2017-2018学年安徽省滁州市定远县西片三校高二4月月考数学（理）试题 解析版

2017-2018学年安徽省滁州市定远县西片三校高二4月月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 安徽省滁州市定远县西片三校2017-2018学年高二4月月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．边界在直线及曲线上的封闭的图形的面积为( )‎ A． 1 B． C． 2 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 由题意，直线即曲线上所围成的封闭的图形 如图所示，直线与曲线的交点为，‎ 所以阴影部分的面积为，故选B．‎ ‎ ‎ ‎2．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]， x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是(　　)‎ A． [－，3] B． [，6]‎ C． [3,12] D． [－，12]‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得 的两根x1、x2，且x1∈[－2，－1]，‎ ‎ x2∈[1,2]，因此 ‎ 由可行域可知直线过点时 取最大值12，过点 时取最小值3，选C.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎3．若函数有且仅有两个不同零点，则b的值为( )‎ A． B． C． D． 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎ 因为函数，所以，‎ ‎ 若，则，此时函数单调递增，不满足条件；‎ ‎ 若，由，可验证是函数的两个极值点，‎ ‎ 若函数恰有两个不同的零点，则，‎ ‎ 因为，所以，即，‎ 解得，故选C．‎ ‎4．设函数 ， 则函数的各极小值之和为 （　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ 因为函数，‎ 所以，‎ 当时，；当时，；‎ 所时，单调递减，‎ 当时，单调递增，‎ 所以当时，函数取得极小值，‎ 极小值为，‎ 又，所以函数的各极小值的和为 ，故选D．‎ ‎5．设函数，则（ ）‎ A． 为的极大值点 B． 为的极小值点 C． 为的极大值点 D． 为的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以。‎ 又，所以为的极小值点。‎ 考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则。‎ 点评：极值点的导数为0 ，但导数为0的点不一定是极值点。‎ ‎6．如给出一列数在这列数中，第50个值等于1的项的序号是( )‎ A． 4900 B． 4901 C． 5000 D． 5001‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 第个值等于的项的分子分母的和为，‎ ‎ 由于从分子分母的和为到分子分母的和为的分数的个数为，‎ ‎ 第个等于的项为，所以第个等于的项的序号为，故选B．‎ ‎7．已知定义域为的函数满足：，且对任意总有，则不等式的解集为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设F（x）=f（x）-（3x-15）=f（x）-3x+15，则F′（x）=f′（x）-3，‎ ‎∵对任意x∈R总有f′（x）＜3，∴F′（x）=f′（x）-3＜0，‎ ‎∴F（x）=f（x）-3x+15在R上是减函数，∵f（4）=-3，∴F（4）=f（4）-3×4+15=0，‎ ‎∵f（x）＜3x-15，∴F（x）=f（x）-3x+15＜0，∴x＞4．，解集为 考点：利用导数研究函数的单调性 ‎8．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )‎ A． (-∞，)∪(,2) B． (－∞，0)∪(，2)‎ C． (－∞，∪(，＋∞) D． (－∞，)∪(2，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由的图象可知，在上，在上，，所以等价于或，即或或，解得或，故选B．‎ 考点：导数与函数单调性的关系．‎ ‎9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx有两个极值点x1、x2 ， 且x1＜x2 ， 若x1+2x0=3x2 ， 函数g（x）=f（x）﹣f（x0），则g（x）（   ）‎ A． 恰有一个零点 B． 恰有两个零点 C． 恰有三个零点 D． 至多两个零点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 由，所以，‎ ‎ 由于函数由两个极值点，‎ ‎ 则是方程的两个根，则，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 又由，则，‎ ‎ 由函数的图象可知，令的另一个解为，‎ 则，‎ 则，则，‎ 将代入得，‎ 所以，‎ 所以只有两个零点，即为和，故选B．‎ ‎10．设函数在R上存在导函数,对于任意的实数，都有，当时，.若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 由，所以，‎ 设，则，所以函数为奇函数，‎ 则，故函数在上为减函数，在为增函数，‎ 若，则，‎ 即，所以，即，故选A．‎ ‎11．观察式子：…，则可归纳出式子为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 根据题意，‎ ‎ 第个式子的左边应为，‎ ‎ 右边应为，并且满足不小于，‎ ‎ 所以第个式子为，故选A．‎ ‎ 点睛：本题主要考查了数学归纳法的推理与应用，注重考查了学生分析问题的能力，对于数学归纳法的步骤是：（1）通过观察给定的几个式子，找出式子的结构规律，得到式子得到一般性的猜想；（2）在利用数学归纳法作出证明即可．‎ ‎12．已知函数，则该函数的导函数等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，选D.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数则=    ．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎ 由导数的求导法则，可得， 所以．‎ ‎14． ________________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎ 由，‎ ‎ 所以．‎ ‎15．如图下图所示，面积为的平面凸四边形的第条边的边长记为（，2，3，4），此四边形内任一点到第条边的距离记为（，2，3，4），若，则.类比以上性质，体积为的二棱锥的第个面的面积记为（，2，3，4），此三棱锥内任一点到第个面的距离记为（，2，3，4），若，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三棱锥的体积公式V= Sh.‎ 得： ，‎ 即，‎ ‎∴H1+2H2+3H3+4H4= ‎ 点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎16．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=6，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=4的一个解，且x0∈（a，a+1）（a∈N*），则实数a=    ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎ 根据题意，对任意的，都有，‎ ‎ 又由时定义在上的单调函数，则为定值，‎ ‎ 设，则，‎ ‎ 又由，可得， 可得，‎ 所以，则 ‎ 所以是方程的一个解，‎ 所以是函数的零点，‎ 又由，‎ 所以函数的零点介于之间，故．‎ 点睛：本题主要考查函数的零点的判断，及导数在函数中的应用，问题，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，及切线方程的求解； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题； (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎17．设函数，的图象在点处的切线与直线平行． ‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）若函数，且在区间上是单调函数，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意知，曲线y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线斜率为3，求导数，代入计算，即可得出结论； （2）求导数，分类讨论，即可求实数a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知，曲线的图象在点处的切线斜率为3， ‎ 所以，又， 即，所以．‎ ‎（2）由（1）知， ‎ 所以， ‎ ‎①若在区间（0，+∞）上为单调递减函数，则在（0，+∞）上恒成立， ‎ 即，所以． ‎ 令，则， ‎ 由，得，由，得， ‎ 故在（0，1]上是减函数，在[1，+∞）上是增函数， 则，无最大值，在（0，+∞）上不恒成立， 故在（0，+∞）不可能是单调减函数 ‎②若在（0，+∞）上为单调递增函数，则在（0，+∞）上恒成立， ‎ 即，所以， 由前面推理知，的最小值为，∴，‎ 故a的取值范围是.‎ 点睛：已知函数单调性求参即可转化为导数恒大于等于或恒小于等于0问题，即为恒成立问题.‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ ‎（3）若 恒成立，可转化为 ‎18．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax，其中a∈R．‎ ‎（Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；‎ ‎（Ⅱ） 对任意x2≥ex1＞0，存在x∈（﹣1，+∞），使 成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）‎ ‎【答案】（1）见解析（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可．‎ ‎（2）令，把问题转化为，设，根据函数的单调性证明即可．‎ 试题分析：‎ 解：（Ⅰ）证明：当 a=﹣1时，f（x）=ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），‎ 则 ，令f'（x）=0，得x=0．‎ 当﹣1＜x＜0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；‎ 当x＞0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．‎ 故当x=0时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，‎ 所以f（x）max=f（0）=0，‎ 所以，f（x）≤0，得证．‎ ‎（Ⅱ）不等式 ，‎ 即为 ．‎ 而 ‎ ‎= ．‎ 令 ．故对任意t≥e，存在x∈（﹣1，+∞），使 恒成立，‎ 所以 ，‎ 设 ，则 ，‎ 设u（t）=t﹣1﹣lnt，知 对于t≥e恒成立，‎ 则u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数，‎ 于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，‎ 即 对于t≥e恒成立，‎ 所以 为[e，+∞）上的增函数，‎ 所以 ；‎ 设p（x）=﹣f（x）﹣a，即p（x）=﹣ln（x+1）﹣ax﹣a，‎ 当a≥0时，p（x）为（0，+∞）上的减函数，‎ 且其值域为R，可知符合题意．‎ 当a＜0时， ，由p'（x）=0可得 ，‎ 由p'（x）＞0得 ，则p（x）在 上为增函数，‎ 由p'（x）＜0得 ，则p（x）在 上为减函数，‎ 所以 ．‎ 从而由 ，解得 ，‎ 综上所述，a的取值范围是 ‎ ‎19．．‎ ‎（Ⅰ）若，求在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论的单调性．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）当时，，求导函数，再求得切线的斜率 和切点坐标，即可求解切线的方程；‎ ‎（2）求出导函数，令，分类讨论，即可求解函数的单调区间．‎ 试题分析：‎ ‎（Ⅰ）当时，，‎ ‎∴， ，∴切线方程为，即.‎ ‎（Ⅱ）（），令，‎ ‎，当，即时， ，此时在定义域内单调递增；‎ 当时， 或时， ， 单调递增； ‎ 时， ， 单调递减；‎ 当时， 时， 单调递减， 时， 单调递增.‎ 综上所述： 时， 在上单调递增；‎ 时， 在， 上单调递增，在上单调递增；‎ 时， 在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）当时，探究函数的单调性；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调增区间为，单调减区间为；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1) 依题意， ， ，利用导函数的符号可得函数的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎(2) 依题意可得， .‎ 分类讨论：当时， 在上单调递增，不合题意；‎ 当，故在上单调递减，满足题意；‎ 当， 在上单调递增，在上单调递减， 不合题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意， ， ，‎ 令，解得，令，解得，‎ 故函数的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎（2）依题意， .‎ 当时， ，‎ ‎∴在上单调递增， ，‎ ‎∴不合题意；‎ 当，即时，‎ 在上恒成立，‎ 故在上单调递减， ，‎ ‎∴满足题意；‎ 当，即时，由，可得，‎ 由，可得，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，∴不合题意.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．‎ ‎21．设， ，令．‎ ‎ （1）求 的值；‎ ‎ （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据所给的函数及递推关系式，进行计算，即可求解的值；‎ ‎（2）由（1）中的值，从而可猜想数列的通项公式，利用数学归纳法作出证明即可．‎ 试题分析：‎ ‎（1）∵，∴， ‎ ‎， ‎ ‎. ‎ ‎（2） 猜想：． ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当时，，猜想成立； ‎ 假设当 时猜想成立，即：， ………9分 当，‎ ‎. ‎ ‎∴当 时猜想也成立． ‎ 由①，②可知，对任意都有 成立．‎ 点睛：本题主要考查了数列的递推关系式和数学归纳法的应用，对于数学归纳法的证明过程是：（1）验证取第一个值时等式时成立的；（2）假设时等式成立，证得 时，等式也成立，即可得到对于时都成立，在证明也成立时，必须要用到成立的假设，这也是数学归纳法的一个易错点．‎ ‎22．某工艺品厂要设计一个如图1所示的工艺品，现有某种型号的长方形材料如图2所示，其周长为4m，这种材料沿其对角线折叠后就出现图1的情况．如图，ABCD（AB＞AD）为长方形的材料，沿AC折叠后AB'交DC于点P，设△ADP的面积为S2 ， 折叠后重合部分△ACP的面积为S1 ． ‎ ‎（Ⅰ）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求面积S2最大时，应怎样设计材料的长和宽？‎ ‎（Ⅲ）求面积（S1+2S2）最大时，应怎样设计材料的长和宽？‎ ‎【答案】（1）（2）当材料长为 ，宽为 时，S2最大．（3）当材料长为 ，宽为 时，S1+2S2最大 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设米，通过三角形全等以及勾股定，即可用表示图中的长度，并写出的取值范围；‎ ‎（2）表示面积，利用基本不等式求解最大值，即可求得材料的长和宽的值；‎ ‎（3）表示面积的表达式，利用导数求解函数的最值即可．‎ 试题分析：‎ 解：（Ⅰ）由题意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2‎ 设DP=y，则PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，‎ 由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2‎ 即： .‎ ‎（Ⅱ）记△ADP的面积为S2，则 ．‎ 当且仅当 时，S2取得最大值．‎ 故当材料长为 ，宽为 时，S2最大．‎ ‎（Ⅲ） ‎ 于是令 ，∴ ‎ ‎∴关于x的函数 在 上递增，在 上递减，‎ ‎∴当 时，S1+2S2取得最大值．‎ 故当材料长为 ，宽为 时，S1+2S2最大 点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案．‎