2020年高中数学 第三章 不等式

2020年高中数学 第三章 不等式

‎3.4.3‎‎ 简单线性规划的应用 ‎ [A　基础达标]‎ ‎1．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种教学用品应各买的件数为(　　)‎ A．2件，4件　　　　　　　 B．3件，3件 C．4件，2件 D．不确定 解析：选B.设买A种教学用品x件，B种教学用品y件，剩下的钱为z元，‎ 则 求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3，3)．‎ ‎2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(　　)‎ A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 解析：选C.设购买软件x片，磁盘y盒，则画出线性约束条件表示的平面区域，可行域内的整点有(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(5，2)，(6，2)共7个整点．‎ ‎3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(　　)‎ A．36万元 B．31.2万元 C．30.4万元 D．24万元 解析：选B.设对项目甲投资x万元，对项目乙投资y万元，‎ 则 目标函数z＝0.4x＋0.6y.作出可行域如图所示，由直线斜率的关系知目标函数在A点取最大值，代入得zmax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2，所以选B.‎ 8‎ ‎4．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出‎7千克A产品，每千克A产品获利40元．乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出‎4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工．每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为(　　)‎ A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 解析：选B.设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱(x，y∈N)，根据题意，得约束条件 画出可行域如图．目标函数z＝280x＋200y，‎ 即y＝－x＋，‎ 作直线y＝－x并平移，得最优解A(15，55)．‎ 所以当x＝15，y＝55时，z取最大值．‎ ‎5．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组要求有5名男工，3名女工，乙组要求有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种组数，乙种组数不少于1组，则要使组成的组数最多，甲、乙各能组成的组数为(　　)‎ A．甲4组、乙2组　　　　 B．甲2组、乙4组 C．甲、乙各3组 D．甲3组、乙2组 解析：选D.设甲种x组，‎ 乙种y组．则 8‎ 总的组数z＝x＋y，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影中整点部分，寻找整点分析，x＝3，y＝2时，为最优解．‎ ‎6．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料‎1.5 kg，乙材料‎1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料‎0.5 kg，乙材料‎0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料‎150 kg，乙材料‎90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ 解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性约束条件为 作出不等式组表示的平面区域如图阴影中的整点部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60，100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．‎ 答案：216 000‎ ‎7．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买的文具的数量不少于科普书的数量．那么最多可以买的科普书与文具的总数是________．‎ 解析：设买科普书x本，文具y套，总数为z＝x＋y.‎ 由题意可得约束条件为 作出可行域如图中阴影部分整点所示，‎ 将z＝x＋y化为y＝－x＋z，作出直线y＝－x并平移，使之经过可行域，易知经过点A 8‎ 时，纵截距最大，但因x，y均属于正整数，故取得最大值时的最优解应为(18，19)，此时z最大为37.‎ 答案：37‎ ‎8．某企业拟用集装箱托运甲、乙两种产品，甲种产品每件体积为‎5 m3‎，重量为2吨，运出后，可获利润10万元；乙种产品每件体积为‎4 m3‎，重量为5吨，运出后，可获利润20万元，集装箱的容积为‎24 m3‎，最多载重13吨，装箱可获得最大利润是________．‎ 解析：设甲种产品装x件，乙种产品装y件(x，y∈N)，总利润为z万元，‎ 则且z＝10x＋20y.作出可行域，如图中的阴影部分所示．‎ 作直线l0：10x＋20y＝0，即x＋2y＝0.当l0向右上方平移时z的值变大，平移到经过直线5x＋4y＝24与2x＋5y＝13的交点(4，1)时，zmax＝10×4＋20×1＝60(万元)，即甲种产品装4件、乙种产品装1件时总利润最大，最大利润为60万元．‎ 答案：60万元 ‎9．A，B两仓库各有麻袋50万个、30万个，现需调运到甲地40万个，乙地20万个，已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个，180元/万个，从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个，150元/万个，怎样安排调运，能使总运费最少？最少总运费为多少？‎ 解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，则从B仓库调40－x万个到甲地，20－y万个到乙地，总运费记为z元，‎ 则有 z＝120x＋180y＋100(40－x)＋150(20－y)，‎ 即z＝20x＋30y＋7 000，作出可行域及直线l0：20x＋30y＝0，经平移知直线经可行域上点M(30，0)时与原点距离最小，即x＝30，y＝0时，z有最小值，zmin＝20×30＋30×0＋7 000＝7 600(元)，即从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地总运费最小，其最小值为7 600元．‎ 8‎ ‎10．雾霾大气严重影响人们的生活，某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查，公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和60%，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.6万元．‎ ‎(1)若投资人用x万元投资甲项目，y万元投资乙项目，试写出x，y所满足的条件，并在直角坐标系内作出表示x，y范围的图形．‎ ‎(2)根据(1)的规划，投资公司对甲、乙两个项目分别投资多少万元，才能使可能的盈利最大？‎ 解：(1)由题意，知x，y满足的条件为 上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)．‎ ‎(2)根据第一问的规划和题设条件，可知目标函数为z＝x＋0.6y.‎ 如图所示，作直线l0：x＋0.6y＝0.‎ 当直线l0经平移过直线x＋y＝10与0.2x＋0.1y＝1.6的交点A时，其纵截距最大，解方程组解得 即A(6，4)，此时z＝6＋0.6×4＝8.4(万元)，‎ 所以当x＝6，y＝4时，z取得最大值．‎ 即投资人用6万元投资甲项目，4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，且使可能的利润最大．‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料‎2 kg、B原料‎4 kg，生产乙产品每件需用A原料‎3 kg、B原料‎2 kg.A原料每日供应量限额为‎60 kg，B原料每日供应量限额为‎80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多于10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为(　　)‎ 8‎ A．500元 B．700元 C．400元 D．650元 解析：选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x，y件，‎ 则x，y满足 利润z＝30x＋20y.‎ 不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影区域内的整数点，根据目标函数的几何意义，在直线2x＋3y＝60和直线4x＋2y＝80的交点B处取得最大值，解方程组得B(15，10)，代入目标函数得zmax＝30×15＋20×10＝650.‎ ‎12．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180吨支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元，B型卡车为504元．每天调配A型卡车______辆，B型卡车______辆，可使公司所花的成本费用最低．‎ 解析：设每天调出A型卡车x辆，B型卡车y辆，公司所花的成本为z元，依题意有 目标函数z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．‎ 作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示阴影中的整点部分，即可行域．‎ 由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8，0)使z＝320x＋504y 8‎ 取得最小值，‎ zmin＝320×8＋504×0＝2 560(元)．‎ 答案：8　0‎ ‎13．某化工集团在靠近某河流处修建两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为500万m3/天，在两个化工厂之间还有一条流量为200万m3/天的支流并入大河(如图)．第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业废水‎2万m3‎；第二化工厂每天排放这种工业废水1.4万m3，从第一化工厂排出的工业废水在流到第二化工厂之前，有20%可自然净化．环保要求：河流中工业废水的含量应不大于0.2%，因此，这两个工厂都需各自处理部分工业废水，第一化工厂处理工业废水的成本是1 000元/万m3，第二化工厂处理工业废水的成本是800元/万m3.试问：在满足环保要求的条件下，两个化工厂应各自处理多少工业废水，才能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小？‎ 解：设第一化工厂每天处理工业废水x万m3，‎ 需满足：≤0.2%，0≤x≤2；‎ 设第二化工厂每天处理工业废水y万m3，需满足：‎ ≤0.2%，0≤y≤1.4.‎ 两个化工厂每天处理工业废水总的费用为z＝1 000x＋800y元．‎ 问题即为：在约束条件 即 8‎ 求目标函数z＝200(5x＋4y)的最小值．如图，作出可行域．可知当x＝1，y＝0.8时目标函数有最小值，即第一化工厂每天处理工业废水1万m3，第二化工厂每天处理工业废水0.8万m3，能使这两个工厂总的工业废水处理费用最小．‎ ‎14．(选做题)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ ‎　　　　原料 肥料 A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ 解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．‎ ‎(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.‎ 考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋， 这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．‎ 解方程组得点M的坐标为(20，24)．‎ 所以zmax＝2×20＋3×24＝112.‎ 即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．‎ 8‎