人教版数学八年级下册同步练习(含答案)+数学知识点归纳大全
人教版数学八年级
下册同步练习(含答案)+数学知识点归纳大全
同步练习及答案
16.1 分式同步测试题
1、式子①
x
2 ②
5
yx ③
a2
1 ④
1
x 中，是分式的有（ ）
A．①② B. ③④ C. ①③ D.①②③④
2、分式
13
x
ax 中，当 ax 时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零 B.分式无意义
C. 若
3
1a 时,分式的值为零 D. 若
3
1a 时,分式的值为零
3. 若分式
1x
x 无意义,则 x 的值是( )
A. 0 B. 1 C. -1 D. 1
4. (2008 年山西省太原市)化简
2 2
2
m n
m mn
的结果是（ ）
A．
2
m n
m
B． m n
m
C． m n
m
D． m n
m n
5.使分式
x
1
11
1 有意义的条件是( )
A. 0x B. 21 xx 且 C. 1x D. 1x 且 0x
6.当_____时,分式
43
12
x
x 无意义.
7.当______时,分式
68 x
x 有意义.
8.当_______时,分式
5
34
x
x 的值为 1.
9.当______时,分式
5
1
x
的值为正.
10.当______时分式
1
4
2
x
的值为负.
11.要使分式 22
1
yx
x
的值为零，x 和 y 的取值范围是什么？
12．x 取什么值时，分式
)3)(2(
5
xx
x （1）无意义？（2）有意义？ （3）值为零？
13．2005-2007 年某地的森林面积（单位：公顷）分别是 321 ,, SSS ，2005 年与 2007 年相比，
森林面积增长率提高了多少？（用式子表示）
14．学校用一笔钱买奖品，若以 1 支钢笔和 2 本日记本为一份奖品，则可买 60 份奖品；若
以 1 支钢笔和 3 本日记本为一份奖品，则可买 50 份奖品，那么这笔钱全部用来买钢笔可以
买多少支？
15．用水清洗蔬菜上残留的农药．设用 x（ 1x ）单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的
农药量与本次清洗前残留的农药量之比为
x1
1 ． 现有 a （ 2a ）单位量的水，可以一
次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次．试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量
比较少？说明理由．
16.1 分式
第 1 课时
课前自主练
1．________________________统称为整式．
2． 2
3
表示_______÷______的商，那么（2a+b）÷（m+n）可以表示为________．
3．甲种水果每千克价格 a 元，乙种水果每千克价格 b 元，取甲种水果 m 千克，乙种水果 n
千克，混合后，平均每千克价格是_________．
课中合作练
题型 1：分式、有理式概念的理解应用
4．（辨析题）下列各式 a
， 1
1x
，1
5
x+y，
2 2a b
a b
，-3x2，0中，是分式的有___________；
是整式的有___________；是有理式的有_________．
题型 2：分式有无意义的条件的应用
5．（探究题）下列分式，当 x 取何值时有意义．
（1） 2 1
3 2
x
x
； （2）
23
2 3
x
x
．
6．（辨析题）下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ）
A． 1
2 1x
B．
2 1
x
x
C． 2
3 1x
x
D．
2
22 1
x
x
7．（探究题）当 x______时，分式 2 1
3 4
x
x
无意义．
题型 3：分式值为零的条件的应用
8．（探究题）当 x_______时，分式
2
2
1
2
x
x x
的值为零．
题型 4：分式值为±1 的条件的应用
9．（探究题）当 x______时，分式 4 3
5
x
x
的值为 1；
当 x_______时，分式 4 3
5
x
x
的值为-1．
课后系统练
基础能力题
10．分式 2 4
x
x
，当 x_______时，分式有意义；当 x_______时，分式的值为零．
11．有理式① 2
x
，②
5
x y ，③ 1
2 a
，④
1
x
中，是分式的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
12．分式
3 1
x a
x
中，当 x=-a 时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零； B．分式无意义
C．若 a≠- 1
3
时，分式的值为零； D．若 a≠ 1
3
时，分式的值为零
13．当 x_______时，分式 1
5x
的值为正；当 x______时，分式 2
4
1x
的值为负．
14．下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A．
2
2
1
1
m
m
B．
2 1
1
m
m
C． 2
1
1
m
m
D．
2 1
1
m
m
15．使分式
| | 1
x
x
无意义，x 的取值是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
拓展创新题
16．（学科综合题）已知 y= 1
2 3
x
x
，x 取哪些值时：（1）y 的值是正数；（2）y 的值是负数；
（3）y 的值是零；（4）分式无意义．
17．（跨学科综合题）若把 x 克食盐溶入 b 克水中，从其中取出 m 克食盐溶液，其中含纯盐
________．
18．（数学与生活）李丽从家到学校的路程为 s，无风时她以平均 a 米/秒的速度骑车，便
能按时到达，当风速为 b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前_______
出发．
19．（数学与生产）永信瓶盖厂加工一批瓶盖，甲组与乙组合作需要 a 天完成，若甲组单独
完成需要 b 天，乙组单独完成需_______天．
20．（探究题）若分式 2
2
x
x
-1 的值是正数、负数、0 时，求 x 的取值范围．
21．（妙法巧解题）已知 1
x
- 1
y
=3，求 5 3 5
2
x xy y
x xy y
的值．
22．（2005．杭州市）当 m=________时，分式 2
( 1)( 3)
3 2
m m
m m
的值为零．
16.1 分式
第 2 课时
课前自主练
1．分数的基本性质为：______________________________________________________．
2．把下列分数化为最简分数：（1） 8
12
=________；（2）125
45
=_______；（3） 26
13
=________．
3．把下列各组分数化为同分母分数:
（1） 1
2
， 2
3
， 1
4
； （2） 1
5
， 4
9
， 7
15
．
4．分式的基本性质为：______________________________________________________．
用字母表示为：______________________．
课中合作练
题型 1：分式基本性质的理解应用
5．（辨析题）不改变分式的值，使分式
1 1
5 10
1 1
3 9
x y
x y
的各项系数化为整数，分子、分母应乘以
（ ）
A．10 B．9 C．45 D．90
6．（探究题）下列等式：① ( )a b
c
=- a b
c
;② x y
x
= x y
x
;③ a b
c
=- a b
c
;
④ m n
m
=- m n
m
中,成立的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
7．（探究题）不改变分式
2
3
2 3
5 2 3
x x
x x
的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确
的是（ ）
A．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
B．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
C．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
D．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
题型 2：分式的约分
8．（辨析题）分式 4 3
4
y x
a
，
2
4
1
1
x
x
，
2 2x xy y
x y
，
2
2
2
2
a ab
ab b
中是最简分式的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．（技能题）约分：
（1）
2
2
6 9
9
x x
x
； （2）
2
2
3 2m m
m m
．
题型 3：分式的通分
10．（技能题）通分：
（1） 26
x
ab
， 29
y
a bc
； （2） 2
1
2 1
a
a a
， 2
6
1a
．
课后系统练
基础能力题
11．根据分式的基本性质，分式 a
a b
可变形为（ ）
A． a
a b
B． a
a b
C．- a
a b
D． a
a b
12．下列各式中，正确的是（ ）
A． x y
x y
= x y
x y
; B． x y
x y
= x y
x y
; C． x y
x y
= x y
x y
; D． x y
x y
= x y
x y
13．下列各式中，正确的是（ ）
A． a m a
b m b
B． a b
a b
=0 C． 1 1
1 1
ab b
ac c
D． 2 2
1x y
x y x y
14．（2005·天津市）若 a= 2
3
，则
2
2
2 3
7 12
a a
a a
的值等于_______．
15．（2005·广州市）计算
2
2 2
a ab
a b
=_________．
16．公式 2
2
( 1)
x
x
， 3
2 3
(1 )
x
x
， 5
1x
的最简公分母为（ ）
A．（x-1）2 B．（x-1）3 C．（x-1） D．（x-1）2（1-x）3
17． 2
1 ?
1 1
x
x x
，则？处应填上_________，其中条件是__________．
拓展创新题
18．（学科综合题）已知 a2-4a+9b2+6b+5=0，求 1
a
- 1
b
的值．
19．（巧解题）已知 x2+3x+1=0，求 x2+ 2
1
x
的值．
20．（妙法求解题）已知 x+ 1
x
=3，求
2
4 2 1
x
x x
的值．
16.1 分式同步测试题 A
一、选择题（每题分，共分）
1、把分式
yx
x
中的 、 都扩大 3 倍，那么分式的值（ ）
A、扩大 3 倍 B、不变 C、缩小 3 倍 D、缩小 9 倍
2、把分式
xy
yx 中的 、 都扩大 2 倍，那么分式的值 （ ）
A、扩大 2 倍 B、扩大 4 倍 C、缩小 2 倍 D 不变
3、下列等式中成立的是 （ ）
A、 B、
C、 D、
4、(2008 年株洲市)若使分式
2
x
x
有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A． 2x B． 2x C． 2x D． 2x
5、已知 ，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
A、①③④ B、①②⑤ C、③⑤ D、①④
二、填空题（每题分，共分）
1、分式
3
92
x
x 当 x __________时分式的值为零.
2、当 x __________时分式
x
x
21
21
有意义.当 ________________x 时，分式
8x3
2x
无意义.
3、① )0(,10
5
3 aaxyxy
a ②
1
4
2
2
a
a .
4、约分：①
ba
ab
220
5 __________，②
96
9
2
2
xx
x __________.
5、已知 P=
9
99
99
9
,Q=
9
11
90
9
,那么 P、Q 的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿。
6、a>0>b>c,a+b+c=1,M=
a
cb ,N=
b
ca ,P=
c
ba ，则 M、N、P 的大小关系是＿＿＿.
三、解答题（共分）
1、（分）
2、（分）已知
2
2 2
2 1 1 11
x x xy xx x x
。试说明不论 x 为何值，y 的值不变.
3、（分） 都化
为整数.
4、（分）
16.1 分式同步测试题 B
一、选择题（每题 3 分，共 30 分）
1、 为任意实数，分式一定有意义的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、当 时， 值为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、已知： ， 则：则 表示 的代数式为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、（2008 无锡）计算
2
2
( )ab
ab
的结果为（ ）
Ａ．b B． a Ｃ．1 Ｄ． 1
b
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
1、 是____．
2、－
92
93,1992
1993,91
92,1991
1992 四个数的大小关系是＿＿.
3、当 x=______时，分式
145
4
2
2
xx
x 的值为零.
4、甲、乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与
乙做 60 个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？
设甲每小时做 x 个零件，那么乙每小时做（x-6）个。甲做 90 个所用的时间是 90÷x（或
x
90 ）小时，乙做 60 个的用的时间是［60÷（x-6）］（或
6
60
x
）小时，根据题意列方程为＿
＿＿＿＿＿.
三、解答题（52 分）
1 、 （ 10 分 ）
.
2、（10 分）已知：a=2b，
16.1 分式同步测试题 C（人教新课标八年级下）
A 卷（共 60 分）
一、选择题(每小题 3 分 ，共 18 分)
1.代数式- ,2
3 x ,1,8
7,1,,4 2
a
xyxyx
中是分式的有（ ）
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2.使分式
2x
x 有意义的是（ ）
A. 2x B. 2x C. 2x D. 2x 或 2x
3. 下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A．
2
2
1
1
m
m
B．
2 1
1
m
m
C． 2
1
1
m
m
D．
2 1
1
m
m
4. 分式 4 3
4
y x
a
，
2
4
1
1
x
x
，
2 2x xy y
x y
，
2
2
2
2
a ab
ab b
中是最简分式的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
5. 分式
3 1
x a
x
中，当 x=-a 时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零； B．分式无意义
C．若 a≠- 1
3
时，分式的值为零； D．若 a≠ 1
3
时，分式的值为零
6.如果把分式
yx
yx
2 中的 yx, 都扩大 2 倍，则分式的值（ ）
A.扩大 2 倍 B.缩小 2 倍 C.是原来的
3
2 D.不变
二、填空题(每小题 3 分 ，共 18 分)
7. 分式 2 4
x
x
，当 x 时，分式有意义.
8.当 x 时，分式
3
3
x
x 的值为 0.
9.在下列各式中， ),(3
2,,1,2,2,1 22
2
bax
xyx
baa
分式有 .
10. 不改变分式的值，使分式
1 1
5 10
1 1
3 9
x y
x y
的各项系数化为整数，分子、分母应乘以
11. 计算
2
2 2
a ab
a b
= ．
12.
22 yxyx
yx
.
三、解答题（每大题 8 分，共 24 分）
13. 约分：
（1）
2
2
6 9
9
x x
x
； （2）
2
2
3 2m m
m m
．
14. 通分：
（1） 26
x
ab
， 29
y
a bc
； （2） 2
1
2 1
a
a a
， 2
6
1a
．
15.若 ,532 zyx 求
x
zyx
2
32 的值.
B 卷（共 40 分）
一、选择题（每小题 2 分，共 8 分）
1.如果把分式
n
m
2
中的字母 m 扩大为原来的 2 倍，而 n 缩小原来的一半，则分式的值
（ ）
A.不变 B.是原来的 2 倍 C.是原来的 4 倍 D.是原来的一半
2. 不改变分式
2
3
2 3
5 2 3
x x
x x
的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ ）
A．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
B．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
C．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
D．
2
3
3 2
5 2 3
x x
x x
3.一项工程，甲单独干，完成需要 a 天，乙单独干，完成需要b 天，若甲、乙合作，完成这
项工程所需的天数是（ ）
A.
ba
ab
B.
b
a 1
1
C.
ab
ba D. )( baab
4.如果 ,0432
zyx 那么
zyx
zyx
的值是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
二、填空题（每小题 2 分，共 8 分）
5. 李丽从家到学校的路程为 s，无风时她以平均 a 米/秒的速度骑车，便能按时到达，当
风速为 b 米/秒时，她若顶风按时到校，请用代数式表示她必须提前 出发．
6. 当 m= 时，分式 2
( 1)( 3)
3 2
m m
m m
的值为零．
7.已知 2+ ,,15
4415
44,8
338
33,3
223
2 222 若 10+ bab
a
b
a ,(102 为正整
数）则 a ， b .
8. （08 江苏连云港）若一个分式含有字母 m ，且当 5m 时，它的值为 12，则这个分式
可以是 ．
（写出一个．．即可）
三、解答题（每大题 8 分，共 24 分）
9. 已知 1
x
- 1
y
=3，求 5 3 5
2
x xy y
x xy y
的值．
10.先能明白（1）小题的解答过程，再解答第（2）小题，
（1）已知 ,0132 aa 求 2
2 1
aa 的值，
解，由 0132 aa 知 ,0a 31,013
aaaa 即
∴ 72)1(1 2
2
2
aaaa ；
（2）已知： ,0132 yy 求
13 48
4
yy
y 的值.
11. 已知 a2-4a+9b2+6b+5=0，求 1
a
- 1
b
的值．
16．2 分式的运算
第 1 课时
课前自主练
1．计算下列各题：
（1） 3
2
× 1
6
=______；（2） 3
5
÷ 4
5
=_______；（3）3a·16ab=________；
（4）（a+b）·4ab2=________；（5）（2a+3b）（a-b）=_________．
2．把下列各式化为最简分式：
（1）
2
2
16
8 16
a
a a
=_________； （2）
2 2
2 2
( )
( )
x y z
x y z
=_________．
3．分数的乘法法则为_____________________________________________________；
分数的除法法则为_____________________________________________________．
4．分式的乘法法则为____________________________________________________；
分式的除法法则为____________________________________________________．
课中合作练
题型 1：分式的乘法运算
5．（技能题）
2
2
3
4
xy
z
·（-
28z
y
）等于（ ）
A．6xyz B．-
2 33 8
4
xy z
yz
C．-6xyz D．6x2yz
6．（技能题）计算： 2
3
x
x
·
2
2
6 9
4
x x
x
．
题型 2：分式的除法运算
7．（技能题）
2
2
ab
cd
÷ 3
4
ax
cd
等于（ ）
A．
22
3
b
x
B． 3
2
b2x C．-
22
3
b
x
D．-
2 2
2 2
3
8
a b x
c d
8．（技能题）计算： 2
3
a
a
÷
2
2
4
6 9
a
a a
．
课后系统练
基础能力题
9．（- 3a
b
）÷6ab 的结果是（ ）
A．-8a2 B．-
2
a
b
C．- 2
18a
b
D．- 2
1
2b
10．-3xy÷
22
3
y
x
的值等于（ ）
A．-
29
2
x
y
B．-2y2 C．- 2
2
9
y
x
D．-2x2y2
11．若 x 等于它的倒数，则
2 6
3
x x
x
÷ 2
3
5 6
x
x x
的值是（ ）
A．-3 B．-2 C．-1 D．0
12．计算：（xy-x2）· xy
x y
=________．
13．将分式
2
2
x
x x
化简得
1
x
x
，则 x 应满足的条件是________．
14．下列公式中是最简分式的是（ ）
A． 2
12
27
b
a
B．
22( )a b
b a
C．
2 2x y
x y
D．
2 2x y
x y
15．计算 ( 1)( 2)
( 1)( 2)
a a
a a
·5（a+1）2 的结果是（ ）
A．5a2-1 B．5a2-5 C．5a2+10a+5 D．a2+2a+1
16．（2005·南京市）计算
2
2
1
2 1
a
a a
÷
2
1
a a
a
．
17．已知 1
m
+ 1
n
= 1
m n
，则 n
m
+ m
n
等于（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
拓展创新题
18．（巧解题）已知 x2-5x-1 997=0，则代数式
3 2( 2) ( 1) 1
2
x x
x
的值是（ ）
A．1 999 B．2 000 C．2 001 D．2 002
19．（学科综合题）使代数式 3
3
x
x
÷ 2
4
x
x
有意义的 x 的值是（ ）
A．x≠3 且 x≠-2 B．x≠3 且 x≠4
C．x≠3 且 x≠-3 D．x≠-2 且 x≠3 且 x≠4
20．（数学与生活）王强到超市买了 a 千克香蕉，用了 m 元钱，又买了 b 千克鲜橙，也用了
m 元钱，若他要买 3 千克香蕉 2 千克鲜橙，共需多少钱？（列代数式表示）．
16．2 分式的运算
第 2 课时
课前自主练
1．计算下列各题：
（1） 2
a
· 4
a
； （2） 2
a
÷ 4
a
； （3）
2
2
5 6
1
x x
x
÷ 2
3x
x x
；
（4）
2 2
2
2x xy y
xy y
·
2 2
2
2x xy y
xy y
．
2．55=____×____×_____×_____×5=_______;an=_______．（ 1
2
）2=____×______=____;
（ b
a
）3=_____·______·_____=
3
3
b
a
．
3．分数的乘除混合运算法则是________．
课中合作练
题型 1：分式的乘除混合运算
4．（技能题）计算：
2
2
2
3
x y
mn
·
2
2
5
4
m n
xy
÷ 5
3
xym
n
．
5．（技能题）计算：
2
2
16
16 8
m
m m
÷ 4
2 8
m
m
· 2
2
m
m
．
题型 2：分式的乘方运算
6．（技能题）计算：（-
22
3
a b
c
）3．
7．（辨析题）（-
2b
a
）2n 的值是（ ）
A．
2 2
2
n
n
b
a
B．-
2 2
2
n
n
b
a
C．
4
2
n
n
b
a
D．-
4
2
n
n
b
a
题型 3：分式的乘方、乘除混合运算
8．（技能题）计算：（
2
b
a
）2÷（ b
a
）·（- 3
4
b
a
）3．
9．（辨析题）计算（
2x
y
）2·（
2y
x
）3÷（- y
x
）4 得（ ）
A．x5 B．x5y C．y5 D．x15
课后系统练
基础能力题
10．计算（
2x
y
）·（ y
x
）÷（- y
x
）的结果是（ ）
A．
2x
y
B．-
2x
y
C． x
y
D．- x
y
11．（-
2b
m
）2n+1 的值是（ ）
A．
2 3
2 1
n
n
b
m
B．-
2 3
2 1
n
n
b
m
C．
4 2
2 1
n
n
b
m
D．-
4 2
2 1
n
n
b
m
12．化简：（
3x y
z
）2·（ xz
y
）·（ 2
yz
x
）3 等于（ ）
A．
2 3
2
y z
x
B．xy4z2 C．xy4z4 D．y5z
13．计算：（1） 2
2 6
4 4
x
x x
÷（x+3）·
2 6
3
x x
x
；
（2）
2
2
6 9
6
x x
x x
÷
2
2
9
3 10
x
x x
· 3
2 10
x
x
．
拓展创新题
14．（巧解题）如果（
3
2
a
b
）2÷（ 3
a
b
）2=3，那么 a8b4 等于（ ）
A．6 B．9 C．12 D．81
15．（学科综合题）已知│3a-b+1│+（3a- 3
2
b）2=0．求
2b
a b
÷[（ b
a b
）·（ ab
a b
）]的
值．
16．（学科综合题）先化简，再求值：
2
3 2
2 8
2
x x
x x x
÷（ 2x
x
· 4
1
x
x
）．其中 x=- 4
5
．
17．（数学与生活）一箱苹果 a 千克，售价 b 元；一箱梨子 b 千克，售价 a 元，试问苹果的
单价是梨子单价的多少倍？（用 a、b 的代数式表示）
18．（探究题）（2004·广西）有这样一道题：“计算
2
2
2 1
1
x x
x
÷ 2
1x
x x
-x 的值，其中 x=2
004”甲同学把“x=2 004”错抄成“x=2 040”，但他的计算结果也正确，你说这是怎么回
事？
16.2 分式的运算同步测试题 A
A 卷：
一、精心选一选
1．下列算式结果是－3 的是（ ）
A. 1)3( B. |3| C. )3( D. 0)3(
2. （2008 黄冈市）计算 ( )a b a b
b a a
的结果为（ ）
A． a b
b
B． a b
b
C． a b
a
D． a b
a
3.把分式 中的 x、y 都扩大 2 倍,则分式的值( )
A.不变 B.扩大 2 倍 C.缩小 2 倍 D.扩大 4 倍
4．用科学记数法表示-0.000 0064 记为（ ）
A. -64×10-7 B. -0.64×10-4 C. -6.4×10-6 D. -640×10-8
5．若
3
22
ba
ba ，则
a
b 等于 （ ）
A．
5
4 B．
5
4 C．1 D． 5
4
6.若 0 yxxy ，则分式
xy
11 （ ）
A.1 B. xy C.
xy
1 D.－1
7.一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为 U 像距为 V，凸透镜的焦距为 F，且满足
FVU
111 ，
则用 U、V 表示 F 应是（ ）
A.
UV
VU B.
VU
UV
C.
V
U D.
U
V
8．如果 x ＞ y ＞0，那么
x
y
x
y
1
1 的值是（ ）
A. 0 B. 正数 C. 负数 D. 不能确定
二、细心填一填
1. (16x3-8x2+4x) ÷(-2x)= 。
2.已知 a+b=2,ab=-5,则
a b+b a ＝____________
3.（2007 年芜湖市）如果 2a
b
，则
2 2
2 2
a ab b
a b
= ____________
4.一颗人造地球卫星的速度是 8×103/秒，一架喷气式飞机的速度是 5×102 米/秒，这颗人
造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的____________倍.
5.a 取整数 时，分式(1-
1
14
a
a )·
a
1 的值为正整数.
6. 已知 a＋
a
1 ＝6，则（a－
a
1 ）2 =
7.已知 25, 4n nx y ，则 2( ) nxy =_____________
8.已知｜x+y-3|+(x-y-1)2=0，则 -2 21[(-x y) ]2
=______________________
三、仔细做一做
1.计算 2 3 01( ) 2 0.125 2005 | 1|2
2. （1）化简： 1)2)(1(
3
1
xxx
x ，并指出 x 的取值范围
（2）先化简，再求值已知 3a ， 2b ，求 2 2
1 1( ) 2
ab
a b a ab b
的值．
3. 已知 y = ÷ － ＋ 1 ，试说明在右边代数式
有意义的条件下，不论 x 为何值，y 的值不变。
4.按下列程序计算：
n n n n 平方 答案
（1）填表。
输入 n 3 1
2
2 3 …
输出答案 1 1
（2）请将题中计算程序用式子表达出来，并化简。
B 卷：
一、选择题
1.在①x·x5; ②x7y÷xy; ③(-x2)3; ④(x2y3)3÷y3 中,结果为 x6 的有( )
A. ① B. ①② C. ①②③④ D. ①②④
2.使分式 2
5 5x=x-3 x -3x自左至右变形成立的条件是（ ）
A. x<0 B,x>0 C.x 0 D.x 0 且 x 3
3.已知
ba
babaabba
则且 ,0622 的值为（ ）
A、 2 B、 2 C、2 D、 2
二、填空题
1. 若 1)1( 1 xx ，则 x ＝ ．
2. 如果 x+
x
1 =3，则
1xx
x
24
2
的值为 .
3.若-1
CD ，如果∠D>∠C，
那么 AD 和 BC 的关系是（ ）
A.AD>BC B.AD=BC C.AD 2
21
1
a
∴Q1 或 x< 2
3
时，y 为负数，
当 x=1 时，y 值为零，当 x= 2
3
时，分式无意义．
17． xm
x b
克
18．（ s
a b
- s
a
）秒
19． ab
b a
20．当 x>2 或 x<-2 时，分式的值为正数；
当-2P>N；提示：∵M+1=
a
1 ,N+1=
b
1 ,P+1=
c
1 ,
∴M+1>P+1>N+1,
三、1、解：要使分式的值为零，需要分式的分子为零而分母不为零，即
2、解析：对 y 进行化简，得
2
2 2
2 1 1 11
x x xy xx x x
＝x-x+1=1。
∴不论 x 为何值，y 的值都是 1。
3、
4、
16.1 分式同步测试题 B 参考答案
一、1、C；提示：分母为非负数加一个正数
2、B；提示：根据分式的基本性质
3、B；提示：注意到分式的变形
4、B
二、 1、解 将原不等式作如下的变形
9a＞5b，即 9a－5b＞0，
4b＞7a，即 4b－7a＞0．
当 A=1，B=1 时，b 达到最小 16，此时 a=9．
2、解：∵－ ,1991
111991
1992 －
1992
111992
1993 ，－
91
1191
92
又
91
1
92
1
1991
1
1992
1
91
1
92
1
1991
1
1992
1
－
91
92
92
93
1991
1992
1992
1993 .
3、当 x2－4＝0，即 x=±2 时，由于 x=2 时，分母 x2+5x－14=0，因此分式无意义．故正
确答案为：x=－2
4、
x
90 =
6
60
x
三、1、解 设 S=原式，对原式括号内各项反序排列后，有
＝1770，
∴S=885．
2、将 a=2b 代入，得原式＝
16
3
42436
2212
.
16.1 分式同步测试题 C A 卷答案：
一、1.B，提示：根据分式的概念判断，π是常数而不是字母，所以有 2 个；2.C，提示：分
式有意义则 02 x ，则 2x ，故选 C；3.B，提示：分子为零且分母不为零即
01,012 mm 且 ，所以 ,1m 故选 B；4.C，提示：最简分式是指分子、分母都没有
公因式也就是不能约分，故选 C； 5.C，提示：把 x=-a 代入
3 1
x a
x
即为
13
a
aa ，从而判
断，故选 C；6.D，提示：按题意，分式变成
yx
yx
22
42
，化简后是
yx
yx
2 ，此式显然不变，
故选 D；
二、7. ≠±2，0；提示：分式有意义即分母不等于零即 042 x ，解得 2x ；
8.3，提示：分式的值为零就是分子等于零且分母不等于零即 0303 xx 且 ，故
3x ；
9. ,,2,1 2
x
x
baa
提示：根据分式的概念判断，π是常数而不是字母，代数式
x
x 2
，只符合
分式的特征不需要化简，所以它是分式；
10.90， 提示：根据分式的基本性质都乘以 90 即寻找分子、分母的最小公倍数为 90.
11. a
a b
，提示：先将分子、分母分解因式变成
))((
)(
baba
baa
然后约分化成最简分式；
12. 22 2 yxyx ，提示：分子、分母所乘的数是同一个，变形后是（ ,)2yx 应写成
22 2 yxyx ；
三、13. （1）
2
2
6 9
9
x x
x
=
)3)(3(
)3( 2
xx
x 3
3
x
x
（2）
2
2
3 2m m
m m
=
)1(
)2)(1(
mm
mm 2m
m
14. （1） 2 2
3
18
acx
a b c
， 2 2
2
18
by
a b c
（2）
2
2
( 1)
( 1) ( 1)
a
a a
， 2
6( 1)
( 1) ( 1)
a
a a
15.设
24
8
22
)5(3322
2
32,5,3,2,532
k
k
k
kk
x
zyxkzkykxkzyx 所以则
16.1 分式同步测试题 C B 卷答案：
一、1.C，提示：按题意，分式变成 ,
22
1
2
n
m
化简后是
n
m2 ，此式显然是原来分式的 4 倍，
故选 C；2.C，提示：先将分子和分母按降幂排列然后在分子和分母同乘以（-1）得到 C 的
答案；
3.A，提示：工程问题把总工作量看成“1”，甲的工作效率为 ,1
a
乙的工作效率为 ,1
b
则工作
时间为
ba
ab
ab
ba
ba
1
11
1 ，故选 A；
4. 设 ,4,3,2,432 kzkykxkzyx
zyx
zyx
99
432
432
k
k
kkk
kkk
故选 C；
二、5. （ s
a b
- s
a
）秒 提示：顶风时风速为 )( ba 米/秒，所用时间为
ba
s
秒，也就
是费时间减去无风时的时间即为提前的时间；
6.3.提示：分式的值为零就是分子等于零且分母不等于零即为
023.0)3)(1( 2 mmmm 且 ，解得 3m ；
7.10，99，提示：从前面的式子得到规律：分子是加号前面的数，分母是分子的平方减 1，
故 99110,10 2 ba ；
8. 60
m
（答案不唯一）；
三、9.解：由 1
x
- 1
y
=3 得， xyyxxy
yx 3,3 ，
原式= 5 3 5
2
x xy y
x xy y
= 623
33
2)(
3)(5
xyxy
xyxy
xyyx
xyyx
10.解：由 ,0132 yy 知 ,0y ∴ ,31,013 yyyy 即
∴（ ,111,921)1 2
2
2
2
2 yyyyyy
即
∴（ ,121)1 22
2 yy
∴ ,1191 4
4 yy
由 1161313
4
4
4
48
y
y
y
yy ，
∴
13 48
4
yy
y =
116
1
11. 解 ： a2-4a+9b2+6b+5=0 得 ， 016944 22 bbaa ， 则
（ ,0)13()2 22 ba 则
3
1,2 ba ，代入得 3 1
2
.
16．2 分式的运算第 1 课时答案
1．（1） 1
4
（2） 3
4
（3）48a2b （4）4a2b2+4ab3 （5）2a2+ab-3b2
2．（1） 4
4
a
a
（2） x y z
x y z
3．分数与分数相乘，把分子、分母分别相乘；除以一个数等于乘以这个数的倒数
4．分式乘以分式，把分子、分母分别相乘；除以一个分式等于乘以这个分式的倒数
5．C 6． 3
2
x
x
7．C 8． 3
2
a
a
9．D 10．A 11．A 12．-x2y 13．x≠0
14．C 15．B 16． 1
a
17．B 18．C 19．D 20．（ 3m
a
+ 2m
b
）元
16．2 分式的运算第 2 课时答案:
1．（1） 2
8
a
（2） 1
2
（3）
2 2
1
x x
x
（4）
2 2
2
x y
y
2．5，5，5，5，3，125；
n
a a a
个
， 1
2
， 1
2
， b
a
， b
a
， b
a
3．把除法统一成乘法来计算
4． 2
1
2y
5． 4 2
2
m
m
6．-
6 3
3
8
27
a b
c
7．C 8．
4
4
27
256
b
a
9．A 10．B 11．D 12．B
13．（1）- 2
2x
（2） 1
2
14．B 15．-1 16．5
17．
2
2
b
a
倍
18．因为
2
2
2 1
1
x x
x
÷ 2
1x
x x
-x=x-x=0．
16.2 分式的运算同步测试题答案：A 卷：
一、1 、B
2、 A
3、B 提示 把 2x x换成 2y y换成 代入可得
4、 C
5 、D 提示 根据内项积等于外项积 6 3 2 2a b a b 4 5a b
6 、A 提示
xy
11 x y
xy
整体代入得 1
7 、B 提示 1u v
uv F
UVF U V
8 、B 提示
1
1 1 1
y y xy x xy y x y
x x x x x x
>0
二、1. 28 4 2x x
2. 14
5
提示
2 2a b+b a
a b ab
ab
整体代入
3. 3
5
提示可把 a=2b 代入 也可设特殊值 a=2 b=1 代入
4.16
5.-4，-2 提示 3
1a
原式 为正整数所以 a+1<0
6.32 提示
2
2
2
1 12 36a aa a
2
2
2
1 12 34 2 32a aa a
7. 1
10000
提示 原式= 2nxy =
2
1
n nx y
1
10000
8. 1
32
提示 列方程组 求得 x=2 y=1 在代入
三、1. 5
2. （1）解
2 3 1 2 1 1
1 2 1 2 2
x x x x x
x x x x x
原式 x≠1 且 x≠
-2
（2）解 分式化简得 1
a b
当 3a ， 2b 时 原式=1
3.右边=
21 1 1 11 1 1
x x
x x x x x
=
1 1 1 1x x
4.（1）1 ， 1
（2）
2 2 2
1n n n n nnn n
16.2 分式的运算同步测试题 B 卷
一、
1. B
2. C 提示 分式两边同时乘以不为 0 的数或式子
3. C 提示
22
2
8 24
a ba b ab
a b aba b
二、
1.-1 提示 任何不为 0 的 0 次幂都等于 1
2. 1
8
提示 先求
4 2
2
2 2
1 11 7 1 8x x xx x
3.增大 提示 做差法比较大小
三、1.（1） 规律 商等于
2x
y
（2）
15
7
x
y
2.（1）①（2） 不正确 不能去分母
(3) －
= +
= +
= 2
4 3
4
x
x
4. （1）A×B＝
3 2 2 2 2 2 82 2
x x x x x x xx x x
（2）已知 A×B=2x-8 A= 3x
x－2
－ x
x＋2
求 B 的值
（2x-8）÷（ 3x
x－2
－ x
x＋2
）＝（2x+8）×（
2
2 2
2 8
x x
x x
）＝x2－4
x
16.2 分式的运算同步测试题 B （A）卷答案：
一、1.C，2.A，3.C，提示：根据定义分子、分母没有公因式即可；4.A 5.C，提示：由
),0(54 yyx 得 ,4
5
y
x
2
22
y
yx 化简得
16
91)4
5(1)( 22
y
x ；6.D，提示：通分得
24
)4(2
4
73
yx
yx
yx
yyxx ；
二、7. 2x ，提示：幂指数中的对底数有限制条件即为底数不等于零，即 02 x ；8. x2，
提示：通分得， 2 2
m
x y
= 22
2
yx
x
，根据恒等式的意义得， 2xm ；9. 7，提示：由 a+b=3，
ab=1，得 7,92,9)( 22222 baabbaba ，将 a
b
+ b
a
通分得， 7
22
ab
ba ；
10.-3，提示：将 3464
1 ， 344 m ，得 3m ；11. 24.9 10 ;12.(1)1,1(2)任意输入
一个不为 0 的数，输出的结果均为 1，提示：程序为： xx
xx )( 2
1；
三、13.（1） 2
1
2y
（2）． 4 2
2
m
m
（3）
4
4
27
256
b
a
，（4） 1
1x
14. 5，
15.解：原式 1211
)1(
1
)1( 2
aaaa
aa
a
a ，当 0a 时，原式=2×0-1= -1.
16.2 分式的运算同步测试题 B （B）卷答案：
一、1.D，提示：
1
22
2
x
x 化简得
1
2
x
，其值为整数则 21,11 xx 或 ，解得 x =2，
0，-1，3；2.D，提示：由零指数幂和负指数幂的定义得，
03
02
x
x ，得
3
2
x
x 故选 D；
3.B，提示：化简得 324 ba ，整体代入得 a8b4=（ 93) 2224 ba ，故选 B；4.B，提示：
将
baba 111 化 简 得 ，（ ,,) 222 abbaabba 即 再 将
b
a
a
b 化 简 为
1
22
ab
ba ；
二、5.5，1，-1，提示：分类讨论即当 505,0 aaa 即 ；当
115,1 5 aaaaa 时，为任意数，即 成 立 ； 当 为偶数5,1 aa ， 即
11 5 aaa 时， 成立；6.-1，提示：将结论化简得 120082007
11 yx
；7.1，
;40
1
8.
8
1 ，提示：∵ ,0x ∴分子分母都除以 ,2x
得
8
1
13
1
1)1(
1
11
1
1 3
2
2
2
24
2
xx
x
xxx
x
三、9.
nxnxnxnx
1
)1(
1
)]1()[(
1 ；
解：
)2008)(2007(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
1
1
xxxxxxx
=
2007
1
2008
1
2
1
3
1
1
1
2
1
1
1
xxxxxxx
=
2008
1
x
10. 解：
4
1)4
4
2
2
22
xx
x
x
x
=
1
)2)(2(
)2)(2(
4
)2)(2(
1
)2)(2(
4)2( 22
xx
xx
x
xxxx
xx = 42 x
把 2008x 看成了 2008x 时，结果一样.
11. 解：
2
1)1()2( 23
x
xx =
2
2)2(
2
1)12()2( 2323
x
xxx
x
xxx
= .45)2(2
)2()2( 22
3
xxxxx
xxx
因为 200452 xx ，所以
2
1)1()2( 23
x
xx =2004+4=2008
16.2 分式的运算同步测试题 C 参考答案：
一、1，B；2，B；3，D；4，D；5，A；6，D；7，D；8，D；9，B；10，C.
二、11，分子和分母的公因式约去、分子与分母分解因式、约去分子与分母的公因式；
12，分子的积、分母的积、除式的分子分母、相乘；13，25b2c、－
23a b
d
、1；14，x+3.
；15，
ba
b
4
；16，xy；17，
2
2 2
a
c d
.提示：原式＝a2× 1
b
×b× 1
c
× 1
c
× 1
d
× 1
d
＝
2
2 2
a
c d
；
18，x≠－2，－3 和－4.
三、19，（1） 2
2
9
16
c
z ，（2）a+b+c，（3）
m
m 3 ，（4）
ba
ba
3
；
20，（1） yx3
2
9 ，（2） yx236 ，（3）
yx
zyx
，（4）
y
yyyx 11 2 ；
21 ，（ 1 ） 化 简 结 果 是 ：
1
1
x
值 为 ： 5. （ 2 ）
2 2
2 2 12 4 4
a b a b
a b a ab b
＝
2( 2 ) 12 ( )( )
a b a b
a b a b a b
＝ 2a b a b
a b a b
＝ 2a b a b
a b
＝ b
a b .答案不惟一，如，当
a＝b＝1 时，原式＝ 1
1 1
＝ 1
2
；
22，（1）因为－
5
2
x
y
÷
3x
y
＝
7
3
x
y
÷(－
5
2
x
y )＝－
9
4
x
y
÷(－
7
3
x
y )＝…＝－
2x
y
，所以任意一
个分式除以前面一个分式的规律是恒等于－
2x
y .（2）因为已知的一列分式可知分式的分母
的指数依次增加 1，分子的指数是分母指数的 2 倍加 1，并且分母的指数是偶数的分式带有
“－”号，所以第 7 个分式应该是
15
7
x
y
；
23，（1）“丰收 2 号”小麦单位面积产量高，（2）
1
1
a
a ；
24，
21
12
mm
mm
；
25，（1）A 玉米试验田面积是(a2－1)米 2，单位面积产量是
1
500
2 a
千克／米 2；B 玉米试
验田面积是(a－1)2 米 2，单位面积产量是 2
500
( 1)a
千克／米 2；因为 a2－1－(a－1)2＝2(a－1)，
而 a－1＞0，所以 0＜(a－1)2＜a2－1，所以
1
500
2 a
＜ 2
500
( 1)a
，即 B 玉米的单位面积产量高.
(2) 2
500
( 1)a
÷
1
500
2 a
＝ 2
500
( 1)a
×
500
12 a ＝ 2
( 1)( 1)
( 1)
a a
a
＝
1
1
a
a ，所以高的单位面积产
量是低的单位面积产量的
1
1
a
a 倍.
26，（1）A·B＝( 3
2
x
x
－
2
x
x )×
2 4x
x
＝ 2 ( 4)
( 2)( 2)
x x
x x
× 2 2x x
x
＝2x+8.（2）
答案不惟一.如，“逆向”问题一：已知 A·B＝2x+8，B＝
2 4x
x
，求 A . 解答 A＝(A·B)
÷B＝(2x+8)·
2 4x
x
＝
2
2
2 8
4
x x
x
.“逆向”问题二：已知 A·B＝2x+8，A＝ 3
2
x
x
－
2
x
x .
求 B.解答 B＝(A·B)÷A＝(2x+8)÷( 3
2
x
x
－
2
x
x )＝(2x+8)÷ 2 ( 4)
( 2)( 2)
x x
x x
＝2(2x+8)×
( 2)( 2)
2 ( 4)
x x
x x
＝
2 4x
x
.“逆向”问题三：已知 A·B＝2x+8，A+B＝x+10，求(A－B)2.解答
(A－B)2＝(A+B)2－4AB＝(x+10)2－4(2x+8)＝x2+12x+68.
16.3 分式方程同步测试题 A 答案
一、1.B，提示：关键方程里含有分母，分母里含有未知数 x ，故有③④⑤；2.C 3.C；4.B，
提示：把
x
2 看做整体，原方程转化为：（1- 0)2 2
x
，解得
x
2 =1；5.D，提示：A 去分母时
漏乘，B、C 去分母没变号，故选 D；6.C，提示：本题等量关系“两周内读完”，设他读前一
半时平均每天读 x 页则他读后一半时每天读（ x +21）页，他读前一半用的时间为
x
140 天，
读后一半用的时间为
21
140
x
天，又因为要在两周读完，因此列方程：
21
140140
xx =14；7.B，
提示：有增根说明 01 x 即 1x ，把 1x 代入 ,01 xm 得 2m ，故选 B；8.C，
提示：去分母得，A 1234 xBBxAx ，根据恒等的意义得，
134
2
BA
BA
解得
1
1
B
A ；9.B，提示：由已知可得 ,bxa 代入
ba
ba
中；10.D；
二、11.0；12.3，提示：根据题意得
x
x
5
1 =
2
1 解得 3x ；13. 2x ，提示：分式方程有增
根说明 02 x ，即 2x ；14.
21
2
vv
tv
；15.
3
215
3
15
xx
；提示：等量关系是汽车所用
的时间=自行车所用时间-
3
2 小时；16.
9
41 . 17. 0.5
1 x当 时， ,5
32
2
1
a
a 解得
5
1a ；
18.
21
212
vv
vv
；19.6 或 12，提示：因为方程有增根，所以这个增根必使公分母 ,0)3)(3( xx
所 以 3x ， 或 3x ， 在 原 方 程 的 两 边 都 乘 以 )3)(3( xx ， 去 分 母 得
3)3(2 xxm . 当 3x 时 ， 33)33(2 m ， .6m 当 3x 时 ，
33)33(2 m ， 12m ；20.
2400 2400 8
1 20%x x
；
三、21.(1)无解
（2）x= －1；
（3）方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x2-4)=1，
化简，得 2x=-3，x=
3
2
经检验，x=
3
2 是原方程的根．
22.6 天，提示；设工程规定日期为 x 天，根据题意得， 13
2
x
x
x
，解得，经检验 6x
是原分式方程的根；23.解：设红方装甲部队的实际行进速度.为每小时 xkm ，由题意得，
.190150
10
150 xx
解这个方程得， 60,40 21 xx ，经检验 60,40 21 xx 都是原
方程的解，但实际条件限制 ,40,50 xx
24.解；设她第一次在供销大厦买了 x 瓶酸奶，根据题意，得 2.0
5
8
40.1850.12
xx
解得 5x ，经检验， 5x 是原方程的根，
25.（1） ;, 21 c
mxcx
（2）结论：方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边与左边形式完全相同，
只是其中的未知数换成了某个常数，这样左边的未知数就等于右边的常数和倒数.
1
2
1
2
aayy 可 变 形 为
1
211
21
aayy ， ∴
1
21,11
ayay 或 ，即
1
1
21
a
ayay 或 ，经检验：
1
1, 21
a
ayay 都是原
方程的解，∴原方程的解为
1
1, 21
a
ayay
16.3 分式方程课时练第一课时答案：
一、1.A；2.B，提示：A、C 方程尽管有分母，但都是常数；D 方程尽管含有分母，但分母中
不含有未知数，由定义知这三个都不是分式方程，只有 B 符合分式方程的条件.
3.A；4.A；5.B，提示：去分母得：6 yxyx 223 ，解得 4
5
4,5
x
yyx ，故选 B；
6.C
二、7. 0，8. 2x ，提示：分式方程有增根说明 02 x ，即 2x ；9. 7；
二、10.无解 11.x= －1；12.无解 13.x= －1；（解分式方程别忘了验根）
16.3 分式方程课时练第二时答案：
一、1. D，提示：顺水速度为 ba （千米/时），逆水速度为（ )ba 千米/时；再根据时间
=
速度
路程 ；2. C，提示：本题等量关系“两周内读完”，设他读前一半时平均每天读 x 页则他
读后一半时每天读（ x +21）页，他读前一半用的时间为
x
140 天，读后一半用的时间为
21
140
x
天，又因为要在两周读完，因此列方程：
21
140140
xx
=14；3. A；
二、4. 3，提示：根据题意得
x
x
5
1 =
2
1 ；
5.
21
2
vv
tv
；6.
3
215
3
15
xx
；提示：等量关系是汽车所用的时间=自行车所用时间-
3
2 小时；
三、7.由题意，得
1x
x = 11
3
2 x
，解得 2x ，检验：当 2x 时（ 03)1)(1 xx
∴ 2x 是分式方程的根.因此当 2x 时 A=B.
8..解：设参加旅游的学生人数是 x 人，全票价为 a 元，又题意得，
32
31
%80)2(
%75)19
ax
aax ，消去 a 可得，
32
31
)2(8.0
1)1(75.0
x
x
解此方程得， 8x 经检验， 8x 是原方程的解且符合题意.
9.设工程规定日期为 x 天，根据题意得， 13
2
x
x
x
，解得，经检验 6x 是原分式方程
的根；
10.解：设红方装甲部队的实际行进速度.为每小时 xkm ，由题意得， .190150
10
150 xx
解这个方程得， 60,40 21 xx ，经检验 60,40 21 xx 都是原方程的解，但实际条件限
制 ,40,50 xx
11. 解；设她第一次在供销大厦买了 x 瓶酸奶，根据题意，得 2.0
5
8
40.1850.12
xx
解得 5x ，经检验， 5x 是原方程的根，
16.3 分式方程同步测试题 A 卷答案：
一、1.B，提示：关键方程里含有分母，分母里含有未知数 x ，故有③④⑤；2.D，提示：先
把 x=1 代入方程得
4
3
1
32
a
a ，解得 3a ，故选 D；3.C；4.B，提示：把
x
2 看做整体，
原方程转化为：（1- 0)2 2
x
，解得
x
2 =1；5.D，提示：A 去分母时漏乘，B、C 去分母没变
号，故选 D；6.C，提示：本题等量关系“两周内读完”，设他读前一半时平均每天读 x 页则
他读后一半时每天读（ x +21）页，他读前一半用的时间为
x
140 天，读后一半用的时间为
21
140
x
天，又因为要在两周读完，因此列方程：
21
140140
xx =14；
二、7.0；8.3，提示：根据题意得
x
x
5
1 =
2
1 解得 3x ；9. 2x ，提示：分式方程有增根说
明 02 x ，即 2x ；10.
21
2
vv
tv
；11.
3
215
3
15
xx
；提示：等量关系是汽车所用的时
间=自行车所用时间-
3
2 小时；12.
9
41 .
三、13.(1)无解（2）)x= －1；14.6 天，提示；设工程规定日期为 x 天，根据题意得，
13
2
x
x
x
，解得，经检验 6x 是原分式方程的根；15.解：设红方装甲部队的实际行
进速度.为每小时 xkm ，由题意得， .190150
10
150 xx
解这个方程得， 60,40 21 xx ，
经检验 60,40 21 xx 都是原方程的解，但实际条件限制 ,40,50 xx
16.3 分式方程同步测试题 B 卷答案：
一、1.B，提示：有增根说明 01 x 即 1x ，把 1x 代入 ,01 xm 得 2m ，故选
B；2.C，提示：去分母得，A 1234 xBBxAx ，根据恒等的意义得，
134
2
BA
BA
解得
1
1
B
A ；3.B，提示：由已知可得 ,bxa 代入
ba
ba
中；4.D；
二、5. 0.5
1 x当 时， ,5
32
2
1
a
a 解得
5
1a ；6.
21
212
vv
vv
；7.6 或 12，提示：因为方程
有增根，所以这个增根必使公分母 ,0)3)(3( xx 所以 3x ，或 3x ，在原方程的
两 边 都 乘 以 )3)(3( xx ， 去 分 母 得 3)3(2 xxm . 当 3x 时 ，
33)33(2 m ， .6m 当 3x 时 ， 33)33(2 m ， 12m ； 8.
2400 2400 8
1 20%x x
；
三、9. 解：方程两边同乘(x-2)(x+2)，得 x(x+2)-(x2-4)=1，
化简，得 2x=-3，x=
3
2
经检验，x=
3
2 是原方程的根．
10.（1）设乙工程队单独完成建校工程需 x 天，则甲工程队单独完成建校工程需1.5x ，依题
意得：
1 1 1
1.5 72x x
．
解得 120x ，经检验 120x 是原方程的解，1.5 180x ，
所以甲需 180 天，乙需 120 天；
（2）甲工程队需总费用为 0.8 180 0.01 180 145.8 （万元），
设乙工程队施工时平均每天的费用为 m ，则120 120 0.01 145.8m ≤ ，
解得 1.205m≤ ，
所以乙工程队施工时平均每天的费用最多为1.205万元．
11.（1） ;, 21 c
mxcx
（2）结论：方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边与左边形式完全相同，
只是其中的未知数换成了某个常数，这样左边的未知数就等于右边的常数和倒数.
1
2
1
2
aayy 可 变 形 为
1
211
21
aayy ， ∴
1
21,11
ayay 或 ，即
1
1
21
a
ayay 或 ，经检验：
1
1, 21
a
ayay 都是原
方程的解，∴原方程的解为
1
1, 21
a
ayay
17.1 反比例函数课时练第一课时答案：
一、1.D，提示：直接利用定义法判断；2.C，提示：根据条件列出关系式，A 为 2
4
3 as ，
B 为 A=90 -B，C 为
x
sy ，D 为 A=180 -2B，只有选项 C 满足 kx
ky ( 是常数， 0k ）
形式；3.D 4.B；
二、5.-6；6.-2；提示：根据反比例函数的定义得，
01
1132
a
aa 符合条件的是 2a ；
7.
xy 20 ；8.
RI 36 ；9. 体积为 1 500 3cm 的圆柱底面积为 2cmx ，那么圆柱的高 (cm)y
可以表示为 1 500y x
（其它列举正确均可）；
三、11. 由 ,vts 得
vt 100 ，图略（注意 0v ，只画在第一象限即可.
12. 解：设 1
1
ky x
， 2 2 ( 2)y k x ，则 y = 1k
x 2 ( 2)k x － 。
根据题意有：
1 2
1
2
1
53
k k
k k
，解得： 1 3k ， 2 4k ，∴ 3 4 8y xx
当 x＝5 时,y 3 20 85
＝ ＋ － = 312 5 .
17.1 反比例函数课时练第二课时答案：
1. 双曲线，2，二、四，提示：因为-4＜0，所以图象位于二、四象限；2. ,1k 提示：
由图象两支分布在第二、四象限内得到 01k ，即 1k ；3.-6；4.B，提示：先求出反
比例函数的解析式为
xy 18 ，将选项代入解析式，正确的是 B；5.C，提示：又-1＜0，图
象位于二、四象限，又因为 ,0x 所以图象位于第二象限，故选 C；6. .y2＜y3＜y1，提示：
根据反比例函数的性质得到；7. 图①，理由是：粮食产量 a 必为正数，故其图象应在第一、
三象限.人口数量x也为正数,故图象必在第一象限，又xy=a,则其图象应为双曲线的一个分支，
综上，可知 y 与 x 的函数图象必为图①.；8. y=－
x3
2 ；9. y=
x
6 ，提示：设 A 点的坐标（ yx, ），
根据三角形的面积得 6,32
1 xyxy ，所以反比例函数的比例系数为 6k ，所以
xy 6 ；
10.C；11.D；
12. （1）反比例函数，y=
x
6 .（2）该函数性质如下：
①图象与 x 轴、y 轴无交点；
②图象是双曲线，两分支分别位于第二、四象限；
③图象在每一个分支都朝右上方延伸，当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大，当 x＞0 时，y
随 x 的增大而增大.
13. （ 1 ） 把 1, ymx 代 入
xy 3 ， )1,3(,3,13 Amm
， 把 1,3 yx 代 入
xykkkxy 3
1,3
1,13, ，（2）解方程组
1
3,1
3
3
3
1
2
2
1
1
y
x
y
x
xy
xy
，故另一交
点为（-3，-1）；
14. （1）由已知设交点 A（m，6）
3 2 6
3 6
m k
k
m
m
k
4
3
5
y x y x1 23 10 8，
（2）由方程组
3 10
8
x y
x y
得 3 10 8 02x x
x x1 22 4
3
，
由图像可知当 x x y y 2 4
3 0 1 2或 时
15.解：（1）∵点 ( 21)A ， 在反比例函数 my x
的图象上，
( 2) 1 2m ∴ ．∴反比例函数的表达式为 2y x
．
∵点 (1 )B n， 也在反比例函数 2y x
的图象上， 2n ∴ ，即 (1 2)B ， ．
把点 ( 21)A ， ，点 (1 2)B ， 代入一次函数 y kx b 中，得
2 1
2
k b
k b
，
，解得 1
1
k
b
，
．∴一次函数的表达式为 1y x ．
（2）在 1y x 中，当 0y 时，得 1x ．∴直线 1y x 与 x 轴的交点为 ( 1 0)C ， ．
∵线段OC 将 AOB△ 分成 AOC△ 和 BOC△ ，
1 1 1 31 1 1 2 12 2 2 2AOB AOC BOCS S S △ △ △∴ ．
17.1 反比例函数同步测试 A 答案：
一、1.D，提示：三个面积都等于比列系数的一半，故都相等选 D；2. B，提示：利用正比例
函数解析式求出交点的纵坐标为 2，即交点的坐标为（1，2），再代入 ky x
求得 02 k ，
图象位于一、三象限，故选 B；3. B，提示：因为 0m ，即 0,0 mm 两种情况讨论，
当 0m 时，一次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限，所以 B 正确；4.C，
提示：设 A 点的坐标为（ ,a ）（ ,0,0 a ）则 B 点的坐标为（ ,a ）AC= 2 ，BC= a2 ，
所以三角形的面积为 102222
1 aa ；
二、5.-1，提示：根据定义得 1,1,12 22 mmm ，又因为 1,01 mm ，所以
1m ；6.1，2，提示：根据题意得 ,3,03 kk 则满足该条件的正整数 k 的值是 1，2；
7.答案不唯一： ,1k ，提示：由反比例函数的性质可知， 0k ，只要符合 0k 任意
一个即可；8. 100y x
；
三、9. 解：设 1
1
ky x
， 2 2 ( 2)y k x ，则 y = 1k
x 2 ( 2)k x － 。
根据题意有：
1 2
1
2
1
53
k k
k k
，解得： 1 3k ， 2 4k ，∴ 3 4 8y xx
当 x＝5 时,y 3 20 85
＝ ＋ － = 312 5 .
10.（1）
vp 96 ；（2）当 8.0v 时， 120p （千帕）；（3）∵当气球内的气压大于 144
千帕时，气球将爆炸，∴ 144p ，∴ 14496
v
，
3
2
144
96 v （ 3m ）
11. 解：（1） 点 A 横坐标为 4 ，当 4x 时， 2y ．点 A 的坐标为 (4 2)， ．
点 A 是直线 1
2y x 与双曲线 ( 0)ky kx
的交点 4 2 8k ．
（2）解法一：如图 B-11-1，
点C 在双曲线上，当 8y 时， 1x 点C 的坐标为 (18)， ．
过点 A C， 分别做 x 轴， y 轴的垂线，垂足为 M N， ，得矩形 DMON ．
B-11-1
O
x
A
y
D
M
N C
32ONDMS 矩形 ， 4ONCS △ ， 9CDAS △ ， 4OAMS △ ．
32 4 9 4 15AOC ONC CDA OAMONDMS S S S S △ △ △ △矩形 ．
解法二：如图 B-11－2，
过点C A， 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E F， ，
点C 在双曲线 8y x
上，当 8y 时， 1x ．
点C 的坐标为 (18)， ．点C ， A 都在双曲线 8y x
上，
4COE AOFS S △ △ COE COA AOFCEFAS S S S △ △ △梯形 ．
COA CEFAS S △ 梯形 ． 1 (2 8) 3 152CEFAS 梯形 ， 15COAS △ ．
（3） 反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，
OP OQ ， OA OB ．四边形 APBQ 是平行四边形．
1 1 24 64 4POA APBQS S △ 平行四边形 ．
设点 P 横坐标为 ( 0 4)m m m 且 ，得 8( )P m m
， ．
过点 P A， 分别做 x 轴的垂线，垂足为 E F， ，
点 P A， 在双曲线上， 4PQE AOFS S △ △ ．
若 0 4m ，如图 B-11－3，
POE POA AOFPEFAS S S S △ △ △梯形 ，
6POAPEFAS S △梯形 ． 1 82 (4 ) 62 mm
∴ · ．
解得 2m ， 8m （舍去）． (2 4)P ， ．
若 4m ，如图 B-11－4， AOF AOP POEAFEPS S S S △ △ △梯形 ，
6POAPEFAS S △梯形 ． 1 82 ( 4) 62 mm
，
解得 8m ， 2m （舍去）． (81)P ， ．
点 P 的坐标是 (2 4)P ， 或 (81)P ， ．
17.1 反比例函数同步测试题 B 参考答案：
一、1，B；8，A；3，D；4，D；5，A；6，C.
二、7，2；8，－2；9，＜；10，4；11，2；12，2
B-11－2
O x
A
y
B
FE
C
B-11－3
O
A
y
B
F
Q
E
P
x
B-11－4
O x
A
y
B
F EQ
P
三、13，略；14，（1）y＝－ 18
x
，（2）－6；15，y＝－ 1
9
x2+ 6
3x
（x≠－3），16，y
＝2x，y＝ 2
x
；17，y＝ 2
x
，y＝ 1
3
x－ 1
3
；18，（1）设 P（a，
a
2000 ），则 PA＝|
a
2000 |，PB
＝|a|，四边形 PAOB 的面积 S＝PA·PB＝|
a
2000 |·|a|＝（－
a
2000 ）（－a）＝2000，（2）面
积不变.
17.1 反比例函数同步测试题 C 答案：
一、1，A；2，A；3，C；4，C；5，D；6，C.
二、7，k＞0；8，＜ 2
3
、＞ 2
3
；9，4；0，在一、三象限.提示：因为 m2+2m+3＞0，则
a＞0，点 P(1，a)在图象上，则 k＞0；11，答案不唯一，比例系数小于 0；12，一、二、四.
三、13，y＝－ 4
x
，二、四，在每一象限内 y 随 x 的减小而减小，略，点（－3，0），（－3，
－3）都不在图象上；14，y＝－ 9
x
；15，y＝－ 6
x (x＜0)；16，（1）b＞a，（2）a＞b，（3）
在每个象限内，y 随 x 的增大而增大，（4）当位于同一分支上时，y1＜y2，当位于不同分支
上时，y1＞y2；
17，【答案】设 A 点的坐标为（x,y）,由题意得 2x+2y=8,
整理得 y= 4-x 即 A 的坐标为（x,4-x）,把 A 点代入
3 ( 0)y xx
中，解得 x=1 或 x=3
由此得到 A 点的坐标是（1,3）或（3,1）
又由题意可设定直线l 的解析式为 y=x+b（b≥0）
把（1,3）点代入 y=x+b，解得 b＝2
把（3,1）点代入 y=x+b，解得 b=－2，不合要求，舍去
所以直线l 的解析式为 y=x+2
18，y＝－ 6
x
，（2）x＝－3，
17.2 实际问题与反比例函数课时练 A 第一课时答案：
1.（1） ;100)3(;20)2(;400 xhxy 2.D，提示：由题意，得 )0(250 xxy ，故选 D；
3.C，提示：根据面积公式 S=
x
Syxy 2,2
1 ；
4.B
5.V= 3/5;5.9 mkg
，提示：设 V= 5.99.15, kVk ，代入得，由图象得
；
6.解：（1）由于一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y （ )m 是面条的粗细（横截面积）
S（ )2mm 的反比例函数，所以可设 )0( kS
ky ，由图象知双曲线过点（4，32），可得，
,128k 即 y 与 S 的函数关系式为
.
128
Sy
（2）当面条粗 1.6 2mm 时，即当 S=1.6 时， ,806.1
128 y 当面条粗 1.6 2mm 时，面条的总
长度为 80 米.
7.（1）U=IR=4×5=20V，函数关系式是：I= .20
R
（2）当 I=1.5 时，R=4 .；
（3）当 R=10 时，I=2A；
（4）因为电流不超过 10A，由 I= .20
R
可得 2,1020 RR
，可变电阻应该大于等于 2 ..
17.2 实际问题与反比例函数课时练 A 第二课时答案：
1.（1）∵ ,500nS ∴
Sn 500 ，∴ n 与 S 成反比例函数
（2）80×80=0.64（ )2m .当 S=0.64 时， 78225.78164.0
500500
Sn
由于蓝、白两种地板砖数相等，故需这蓝、白两种地板砖各 391 块.
2.（-1，-2）提示：A、B 两点关于原点对称.；3.2；4.2004.5，提示：点在函数图象上，点的
坐标将满足函数关系式，又点 P1，P2，P3，……，的纵坐标将满足 为正整数）nn (12 ，当
,400912005212,2005 nn 即 P2005 的纵坐标为 4009，因为 P2005 在
xy 6 的图
象上，所以 4009= ,6
2005x
所以 ,4009
6
2005 x 即 P2005 的横坐标是
4009
6 ，因为 Q2005 是由 P2005
作 y 轴的平行线得到，可知 Q2005 的横坐标为
4009
6 ，而 Q2005 在函数
xy 3 图象上，所以
5.2004
4009
6
3
2005 y ；
5. ．解：（1） 1600w t
（2） 1600 1600
4t t
1600 1600( 4)
( 4)
t t
t t
2
6400 6400( )
( 4) 4t t t t
．或
6.解（1）画图略，由图象猜测 xy与 之间的函数关系为反比例函数，所以设 )0( kx
ky
把 30,10 yx 代入得：
xyk 300,300 ，将其余各点代入验证均适应，所以 xy与 之
间的函数关系式为： y x
300
（2）把 24y 代入 y x
300 得 5.12x cm
所以当弹簧秤的示数为 24 时，弹簧秤与 0 点的距离是 12.5 cm ，随着弹簧秤与 0 点的距离
不断减小，弹簧秤上的示数不断增大
17.2 实际问题与反比例函数课时练 B 答案：
一、1.B，提示； y 将选项分别代入解析式正确的是 B；2. A，提示：根据反比例函数定义得
到 1422 mm ，解得 13 mm 或 ，由 1,01 mm 即为 ，故选 A；3.D，提示：
由当 x1＜0＜x2 时，有 y1＜y2，得到
2
1,021 mm ，故选 D；4.D，提示：根据反比例函
数的性质求得；5.D。,提示：因为 y 与 x 成反比例函数关系，三角形的底与高都必须大于 0，
所以 x＞0 的图像在第一象限。
6.C，提示：因为 m=ρV，当 V＝30 时，m＝30ρ，故为正比例函数。7.D，提示：其中 S1＝
S2＝S3＝|k|；8.C；9. D；10.C，提示：因为 ,02 k 则- ,02 k ，故在二、四象限，选 C；11.C；
12.C；
二、13. )0(100 xxy ，提示：由于 y 与 x 成反比例，则
x
ky ，当 y =400 时， x =0.25，
所以 10025.0400 k ，又焦距不能为负值，故 )0(100 xxy ；14.二、四，提示：
将点（ )2, nn 代入
x
ky 得 22nk ，又因为 02,0,0 22 nnn ，所以图象在二、
四象限；18.-2，提示：由双曲线经过 A、B 得
2
14
km
k
，解得 m =2，由 baxy 经过 A、
B 得
ba
ba
22
4 解得， ba 2 -2；16. 反比例函数
vt 300 ；17. 0.5；
三、18.根据长方形的面积公式可得其解析式应为 ),0(42 xxy 用描点法画出其图象（略）
19. （1）.由△OAB 的面积为 3，可以求出反比例函数的系数为 6，所以函数解析式为
xy 6
（2）.根据这些条件不足以求出一次函数的关系式。由于点 A 的坐标并不确定，所以无法确
定一次函数中的 m，也就不能确定一次函数的关系式。实际上一次函数与反比例函数的交点
以及坐标原点所构成的三角形的面积应该是一个定值，从这点也可以看出一次函数的解析式
不是唯一的。
20. 1）反比例函数 2）
xy 12 3）近似于 6 与 4 即可
21.（1）设 A、B 两地之间的路程为 s 千米，则 s =75×4=300（千米）
∴ y 与 x 之间的函数关系式是
xy 300 .
（2）当 y =3 时，则有 3= 100,300 xx
，∴返回时车速至少是 100 千米/小时.
22.（1）设
R
UI ，把 R=5，I=2 代入，即可求得 U=10，即 I 与 R 之间的函数关系式 I=
R
10 ；
（2）当 I=0.5 时，0.5= 20,10 RR
（欧姆），因此电阻 R 的值为 20 欧姆..
23.（1）略；（2）设
x
ky ，把 20,3 yx 代入
x
ky 中，得
xyk 60,60 分别把（4，
15）（5，12），（6，10）代入上式均成立；∴ y 与 x 之间的函数关系式是
xy 60 ；
（3）W=（
xxxyx 1206060)2()2 ，当 10x 时，W 有最大值.
第一课时 18.1 勾股定理答案：
1.A，提示：根据勾股定理得 122 ACBC ，所以 AB 222 ACBC =1+1=2；
2.4，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m ，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4 步.
3.
13
60 ，提示：设斜边的高为 x ，根据勾股定理求斜
边为 13169512 22 ，再利用面积法得，
13
60,132
11252
1 xx ；
4. 解：依题意，AB=16 m ，AC=12 m ，
在直角三角形 ABC 中,由勾股定理,
222222 201216 ACABBC ,
所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),
故旗杆在断裂之前有 32 m 高.
5.8
6. 解:如图,由题意得,AC=4000 米,∠C=90°,AB=5000 米,由勾股定理得
BC= 300040005000 22 (米),
所以飞机飞行的速度为 540
3600
20
3 (千米/小时)
7. 解：将曲线沿 AB 展开，如图所示，过点 C 作 CE⊥AB 于 E.
在 R 90, CEFCEFt ，EF=18-1-1=16（ cm ），
CE= )(3060.2
1 cm
，
由勾股定理，得 CF= )(341630 2222 cmEFCE
8. 解：在直角三角形 ABC 中，根据勾股定理，得
2543 22222 ABACBC
在直角三角形 CBD 中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169，所以 CD=13.
第 2 题图
9. 解：延长 BC、AD 交于点 E.（如图所示）
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°又∵CD=3，∴CE=6，∴BE=8，
设 AB= x ，则 AE=2 x ，由勾股定理。得 33
8,8)2( 222 xxx
10. 如图，作出 A 点关于 MN 的对称点 A′，连接 A′B 交 MN 于点 P，
则 A′B 就是最短路线. 在 Rt△A′DB 中，由勾股定理求得 A′B=17km
11.解：根据勾股定理求得水平长为 m12513 22 ，
地毯的总长 为 12+5=17（m），地毯的面积为 17×2=34（ )2m ，
铺完这个楼道至少需要花为：34×18=612（元）
12. 解：如图，甲从上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小时，
走了 12 千米，即 OA=12．
乙从上午 9：00 到上午 10：00 一共走了 1 小时，
走了 5 千米，即 OB=5．
在 Rt△OAB 中，AB2=122 十 52＝169，∴AB=13，
因此，上午 10：00 时，甲、乙两人相距 13 千米．
∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．
18.2 勾股定理的逆定理答案：
一 、 1.C ； 2.C ； 3.C ， 提 示 ： 当 已 经 给 出 的 两 边 分 别 为 直 角 边 时 ， 第 三 边 为 斜 边
= ;10262 22 当 6 为斜边时，第三边为直角边= 2426 22 ；4. C；
二、5.90°提示：根据勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的内角为
90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面积为 .541292
1 7.
直角，提示：
2222222 864182100,1002,100)( cbaabbaba 得 ；8.
13
60 ，提
示 ： 先 根 据 勾 股 定 理 逆 定 理 判 断 三 角 形 是 直 角 三 角 形 ， 再 利 用 面 积 法 求 得
AD 132
15122
1 ；
三、9. 解：连接 AC，在 Rt△ABC 中，
AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5.
在△ACD 中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169，
而 AB2=132=169，
∴ AC2＋CD2=AB2，∴ ∠ACD=90°．
故 S 四边形 ABCD=S△ABC＋S△ACD= 2
1 AB·BC＋
2
1 AC·CD= 2
1 ×3×4＋
2
1 ×5×12=6＋30=36.
10. 解：由勾股定理得 AE2=25，EF2=5，
AF2=20，∵AE2= EF2 +AF2，
∴△AEF 是直角三角形
A
BD
P N
A′
M
第 10 题图
O A
B
11. 设 AD=x 米，则 AB 为（10+x）米，AC 为（15-x）米，BC 为 5 米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，
解得 x=2，∴10+x=12（米）
12. 解：第七组， .1131112,112)17(72,15172 cba
第 n 组， 1)1(2),1(2,12 nncnnbna
19.1 平行四边形课时练
课时一答案：
一、1.B，提示：平行四边形的两邻角的和为 180°，所以它们的角平分线的夹角为 90°；
2.B，提示：设相邻两边为 ,, ycmxcm 根据题意得
2
12
yx
yx ，解得
5
7
y
x ；3. B，提示：
根据平行四边形的性质对角相等得∠D＝∠ABC=120°，邻角互补得∠CAB+∠CAD+∠D=180°，
则∠CAB=180°-32°-120°=28°；4. D，提示：根据平行四边形的对角相等，得对角的比值相
等故选 D；5.A；6.B，由题意得∠A=60°，根据平行四边形的邻角互补，得∠B=180°-60°=120°；
二、7.3 个即四边形 ABCB′，C′BCA，ABA′C 都是平行四边形；8.24 ，CD=12；9.100°，
提示：先求出对角为100°，另一组对角为80°，所以较大的为100°；10.45°，135°，45°，135°
11.4；15.70°，提示：根据平行四边形的对角互补得∠B=∠ADC=110°，则∠FDC=70°，再根据三
角形的外角等于其不相邻的两个角的和，故为∠E+∠F=70°；
三、13. 证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠D=180°,又∵∠A＝∠C,∴∠C+∠D=180°,
∴AD∥CB, ∴四边形 ABCD 是平行四边形..
14.解:在□ABCD 中, ∠A＝∠C,
又∵∠A+∠C=160°∴∠A＝∠C=80°
∵在□ABCD 中 AD∥CB,∴∠A+∠B=180°,
∴∠B＝∠D=180°-∠A=180°-80°=100°
15. 解：∵ ABCD,∴BC=AD=12,CD=AB=13，OB= 2
1 BD
∵BD⊥AD,∴BD= 22 ADAB = 22 1213 =5
∴OB= 2
5
16. AE=CF；证明∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AF∥CE，又∵AE∥CF
∴四边形 AECF 为平行四边形，AE=CF；
课时二答案：
1. 10＜x＜22，提示：根据三角形的三边关系得 112
15 x ，解得 2210 x ；2. B；3.
BC=AD=4.8；4.A；提示：根据面积法求出邻边的比为 3∶2，则邻边为 7.5，5，则面积为 7.5
×2=15 cm 2 ；
5. 证明：∵ ABCD,∴OA=OC,DF∥EB∴∠E=∠F,又∵∠EOA=∠FOC
∴△OAE≌△OCF,∴OE=OF；
6. OE=OF, 在□ABCD 中，OB=OD，∵BE⊥AC，DF⊥AC∴∠BEO＝∠DFO，
又∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴OE=OF.
7.D，提示：因为平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的 4 个小三角形，所以平
行四边形的面积为 4；8.C，提示：根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边，若 yx ，则
1222
1222
yx
yx
，所以符合条件的 yx, 可能是 18 与 20；9.30 2cm ；10.8;
11.证明：∵DE∥AB，DF∥AC
∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴DF=AE，又∵DE∥AB，∴∠B=∠EDC，又∵AB=AC,∴∠B=
∠C，∴∠C=∠EDC，∴DE=CE，∴DF+DE=AE+CE=AC=AB.
12. 解：（1）有 4 对全等三角形．
分别为△AMO≌△CNO，△OCF≌△OAE，△AME≌△CNF，△ABC≌△CDA．
（2）证明：∵OA=OC，∠1=∠2，OE=OF，
∴△OAE≌△OCF，∴∠EAO=∠FCO．
在ABCD 中，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，∴∠EAM=∠NCF．
课时三答案：
一、1.C；2.B，提示：AD∥BC，添加条件①③④能使四边形 ABCD 成为平行四边形;3.C；4.B；
二、5. AD=BC（或 AB∥CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D）；6.30°，6，9；7.对角线互相平分；8. 3；
三、9.在 ABCD 中，AD=CB,AB=CD,∠D＝∠B，∵E、F 分别为 AB、CD 的中点，∴DF=BE，
又∵AB∥CD，AB=CD，∴AE=CF，∴四边形 AECF 是平行四边形.
10. 证明：∵ ABCD
∴AB=CD,AB∥CD
∴∠1=∠2
AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AEB=∠CFD=90°,AE∥CF
∴△AEB≌△CFD,∴AE=CF
∴AECF 为平行四边形
11. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD
又∵AE=CF，∴OE=OF
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
12. 猜想： BE DF∥ ， BE DF
证明：
证法一：如图第 12－1．
四边形 ABCD 是平行四边形．
BC AD 1 2
又 CE AF
BCE DAF△ ≌△
BE DF 3 4
BE DF ∥
证法二：如图第 12－2．
连结 BD ，交 AC 于点O ，连结 DE ， BF ．
四边形 ABCD 是平行四边形
A
B C
D
E
F
第 12-2
Ｏ
A
B C
D
E
F
第 12-1
2
3 4
1
BO OD ， AO CO
又 AF CE
AE CF
EO FO
四边形 BEDF 是平行四边形
BE DF ∥
课时四答案：
1.C;2.D，提示：根据三角形中位线的性质定理： ;2
1,2
1
DEFLMNABCDEF LLLL 3.26
或 22，提示：当两腰上的中位线长为 3 时，则底边长为 6，腰长为 10，三角形的周长为 26，
当两腰上的中位线长为 5 时，则底边长为 10，腰长为 6，三角形的周长为 22；4.平行四边形 ；
5.平行四边形；
6.证明：(1)∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB∥CF．
∴∠1=∠2，∠3=∠4 ∵E 是 AD 的中点，∴ AE=DE．
∴△ABE ≌△DFE．
(2)四边形 ABDF 是平行四边形．∵△ABE ≌△DFE
∴AB=DF 又 AB∥CF．∴四边形 ABDF 是平行四边形．
7.解：∵BA∥DE，BD∥AE，∴四边形 ABDE 是平行四边形
∴AB=DE，BD=AE，又 EF=FC 且 AF∥BC，EC⊥BC，∴DE=DC，
∴EA+AE+EF=BD+DC+CF，∴二人同时到达 F 站.
8.证明：(1)∵BD=CD，∴∠BCD=∠1．∵ ∠l=∠2，∠BCD=∠2．∴CD∥AB．
(2) ∵ CD∥AB ∴∠CDA=∠3．
∠BCD=∠2=∠3．且 BE=AE．且∠CDA=∠BCD．∴DE=CE．
在△BDE 和△ACE 中， DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE．∴△BDE≌△ACE
(3) ∵△BDE≌△ACE
∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°．
∴∠ACH=90°一∠BCH
又 CH⊥AB，．∴ ∠2=90°一∠BCH
第 1 题图
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4．AF=CF
∵∠AEC=90°一∠4，∠ECF=90°一∠ACH
∠ACH=∠4 ∠AEC=∠ECF．CF=EF．∴ EF=AF
O 为 AB 中点，OF 为△ABE 的中位线 ∴OF= 1
2 BE
9. 线段 AC 与 EF 互相平分.理由是：∵四边形 ABCD 是平行四边形.
∴AB∥CD,即 AE∥CF，AB=CD，∵BE=DF，∴AE=CF
∴四边形 AECF 是平行四边形，
∴AC 与 EF 互相平分.
10.是平行四边形,△AOE≌△COF.
11 是平行四边形，四边形 AMCN、BMDN 是平行四边形.
19.1 平行四边形同步测试题 A
(A)参考答案:
一、1.D 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B 7.C 8.D
二、1.125°，55°，125°，55°; 2. 5, 5; 3. 3; 4. 12cm ; 5.12, 8; 6.1; 7.20; 8.
BE=DF．（或∠BAE=∠CDF 等）.
三、1. 解：因为
△
AOB 的周长为 25，
所以 OA+BO+AB=25，
又 AB=12，所以 AO+OB=25-12=13，
因为平行四边形的对角线互相平分，所以 AC+BD=2OA+2OB=2(0A+OB)=2×13=26
2. 解:因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 AD//BC,
因为点 E 在 AD 上,点 F 在 BC 上,
所以 AE//CF,
又因为 AE=CF,
所以四边形 AFCE 是平行四边形.
3. 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AO=CO= 2
1 AC，OB=OD．
因为 BD⊥AB，所以在 Rt△ABO 中，AB=12cm，AO=13cm．
所以 BO= 522 ABAO ．所以 BD=2B0=10cm．
所以在 Rt△ABD 中，AB=12cm，BD=10cm．
所以 AD= 61222 BDAB (cm)．
4. （1）因为 DF∥BE， 所以∠AFD＝∠CEB． 又因为 AF=CE， DF=BE，
所以
△
AFD≌⊿CEB．
（2）由(1)
△
AFD≌⊿CEB 知 AD=BC，∠DAF＝∠BCE ， 所以 AD∥BC ，
所以四边形 ABCD 是平行四边形．
(B)参考答案:
一、1. B 2.B 3.C 4.D
二、1.8cm; 2.3; 3.2; 4.7
三、1. (1)∠DAB=∠DCB 且∠ADC=∠ABC（或两组对角分别相等）；
(2)AB=CD 且 AD=BC（或两组对边分别相等）；
(3)OA=OC 且 OD=OB（或 O 是 AC 和 BD 的中点；或 AC 与 BD 互相平分；或对角线互
相平分）；
(4)AD//BC 且 AD=BC（或 AB//DC 且 AB=DC；或一组对边平行且相等）．
(5) AB//CD 且∠DAB=∠DCB（或一组对边平行且一组对角相等）
2. 设计的方案如图所示，可分别取 AB、AC 边的中点 D、E，连接 DE，过点 C 作 CF∥AB，
交 DE 的延长线于 F，把
△
ABC 切割后，补在
△
CFE 的位置上，就可焊接成□BCFD．理由如
下：
因为 E 是 AC 的中点， 所以 AE=CE.
因为 CF∥AB， 所以∠ADF＝∠F．
又因为∠AED＝∠CEF， 所以
△
ADE≌△CFE, 所以 AD=CF．
因为 D 是 AB 的中点, 所以 AD=BD，故 BD=CF，
又因为 CF∥AB，所以四边形 BCFD 是平行四边形．
3. ①设 AE=CF,如图(1),
已知□ABCD,AE=CF(补充条件)
求证:四边形 EBFD 是平行四边形(提出结论)
证明:连结 BE、FD，
在□ABCD 中，AD//BC，AD=BC，
又 AE=CF，
所以 ED//BF，ED=BF (1) (2)
所以四边形 EBFD 是平行四边形.
②设 AE=BF.如图(2),
已知□ABFE 是平行四边形,AE=BF(补充条件)
求证:四边形 ABFE 是平行四边形.
证明:连结 EF.
因为四边形 ABCD 是平行四边形,
所以 AD//BC,AE//BF,
又 AE=BF,
所以四边形 ABEF 是平行四边形
19.1 平行四边形同步测试题 B 答案：
一、填空题 1. 122°，1.5cm 2. 3, □AEDF □BDEF □DCEF 3. 边 DC,△CDA,180°
4. 平行四边 5. 平行四边形 6. 10
二、选择题 7.A 8.D 9.B 10.C 11.B 12.B 13.D 14.C
三、15. 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AD∥BC, AD∥BC
又因为 AE=CF,所以 ED=FB,四边形 AFCE 是平行四边形
所以 AF∥EC．同理：BE∥FD．所以四边形 MFNE 是平行四边形．
16. 我认为她说的对．理由略．
17. 能实现．如图：□EFGH 是要求的图形
E
A
B
C
D
H
G
F
19.2 特殊的平行四边形课时练
课时一答案：
1.C；2.D，提示：由勾股定理求得斜边为： 13512 22 ，斜边的中线长为 5.62
13 ；3.18，
提示：AB=5,BC=12,AC=13, cmACABOBOAABL ABO 18513 ；4. A，提
示：DE=3,AB=AE=6,在直角三角形 ADE 中，∠DAE=30 ，由折叠的性质得∠BAF=∠EAF=30,设
BF= x ，则 AF=2 x ， 342,32,364 22 xAFxxx ；5.3；6.14；
7 证明：∵四边形 ABCD 为矩形,∴AC=BD,BO=CO,
∵ BE AC , CF BD ,∴∠BEO=∠CFO=90 ,又∵∠BOE=∠COF
则 BOE COF ∴BE=CF
8.连接 AC、BD，AC 与 BD 相交于点 O，连接 OE
在□ABCD 中，AO=OC,BO=DO. 在 DEBRt 中，OE= BD2
1 ,
在 AECRt 中，OE= AC2
1 ,∴BD=AC, ∴□ABCD 为矩形.
9. 猜想结果：图 2 结论 S△PBC=S△PAC+S△PCD； 图 3 结论 S△PBC=S△PAC-S△PCD
证明：如图 2，过点 P 作 EF 垂直 AD，分别交 AD、BC 于 E、F 两点．
∵ S△PBC=1
2
BC·PF=1
2
BC·PE+1
2
BC·EF
=1
2
AD·PE+1
2
BC·EF=S△PAD+1
2
S 矩形 ABCD
S△PAC+S△PCD=S△PAD+S△ADC=S△PAD+1
2
S 矩形 ABCD
∴ S△PBC=S△PAC+S△PCD
10. (1)证明：∵MN∥BC，∴∠BCE=∠CEO 又∵∠BCE=∠ECO
∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC,同理 OC=OF，∴OE=OF
(2)当 O 为 AC 中点时，AECF 为矩形，∵EO=OF(已证)，OA=OC
∴AECF 为平行四边形，又∵CE、CF 为△ABC 内外角的平分线
∴∠EOF=90°，∴四边形 AECF 为矩形
课时二答案：
1. B；2. C; 3.答案不唯一： AB AD AC BD ， 等；4.5；5.C；6.24，提示：由已知得菱形
一 边 长 为 5 cm ， 由 菱 形 的 对 角 线 互 相 平 分 且 垂 直 ， 所 以 另 一 条 对 角 线 的 长 为
)(632452 22 cm ，∴S 菱= )(24682
1 2cm ；7.①②⑥或③④⑤或③④⑥；
8.四边形 AEDF 是菱形，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAF，
∵AD 是△ABC 的角平分线，
∴∠DAE＝∠DAF，∴∠ADE=∠DAE，∴AE=ED.
又∵DE∥AC，DF∥AB
∴四边形 AEDF 是平行四边形，∴平行四边形 AEDF 是菱形.
9. □AFCE 是菱形，△AOE≌△COF，四边形 AFCE 是平行四边形，EF⊥AC
10.. 解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．
∵点 E 、F 分别是 AB、CD 的中点，∴AE＝
2
1 AB ，CF＝
2
1 CD ．
∴AE＝CF ．∴△ADE≌△CBF ．
（2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC ．
∵AG∥BD ，∴四边形 AGBD 是平行四边形．
∵四边形 BEDF 是菱形，
∴DE＝BE ．∵AE＝BE ，
∴AE＝BE＝DE ．
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．
∴∠2＋∠3＝90°．
即∠ADB＝90°．
∴四边形 AGBD 是矩形．
课时三答案：
1.A；2.A; 3.∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°中的任一条件即可;4. D；5. 3 2 ；
6. 1
32
;7.105;
8.证明：(1)∵四边形 ABCD 是正方形.∴BC=DC，∠BCD=90°
在 Rt△BCE 和 Rt△DCF 中，BC=DC，CE=CF,∴Rt△BCE≌Rt△DCF
(2)∵CE=CF，∴∠CEF=∠CFE,∴∠CFE= 2
1 (180°－90°)=45°
∵Rt△BCE≌Rt△DCF,∴∠CFD=∠BEC=60°
∴∠EFD=∠DFC－∠EFC=15°
9. (1) 证明： 如图，∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o，
又 ∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE，
∴
△
ADE≌△CDG． ∴ AE=CG．
（2）猜想： AE⊥CG．
证明： 如图，
设 AE 与 CG 交点为 M，AD 与 CG 交点为 N．
∵
△
ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG．
又∵ ∠ANM=∠CND， ∴
△
AMN∽△CDN．
∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG．
10. 解： HG HB ．
证法 1：连结 AH ，
∵四边形 ABCD ， AEFG 都是正方形．
90B G °．
由题意知 AG AB ，又 AH AH ．
Rt Rt ( )AGH ABH HL △ ≌ △ ，
HG HB∴ ．
证法 2：连结GB ．
∵四边形 ABCD AEFG， 都是正方形，
90ABC AGF ∴ °．
由题意知 AB AG ．
AGB ABG ∴ ．
HGB HBG ∴ ．
HG HB∴ ．
11. 解：（1）连结 DF．
因为点 E 为 CD 的中点，所以 1
2
EC EC
AB DC
．
据题意可证△FEC∽△FBA，所以 1
4
CEF
ABF
S
S
． （2 分）
因为 S△DEF=S△CEF，S△=S． （2 分）
所以 4
5
AEF AEF
ADF DEFADEF
S S
S S S
四边形
．
（2）连结 DF．
与（1）同理可知， CEF
ABF
S
S
= 4
9
，S△DEF= 1
2 S△CEF， ADF ABFS S ，
所以 ABF ABF
ADEF DEF ADF
S S
S S S
= 9
11
．
（3）当 CE：ED=3：1 时，=16
19
．
D C
A B
G
H
F
E
（第 10 题）
D C
A B
G
H
F
E
（第 10 题）
当 CE：ED=n：1 时， =
2
2
( 1)
( 1)
n
n n
（=
2
2
2 1
3 1
n n
n n
）．
（4）提问举例：①当点 E 运动到 CE：ED=5：1 时，△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比是
多少？
②当点 E 运动到 CE：ED=2：3 时，△ABF 与四边形 ADEF 的面积之比是多少？
③当点 E 运动到 CE：ED=m：n（m，n 是正整数）时，△ABF 与四边形 ADEF的面积之比
是多少？
19.3 梯形同步测试题答案
一、1.B 2.A 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.D 9. A 10.B
二、11. 135°; 12. BD，∠CDA，∠ABC，等腰梯形的对角线相等，等腰梯形同一底上的
两个角相等; 13. 3; 14. ∠B=∠C 等; 15.2; 16.30°; 17.15; 18.②④. 19.108°；20. 8
5
㎝
三、21. 解:因为 ABCD 是等腰梯形,AD=3cm,BC=5cm,过点 A 作 AE⊥BC 于 E,
因为∠B=45°,∠BAE=45°,所以 BE=AE,BE=
2
1 (5-3)=1,所以 AE=1,所以
S 梯形 ABCD=
2
1 (5+3)×1=4(cm2).
22. 解：因为 AB//CD，DC=AD=BC，所以∠1=∠2，∠1=∠3，∠DAB=∠B，
所以∠1=∠2=∠3，
所以∠B=∠DAB=∠2+∠3=2∠2，
又 AC⊥BC，所以∠2+∠B=90°，所以∠B=60°，
所以∠DAB=60°，∠ADC=∠BCD=120°.
23. 证明:因为 AB//CD,BE=DC,且 BE 在 AB 的延长线上,所以 CD//BE,CD=BE,所以四边形
DBEC 是平行四边形,所以 CE=DB,
因为 AD=BC,所以梯形 ABCD 是等腰梯形,所以 AC=BD,
所以 AC=CE.
24.过点 A 作 AE//DC 交 BC 与 E,]
∵AD//BC，四边形 AEDC 是平行四边形．
∴EC=AD=3，DC=AE，∴BE=BC-CE=7-3=4．
∵等腰梯形两腰相等，∴AB=CD=4,
∴AE=AB=BE=4，∴
△
ABE 是等边三角形，∴∠B=60º．
25.选第一种铝板，最多能剪甲、乙两种零件 2 个，共计 4 个.
剩余边角料面积=500×300－（100+300）×200－（100+300）×150=10000 ㎜ 2
八年级数学（下册）知识点总结
十六章：二次根式
1.二次根式：式子 a （ a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次
根式。
4.二次根式的性质：
（1）（ a ）2= a （ a ≥0）；（2） aa 2
5.二次根式的运算：
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可
以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，
变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到
根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的
积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
ab = a · b （a≥0，b≥0）；
b b
a a
（b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配
律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
十七章：勾股定理
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
那么 a2＋b2=c2。
应 用 ：（ 1 ） 已 知 直 角 三 角 形 的 两 边 求 第 三 边 （ 在 ABC 中 ， 90C ， 则
2 2c a b ， 2 2b c a ， 2 2a c b ）
a （ a ＞0）
a （ a ＜0）
0 （ a =0）；
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长 a,b,c 满足 a2＋b2=c2，那么这个三角
形是直角三角形。（应用：判定一个三角形是否是直角三角形的重要方法。）
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，
那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
4.勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 2 2 2a b c 中，a ，b ，
c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5； 6,8,10；5,12,13； 7,24,25
等
5.直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90° ∠A+∠B=90°
（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
可表示如下： ∠A=30°
BC=
2
1 AB
∠C=90°
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
可表示如下： ∠ACB=90°
CD=
2
1 AB=BD=AD
D 为 AB 的中点
6．常用关系式
由三角形面积公式可得：AB CD=AC BC
7．直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么
这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有关系 222 cba ，
那么这个三角形是直角三角形。
8．命题、定理、证明
1、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子；
（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
2、命题的分类（按正确、错误与否分）
真命题（正确的命题）：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
命题
假命题（错误的命题）：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
3、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
4、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
5、证明命题的一般步骤
（1）根据题意，画出图形。
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
9．三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
10.数学口诀.
平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式
相混淆。
完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中
央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。
十八章：平行四边形
1．四边形的内角和与外角和定理：
（1）四边形的内角和等于 360°；
（2）四边形的外角和等于 360°.
2．多边形的内角和与外角和定理：
（1）n 边形的内角和等于(n-2)180°；
（2）任意多边形的外角和等于 360°.
3．平行四边形的性质：
因为四边形 ABCD 是平行四边形
.5
4
3
2
1
）邻角互补（
）对角线互相平分；（
）两组对角分别相等；（
）两组对边分别相等；（
）两组对边分别平行；（
4.平行四边形的判定：
是平行四边形
）对角线互相平分（
）一组对边平行且相等（
）两组对角分别相等（
）两组对边分别相等（
）两组对边分别平行（
ABCD
5
4
3
2
1
.
5.矩形的性质：
因为四边形 ABCD 是矩形
.3
;2
;1
）对角线相等（
）四个角都是直角（
有通性）具有平行四边形的所（
6. 矩形的判定：
边形）对角线相等的平行四（
）三个角都是直角（
一个直角）平行四边形（
3
2
1
四边形 ABCD 是矩形.
A
B C
D
1 2
3
4
A
B C
D
A B
D
O
C
A B
D
O
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
7．菱形的性质：
因为四边形 ABCD 是菱形
.3
2
1
角）对角线垂直且平分对（
）四个边都相等；（
有通性；）具有平行四边形的所（
8．菱形的判定：
边形）对角线垂直的平行四（
）四个边都相等（
一组邻边等）平行四边形（
3
2
1
四边形四边形 ABCD 是菱形.
9．正方形的性质
因为四边形 ABCD 是正方形
.3
2
1
分对角）对角线相等垂直且平（
角都是直角；）四个边都相等，四个（
有通性；）具有平行四边形的所（
CD
A B （1） A B
CD
O
（2）（3）
10．正方形的判定：
一组邻边等矩形）（
一个直角）菱形（
一个直角一组邻边等）平行四边形（
3
2
1
四边形 ABCD 是正方形.
(3)∵四边形 ABCD 是矩形 且 AD=AB
∴四边形 ABCD 是正方形
11．等腰梯形的性质：
因为四边形 ABCD 是等腰梯形
.3
2
1
）对角线相等（
；）同一底上的底角相等（
两底平行，两腰相等；）（
12．等腰梯形的判定：
对角线相等）梯形（
底角相等）梯形（
两腰相等）梯形（
3
2
1
四边形 ABCD 是等腰梯形
C
D
B
A O
C
D
B
A O
A
B C
D
O
CD
A B
(3)∵四边形 ABCD 是梯形且 AD∥BC
又∵AC=BD
∴四边形 ABCD 四边形是等腰梯形
14．三角形中位线定理：
三角形的中位线平行第三边，
并且等于它的一半.
∵DE 是△ABC 的中位线
∴DE∥BC，DE=
2
1 BC
15．梯形中位线定理：
梯形的中位线平行于两底，并
且等于两底和的一半.
附：一、 公式：
1．S 菱形 =
2
1 ab=ch.（a、b 为菱形的对角线 ,c 为菱形的边长 ，h 为 c 边上的
高）
2．S 平行四边形 =ah. a 为平行四边形的边，h 为 a 上的高）
3．S 梯形 =
2
1 （a+b）h=Lh.（a、b 为梯形的底，h 为梯形的高,L 为梯形的中位
线）
二、常识：
1．若 n 是多边形的边数，则对角线条数公式是： 2
)3n(n
.
2．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
3．常见图形中，仅是轴对称图形的有：
角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ……
注意：线段有两条对称轴.
十九章：一次函数
一.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做 变量 ；数值始终不变的量叫做
常量 。
二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x
的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，
y 是 x 的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法（即有意义）：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
E F
D
A B
C
ED
CB
A
A
B C
D
O
平行四边形
矩
形
菱
形
正
方
形
（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为 0 的一切实数。
（3）用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。
用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一
切实数。
（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再
求其公共范围，即为自变量的取值范围。
（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
四、 函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对
应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是
这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。
2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点。
3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。
六、函数有三种表示形式： （1）列表法 （2）图像法 （3）解析式
法
七、正比例函数
1、定义：一般地，形如 y=kx(k 为常数，且 k≠0)的函数叫做正比例函数.其
中 k 叫做比例系数。
特征：（1）k 为常数，且 k≠0 ； （2）自变量的次数是 1
(3)自变量的取值范围为全体实数。
2、图象:
（1)正比例函数 y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，
我们称它为直线 y= kx 。必过点：（0，0）、（1，k）
(2)性质:当 k>0 时,直线 y= kx 经过第三，一象限，从左向右上升，即随着 x
的增大 y 也增大；当 k<0 时,直线 y= kx 经过二,四象限，从左向右下降，即随
着 x 的增大 y 反而减小。
八、一次函数
1、定义：一般地，形如 y=kx+b(k,b 为常数，且 k≠0)的函数叫做一次函数.
当 b =0 时,y=kx+b 即为 y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
特征： （1） k 不为零 ； （2）x 指数为 1
（3） 自变量的取值范围为全体实数； （4）b 取任意实数
2、图象：
（1）一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-
k
b ，0）两点的一条直线，
我们称它为直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当
b>0 时，向上平移；当 b<0 时，向下平移）
（2）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；
当 b<0 时，将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位.
（3）必过点：（0，b）和（-
k
b ，0）
（4）一次函数 y=kx＋b 的图象的画法.
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点
确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.
b>0 b<0 b=0
k>0
过第一、二、三象限 过第一、三、四象限 过第一、三象限
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大
k<0
过第一、二、四象限 过第二、三、四象限 过第二、四象限
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
九、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得
到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.
十、当直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 平行时，k1=k2 且 b1 b2
十一、一次函数与方程、不等式
1. 一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看 x 为何值时函数 y= ax+b 的值
为 0．
2. 求 ax+b=0(a, b 是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线 y= ax+b
与 x 轴交点的横坐标
3. 一次函数与一元一次不等式：
解不等式 ax+b＞0(a，b 是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x 为何值时函数
y= ax+b 的值大于 0．
4. 解不等式 ax+b＞0(a，b 是常数，a≠0) ． 从“形”的角度看，求直线 y= ax+b
在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．
5.一次函数与二元一次方程组：
解方程组
从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等．并求出这个函数
值
解方程组 从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.
二十章 ：数据的分析
数据的代表：平均数、众数、中位数、极差、方差
1.平均数：
（1）算术平均数：一组数据中，有 n 个数据 nxxx ，，， 21 ，则它们的算术平
均数为
n
xxxx n 21 .
（2）加权平均数：
若在一组数字中， x1
的权为 w1
， x2
的权为 w2
，…， xn
的权为 wn
，那么
www
wxwxwx
n
nnx
21
2211 叫做 x1
，x2
，… xn
的加权平均数。
其中， w1
、 w2
、…、 wn
分别是 x1
， x2
，… xn
的权.
权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。
2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的
个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是
偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。
4.平均数中位数众数的区别与联系
相同点：平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来
描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作为一
组数据的代表。
不同点：
1）、代表不同
平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体 “平均水平”。
cba
cba
yx
yx
222
111
cba
cba
yx
yx
222
111
中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组
数据的“中等水平”。
众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。这三个
统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般水平
的代表。
2）、特点不同
平均数：与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变
动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。
中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数
据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。
众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只
与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响,其缺点是具有不惟一性，一
组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有 。
3）、作用不同
平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数
据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平
均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用
最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。
中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但
当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就
比较合适。
众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。
在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此
时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。
5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极差反
映的是数据的变化范围。
6.方差：设有 n 个数据 nxxx ，，， 21 ，各数据与它们的平均数的差的平方分别
是 2
2
2
1 )()( xxxx ， ，…， ，，2)( xxn 我们用它们的平均数，即用“先平均，
再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，
这个结果叫方差，计算公式是
])()()[(1 22
2
2
1
2 xxxxxxnS n
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。
方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
标准差：方差的算术平方根，即
22
2
2
1
1 xxxxxxnS n
