2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期第二次阶段检测数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期第二次阶段检测数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省六安市第一中学高一下学期第二次阶段检测数学（文）试题 一、单选题 ‎1．=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先用诱导公式将cos170°化为-cos10°，再将所得式子提取负号后用两角和的正弦公式合并然后,由特殊角的三角函数求其值，即可解答.‎ ‎【详解】‎ sin20°cos170°-cos20°sin10°‎ ‎=-(sin20°cos10°+cos20°sin10°)‎ ‎=-sin(20°+10°)‎ ‎=-sin30°‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及两角和的正弦公式，直接运用公式即可求值，属于基础题.‎ ‎2．已知D是的边上的中点，则向量 等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角形中线的性质，得，再由平面向量加减法运算可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵D是△ABC的边AB的中点，∴‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的加减法运算，考查三角形中线的性质，属于基础题．‎ ‎3．在中，，则（ ）‎ A．-1 B． C．1 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用向量的数量积化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：在中，，则 ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的数量积的运算，是基本知识的考查．‎ ‎4．若O为平面内一点，且满足，则形状为 （ ）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】由向量的运算律以及向量的数量积可得，进而判定三角形的形状.‎ ‎【详解】‎ 由，可得，则三角形的中线和底边垂直，从而是等腰三角形，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用向量坐标运算求解三角形形状问题，关键是通过数量积等于零确定垂直关系，再确定是否为等腰三角形.‎ ‎5．若两个非零向量， 满足，则向量与的夹角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：结合向量加减法的平行四边形法则三角形法则可知分别为以为临边的平行四边形的对角线对应的向量， ，所以此平行四边形是矩形，且对角线与矩形的边的较小的夹角为，结合图形可知向量与的夹角为 ‎【考点】向量的平行四边形法则三角形法则 点评：本题首先结合向量加减法的作图原则做出及其和差向量，结合平面图形性质可知四边形是矩形 ‎6．已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据，，再结合投影的定义即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据向量的投影公式可知，向量在向量方向上的投影为,故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的概念以及投影公式运算即可，属于常考题型.‎ ‎7．已知向量，则的最大值为（ ）‎ A．1 B． C．3 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】由向量，表示，利用辅助角公式化简求最值即可.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎ ，‎ 所以当时，取得最大值.‎ ‎【点睛】‎ 本小题考查平面向量的基本运算，三角函数的最值，向量模的概念及其最值等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.‎ ‎8．若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据诱导公式化简，再根据二倍角余弦公式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力,属基础题.‎ ‎9．对函数的表述错误的是（ ）‎ A．最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．在区间上递增 D．点是图象的一个对称中心 ‎【答案】D ‎【解析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 函数的周期，故选项A表述正确；‎ 令，解得，令k=-1,则，故B表述正确；‎ ‎，解得，令k=0,可得C表述正确；‎ ‎,解得，D表述错误，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．‎ ‎10．若， ，且有意义，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先利用两角和的正切公式展开，再分子分母同时乘以即可.‎ ‎【详解】‎ 若， ，且有意义，‎ 则,故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查两角和的正切公式，考查二倍角公式以及齐次方程，属于中档题.‎ ‎11．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于y轴对称，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先将函数化简，并用辅助角公式化成一个形式，函数的图象关于轴对称，也就是说函数是偶函数，因此有，而，就能求的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎ 进行化简得，‎ 由题意可知，函数的图象关于轴对称 也就是说函数是偶函数，所以有成立，即 因为 所以的最小值为，此时，故本题选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角知差的余弦公式、三角函数图象的平移、辅助角公式、偶函数图象特征。‎ ‎12．若函数在区间上单调递增，则正数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ ‎∵在区间上单调递增，‎ ‎∴，解得，∴，‎ ‎∴正数ω的最大值是．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数中参数值的最大正值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二倍角的正余弦公式、正弦函数单调性的合理运用．‎ 二、填空题 ‎13．平面向量与的夹角为60°，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出，进而可计算出的结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎∴，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量模的计算，熟记公式即可，属于常考题型.‎ ‎14．已知向量.若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用数量积的运算法则化简已知即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∵向量与的夹角为锐角，∴，解得，又当时，两个向量方向相同，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个向量夹角为锐角时，数量积为正，要考虑同向的情况，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎15．在边长为2的正方形中，点在线段的延长线上，且，若与 交于点，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过线性运算将变为，由垂直关系可知,由数量积定义可求得.‎ ‎【详解】‎ ‎∵在边长为2的正方形中，点在线段的延长线上，且，‎ ‎∴‎ ‎,故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够通过线性运算将问题转化为基底，运用已知的向量之间的模长和夹角，结合向量的数量积即可求值.‎ ‎16．____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】化切为弦，利用倍角公式，化简可得.‎ ‎【详解】‎ 因为 ‎,‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的恒等变换求值问题，三角函数的恒等变换的主要求解思路：统一角度，统一函数，降低次数.‎ ‎17．已知向量．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求函数的单调递减区间．‎ ‎【答案】(1)3 (2) ‎ ‎【解析】（1）由向量共线，可求得，进而分子分母同时除以即可；（2）由向量的数量积结合倍角公式，求出函数的单调递减区间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1） 因为，所以.‎ 所以 ‎ ‎（2）‎ 令，得，‎ 所以的单调递减区间是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量和三角函数的交汇，考查向量共线的充要条件，以及运用向量的数量积，结合倍角公式求三角函数的单调区间，熟练掌握公式是关键.‎ 三、解答题 ‎18．已知为锐角，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值 ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）结合为锐角利用同角三角函数的关系，结合倍角公式即可求值；‎ ‎（2）结合为锐角，求出，利用两角和的正切公式即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为为锐角，所以，‎ 所以 ‎（2）因为为锐角，，‎ 所以，‎ 因为，，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数之间的关系以及倍角公式，同时考查了两角和的正切公式，属于中档题.‎ ‎19．如图，平行四边形中，，，，点分别为边的中点，与相交于点，记，．‎ ‎（1）用表示，并求；‎ ‎（2）若，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由向量加法表示，平方求得代入各值即可得解;（2）因为，与共线，设，则表示，，由得出方程，即可解出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由图形可知 因为 所以 ‎（2）因为，与共线，‎ 设，则 由于 因为，所以 即 则，解得，所以 ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的加法法则，求向量的模，向量共线定理和平面向量基本定理，属于中档题.‎ ‎20．如图，以Ox为始边作角与（） ，它们终边分别单位圆相交于点、，已知点的坐标为．‎ ‎（1）若，求角的值；‎ ‎（2）若 ·，求．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)由已知利用三角函数的定义可求，利用两角差的正切公式即可计算得解；‎ ‎(2)由已知可得，进而求出，最后利用两角和的正弦公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由三角函数定义得，‎ 因为，所以，‎ 因为，所以 ‎ ‎（2）·，∴∴，‎ 所以，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正切公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若对任意，都有成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和．‎ ‎【答案】(1) .(2) ‎ ‎【解析】(1)先由倍角公式以及两角和的正弦公式进行化简，再求出函数的最小值即可求出a的范围；(2)根据函数图像的对称性即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）.‎ 若对任意，都有成立，则只需即可 ‎∵，∴，‎ ‎∴当，即时， 有最小值，故. ‎ ‎（2）依题意可得，由得，‎ 由图可知，在上有4个零点： ，‎ 根据对称性有，‎ 从而所有零点和为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的值域以及函数图像的对称性，熟记两角和与差的正弦公式等以及图像的变换即可，属于常考题型.‎ ‎22．如图，某小区有一块半径为米的半圆形空地，开发商计划在该空地上征地建一个矩形的花坛和一个等腰三角形的水池EDC，其中为圆心，在圆的直径上，在半圆周上.‎ ‎（1）设，征地面积为，求的表达式，并写出定义域；‎ ‎（2）当满足取得最大值时，建造效果最美观.试求的最大值，以及相应角的值.‎ ‎【答案】(1) (2) 最大值为 ，此时 ‎【解析】（1）连接，在中，求出 ‎，进而求出面积以及角的范围；‎ ‎（2）令，再求出的范围，转化为二次函数即可求出最大值，以及相应角的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接，在中，，‎ ‎ ‎ ‎（2），‎ 令，因为，所以，‎ 所以 ‎ 因为在上单调递增，‎ 所以时有最大值为 ，此时 ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数与实际应用相结合，最终转化为二次函数进行求解，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查解决问题的能力、仔细理解题，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎