正负，根据导函数的符号确定原函数的单调区间；（Ⅲ）首先确定在内单调递减；当时，由于，根据定义可知此时无零点；当时，则为零点，反之则不是零点，由此可得两种情况下的范围；当时，结合单调性和零点存在定理可判断出时，有一个零点.此时综合为零点时的范围，即可得到所求结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ） ‎ 由题意得：，解得：‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，‎ ‎①当时，‎ 函数在内单调递增 ‎②当时，令，解得：或 当或时，，则单调递增 当时，，则单调递减 函数的单调递增区间为和；单调递减区间为 ‎（Ⅲ）函数的定义域为，‎ ‎ 在内单调递减 ‎⑴当时，‎ 依题意，，则函数无零点；‎ ‎⑵当时，，‎ ‎①若，即，则是函数的一个零点；‎ ‎②若，即，则不是函数的零点；‎ ‎⑶当时，，只需考虑函数在内零点的情况 ‎①当时，，函数在内单调递增 又 ‎（i）当时，，函数在内无零点；‎ ‎（ii）当时，‎ 又 此时函数在内恰有一个零点；‎ ‎②当时，由（Ⅱ）知，函数在内单调递减，在内单调递增 ‎，‎ 此时函数在内恰有一个零点 综合⑴⑵⑶可知，当时，在内恰有个零点 ‎【点睛】本题考查导数几何意义的应用、利用导数讨论含参数函数的单调性问题、根据函数零点个数求解参数范围的问题.本题的难点在于通过零点个数确定参数范围上，首先需要通过函数的定义将问题转变为对零点个数的讨论上，进而在每一段区间中去分别讨论无零点和有零点两种情况所需的条件，从而锁定参数的取值范围，属于难题.‎