高考试题——数学理山东卷解析版
绝密★启用前 试卷类型：B
2010年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学解析版
注意事项：
1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。
2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区
域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只
有一项是满足题目要求的.
（1） 已知全集U=R，集合M={x||x-1|2},则
（A）{x|-1
3} (D){x|x-1或x3}
【答案】C
【解析】因为集合,全集，所以
【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题.
集合与逻辑
集合
(2) 已知（a,b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=
(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3
【答案】B
【解析】由得,所以由复数相等的意义知,所以1,故选B.
【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。
复数
复数
(3)在空间，下列命题正确的是
（A）平行直线的平行投影重合
（B）平行于同一直线的两个平面平行
（C）垂直于同一平面的两个平面平行
（D）垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。
【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。
立体几何
点线面间的位置关系
（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)=
(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3
【答案】
D
函数
函数的基本性质
5.
概率统计
随机变量及其分布
6.
概率统计
随机变量及其分布
(7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为
（A） (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。
【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。
导数
微积分基本定理
（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
（A）36种 （B）42种 (C)48种 （D）54种
【答案】B
计数原理
加法原理与乘法原理
9.
数列
等差数列与等比数列
10.
不等式
不等式选讲
可知当直线平移到点（5，3）时，目标函数取得最大值3；当直线
平移到点（3，5）时，目标函数取得最小值-11，故选A。
【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数的几何意义是解答好本题的关键。
(11)函数y=2x-的图像大致是
【答案】A
【解析】因为当x=2或4时，2x-=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x-=，故排除D，所以选A。
【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。
函数
函数的基本性质
(12)定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的，，令
，下面说法错误的是（ ）
A.若与共线，则 B.
C.对任意的，有 D.
【答案】B
【解析】若与共线，则有，故A正确；因为，而
，所以有，故选项B错误，故选B。
【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
平面向量
平面向量
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
（13）执行右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为．
【答案】
【解析】当x=10时，y=，此时|y-x|=6；
当x=4时，y=，此时|y-x|=3；当x=1时，y=，此时|y-x|=；
当x=时，y=，此时|y-x|=，故输出y的值为。
【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图能力。
【答案】
【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：
，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。
【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
（17）（本小题满分12分）
已知函数，其图像过点。
（Ⅰ） 求的值；
(Ⅱ) 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值。
（17）本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力，满分12分。
解：（Ⅰ）因为
所以
又 函数图像过点
所以
即
又
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知 ，将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，可知
因为
所以
因此
故
所以 在上的最大值和最小值分别为和
（18）（本小题满分12分）
已知等差数列满足：，，的前n项和为．
（Ⅰ）求及；
（Ⅱ）令bn=(nN*)，求数列的前n项和．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有
，解得，
所以；==。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，
所以==，
即数列的前n项和=。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
（19）（本小题满分12分）
如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC，ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．
【解析】（Ⅰ）证明：因为ABC=45°，AB=2，BC=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，
所以，即，又PA⊥平面ABCDE，所以PA⊥，
又PA，所以，又AB∥CD，所以，又因为
，所以平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD⊥平面PAC，所以在平面PAC内，过点A作于H，则
，又AB∥CD，AB平面内，所以AB平行于平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，过点B作BO⊥平面于点O，则为所求角，且，又容易求得，所以，即=，所以直线PB与平面PCD所成角的大小为；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，所以，又AC∥ED，所以四边形ACDE是直角梯形，又容易求得，AC=，所以四边形ACDE的面积为，所以四棱锥P—ACDE的体积为=。
【命题意图】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直，线面的求解以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。
=，
（20）（本小题满分12分）
某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：
① 每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
② 每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
③ 每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束。
假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响。
（Ⅰ）求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Εξ。
（20）本小题主要考察离散型随机变量的分布列和数学期望，考察对立事件、独立事件的概率和求解方法，考察用概率知识解决实际问题的能力。
解：设A、B、C、D分别为敌一、二、三、四个问题，用MI（I=1,2,3,4）表示甲同学第i个问题回答正确，用N（i=1,2,3,4)表示甲同学第i个问题回答错误，则Mi与Ni是对立事件（i=1,2,3,4）.由题意得
P(MI)=,P(M2)=，P(M3)= P(M4)=，
所以 p（N1）=, P(N2)=, P(N3)=,P(N4)=.…………………………
(Ⅰ)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q,
则Q=M1M2M3+ N1M2M3M4+ M1N2M3M4+ M1M2N3M4+ N1M2N3M4
由于每题答题结果相互独立，因此
P（Q）=P（M1M2M3+ N1M2M3M4+ M1N2M3M4+ M1M2N3M4+ N1M2N3M4）
=P（M1M2M3）+ P（N1M2M3M4）+ P（M1N2M3M4）+ P（M1M2N3M4）+ P（N1M2N3M4）
= P（M1）P（M2）P（M3）+ P（N1）P（M2）P（M3）P（M4）+ P（M1）P（N2）P（M3）P（M4）+ P（M1）P（M2）P（N3）P（M4）+ P（N1）P（M2）P（N3）P（M4）
=+
=
(Ⅱ)由题意，随机变量ξ的可能取值为：2,3,4。
由于每题答题结果互相独立，所以 P（ξ=2）= P（N1 N2）= P（N1）P（N2）=
P（ξ=3）= P（M1M2M3）+ P（M1N2N3）
= P（M1） P（M2）P（M3）+ P（M1） P（N2）P（N3）
=
=
P（ξ=4）=1- P（ξ=2）- P（ξ=3）
=1--
=
因此 随机变量ξ的分布列为
所以Eξ=2
（21）（本小题满分12分）
如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为
。
【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，
(22)(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)当时，讨论的单调性；
（Ⅱ）设当时，若对任意，存在，使
，求实数取值范围.
（22）本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想，数形结合思想、等价变化思想，以及综合运用知识解读新情境、新问题的能力。
解：（Ⅰ）因为
所以
令
（1）当时，
所以 当，函数单调递增；
当时，，此时，函数单调递增
（2）当时，由，
即 ，解得
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增；
时，，此时，函数单调递减
③当时，由于
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时，函数单调递增
综上所述：
当时，函数在（0,1）上单调递减；
函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在（0,1）上单调递减；
函数在上单调递增；
函数在上单调递减，
（Ⅱ）因为，由于（Ⅰ）知，，当时，，
函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在
（0 , 2）上的最小值为
由于“对任意，存在，使”等价于
“在上的最小值不大于在（0 ，2）上的最小值”
