四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期入学考试数学（理）试题

四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期入学考试数学（理）试题

成都外国语学校高2021届高二入学考试数学理科 一、选择题，共12题，每题5分共60分 ‎1.直线的倾斜角的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：根据题意，求出直线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求解倾斜角的取值范围.‎ 详解：根据题意，直线的斜率为，则，‎ 设直线的倾斜角为，则，即，‎ 所以，即直线的倾斜角为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了直线的倾斜角的求解，其中根据直线方程求得直线的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎2.，则=‎ A. 2 B. 1 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原式的分子分母同时除以，化为关于的三角式求解。‎ ‎【详解】将原式的分子分母同时除以，得到：；‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查学生转化计算能力，属于基础题。‎ ‎3.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二倍角公式和诱导公式化简所求表达式，代入已知条件求得表达式的值.‎ ‎【详解】依题意，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.‎ ‎4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )‎ A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若且，则 D. 若且，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：A中直线m,n可能平行，可能相交，可能异面；B中由平面法向量的知识可知结论正确；C中直线a可能与面平行，可能在平面内；D中两平面可能平行可能相交 考点：空间线面平行垂直判定 ‎5.若,则下列不等式中一定成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】本题考查不等式的基本性质 已知，‎ 对于选项A，，正确；‎ 对于选项B，，错误；‎ 对于选项C，，若，则，即，错误；若，则，即，正确，所以，不是一定成立.‎ 对于选项D，，错误.‎ 综上可知，故选A.‎ ‎6.若，则方程表示的圆的个数为(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二元二次方程表示圆的条件是，列出关于的不等式，即可求出实数的范围，从而得到答案。‎ ‎【详解】方程表示圆，‎ ‎，即：，解得：，‎ 所以当时，只有时，方程表示圆 故答案选B ‎【点睛】本题考查圆的一般式方程的应用，熟练掌握二元二次方程表示圆的条件，以及正确解一元二次不等式是解决本题关键，属于基础题。‎ ‎7.已知几何体三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为 （ ）‎ A. 6π B. 4π C. 5π D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可得，该几何体由一个圆锥和一个半球组合而成，该几何体的表面积为圆锥的侧面积与半球的球面面积之和。利用面积公式求解即可。‎ ‎【详解】根据三视图可知该几何体由一个圆锥和一个半球组合而成，该几何体的表面积为圆锥的侧面积与半球的球面面积之和；‎ 由于圆锥的侧面积为：，‎ 半球的求面积为：，‎ 所以几何体的表面积为： ‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查根据三视图计算几何体的表面积，熟练掌握基本几何体的表面积公式是解题关键，属于基础题。‎ ‎8.已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵等差数列，，，成等比数列，∴‎ ‎，‎ ‎∴，∴，，故选B.‎ 考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念 ‎9.已知是球O的球面上四点，面ABC,，则该球的半径为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据面，，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，长方体的对角线的长就是该球的直径，从而得到答案。‎ ‎【详解】面，‎ 三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，‎ 可以以三条侧棱，，为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，‎ 长方体的对角线的长就是该球的直径，‎ 即 ‎ 则该球的半径为 故答案选D ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球的半径的求法，本题解题的关键是以三条侧棱为棱长得到一个长方体，三棱锥的外接球，即为该长方体的外接球，利用长方体外接球的直径为长对角线的长，属于基础题。‎ ‎10.在中，角的对边分别为，且面积为.若，，则角等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用正弦定理进行边角互化，得到A，再根据三角形的面积公式和余弦定理，结合特殊角的三角函数值可求得B的值；‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，即.‎ 又，，∴，即.‎ ‎∵，由余弦定理知，‎ ‎∴，∴，又，∴，‎ ‎∴.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用，考查了三角形的面积公式的应用，是中档题．‎ ‎11.已知正四棱锥S—ABCD侧棱长为，底面边长为 ‎，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成角的大小为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连接底面正方形对角线、交于 ，连接，则是的中位线，且，故与所成角是异面直线与所成角，由此可求出异面直线与所成角的大小。‎ ‎【详解】连接底面正方形对角线、交于，则为的中点，连接，‎ 在中为的中点，为的中点，‎ ‎ 是的中位线，且，，‎ 与所成角是异面直线与所成角，‎ 由于，,，为等腰三角形，从作，‎ 则，‎ 在中根据余弦定理，，即，‎ 在中，根据余弦定理，，解得：，即，‎ 所以异面直线与所成角为，‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查异面直线及其所成的角，需要掌握求解异面直线所成角的思路，据此去做辅助线或平移某条直线，属于基础题 ‎12.设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得恒成立，讨论，，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．‎ ‎【详解】恒成立，‎ 即为恒成立，‎ 当时，可得的最小值，‎ 由，‎ 当且仅当取得最小值8，即有，则；‎ 当时，可得的最大值，‎ 由，‎ 当且仅当取得最大值，即有，则，‎ 综上可得．故选．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力。‎ 二、填空题，每题5分，共20分 ‎13.圆心为且过原点的圆的方程是__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 由题意知圆的半径 圆的方程为 ‎14.设等差数列{an}，{bn}的 前n项和分别是Sn 和Tn ，若 ,则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件设出，解得，再根据数列通项与前项和的关系求出对应项，代入计算可求解。‎ ‎【详解】由题意得等差数列不为常数列 设等差数列的前项和，‎ 因为，所以等差数列的前项和，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和公式的性质以及数列的通项与前项和之间关系，属于基础题。‎ ‎15.已知实数满足，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，构造方程组求出，值，进而根据不等式的基本性质可得的范围。‎ ‎【详解】令，则，解得：，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查不等式的性质，利用待定系数法，结合不等式的基本性质是解决本题的关键，属于基础题。‎ ‎16.已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据正弦定理化简整理可得，设 ‎，构造函数，利用导数判断函数的单调性，求出值域即可。‎ ‎【详解】 在中，，‎ ‎，，，‎ 利用正弦定理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又，，‎ ‎，，‎ 设，则，‎ 令，，则 令，则，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，‎ ‎，，‎ 所以的取值范围为：‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的化简和求值，主要考查二倍角公式和正弦定理的运用，同时考查函数单调性的运用，属于中档题。‎ 三、解答题 ‎ ‎17.在中，角，，的对边分别为，，，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，当的值最小时，求的周长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由及正弦定理可得， ‎ 所以由余弦定理的推论可得， ‎ 因为，所以． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 因为的面积为，所以，即， ‎ 所以，当且仅当时取等号，‎ 所以的最小值为，此时，，是等边三角形，‎ 故的值最小时，的周长为．‎ ‎18.已知，不等式的解集是，‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用二次不等式与二次方程的联系可得到二次方程的根为0，5，可利用根与系数的关系得到的关系式，从而得到其值；（2）将不等式转化为与之对应的二次函数，结合函数的图像及性质可知只需满足，从而求得值 试题解析：（1），不等式的解集是，‎ 所以的解集是，所以和是方程的两个根，‎ 由韦达定理知，．‎ ‎（2）恒成立等价于恒成立，‎ 所以的最大值小于或等于0．设，‎ 则由二次函数的图象可知在区间为减函数，‎ 所以，所以．‎ 考点：1．三个二次关系；2．二次函数图像及性质 ‎19.如图，四边形是直角梯形，，，，，又，，，直线与直线所成的角为.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角平面角正切值的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证平面，再证平面平面 ‎（2）取的中点，连接，，可得，作于，可得，所以为二面角的平面角，从而可得二面角平面角正切值。‎ ‎【详解】证明：，，，平面，‎ 平面，‎ 又平面，‎ 平面平面 ‎（2）取的中点，则，连接，.‎ ‎∵，，∴，，‎ 从而平面，‎ ‎∵直线与直线所成的角为，∴，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 在中，，‎ 作于，由平面，‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ 在中，可得，在中，.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明以及二面角的求法，考查学生空间想象能力，属于中档题。‎ ‎20.过点作直线