备战2012中考 矩形菱形正方形精华试题汇编300套

备战2012中考 矩形菱形正方形精华试题汇编300套

A B CD M P 第 4 题图 备战 2012 中考：矩形菱形正方形精华试题汇编（300 套） 一 选择题 1、(2011 浙江杭州模拟 14)下列命题中的真命题是( ). A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形 答案：C 2、(2011 浙江杭州模拟 16)下列图形中，周长不是 32 的图形是（ ） 答案：B 3.(2011 浙江省杭州市 8 模)如图，ABCD、CEFG 是正方形，E 在 CD 上，直线 BE、DG 交于 H， 且 HE·HB＝ 4 2 2 ，BD、AF 交于 M，当 E 在线段 CD（不与 C、D 重合）上运动时，下 列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD 所夹的锐角为 45°；③ GD= 2AM ；④ 若 BE 平 分∠DBC，则正方形 ABCD 的面积为 4。其中正确的结论个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案:D 4、（2011 年黄冈中考调研六）矩形 ABCD 中， 1AB  ， 2AD  ，M 是CD 的中点，点 P 在矩形的边上沿 A B C M   运动，则 APM△ 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的 函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） 答案 A 5、（2011 年浙江杭州三模） 如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一直线上，P 是 M H G F E D C B A 第 3 题图 1 1 2 3 3.5 x y O A． 1 1 2 3 3.5 x y O B． 1 1 2 3 3.5 x y O 1 1 2 3 3.5 x y O DC 第 5 题图 M H G F E D C B A 丙 丙 甲 乙 乙 甲 线段 DF 的中点，连结 PG，PC。若∠ABC=∠BEF =60°，则  PC PG （ ） A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 3 3 答案：B 6、（2011 年浙江杭州八模）如图，ABCD、CEFG 是正方形，E 在 CD 上，直线 BE、DG 交于 H， 且 HE·HB＝ 4 2 2 ，BD、AF 交于 M，当 E 在线段 CD（不与 C、 D 重合）上运动时，下列四个结论：① BE⊥GD；② AF、GD 所 夹的锐角为 45°；③ GD= 2AM ；④ 若 BE 平分∠DBC，则正 方形 ABCD 的面积为 4。其中正确的结论个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案：D B 组 1. （2011 浙江慈吉 模拟）如图, 将一个正方体分割成甲、乙、丙三个长方体, 且三个长 方体的长和宽均与正方体的棱长相等; 若已知甲、乙、丙三个长方体的表面积之比为 2∶3∶ 4, 则它们的体积之比等于（ ） A. 2∶3∶4 B. 2∶5∶7 C. 1∶10∶23 D. 1∶6∶11 答案：D 2、（2011 北京四中一模）下列命题中，真命题是( ) (A)有两边相等的平行四边形是菱形 (B)有一个角是直角的四边形是矩形 (C)四个角相等的菱形是正方形 (D)两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 3（2011 深圳市中考模拟五）下列命题中，真命题是（ ） Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形 Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 答案：D 4. （2011 深圳市全真中考模拟一）如图，顺次连结圆内接矩形各 边的中点，得到菱形 ABCD，若 BD＝10，DF＝4，则菱形 ABCD 的边 长为 （第 6 题） 第 1 题图 A D C E F O B (A)4 2 ． (B)5 2 (C)6． (D)9． （第 4 题） 答案：D 5.（安徽芜湖 2011 模拟）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正 方形 ''' DCAB ，边 ''CB 与 DC 交于点 O，则四边形 ODAB' 的周长．．是 （ ） A． 22 B．3 C． 2 D． 21 答案: A 6.（浙江杭州金山学校 2011 模拟）（原创）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下 一个角，为了得到一个锐角为 60 的菱形，剪口与折痕所成的角 的度数应为（ ▲ ） A．15 或 30 B．30 或 45 C．45 或 60 D．30 或 60 答案：D 7.（浙江杭州金山学校 2011 模拟）（引黄冈市 2010 年秋期末考试九年级数学模拟试题） 正方形 ABCD 、正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示，点 G 在线段 DK 上，正方形 BEFG 的边长为 4，则 DEK△ 的面积为（ ） Ａ、10 Ｂ、12 Ｃ、14 Ｄ、16 答案：D 8.（河南新乡 2011 模拟）如图，菱形 ABCD 的周长为 40cm，DE AB ，垂足为 E ， 3sin 5A  ， 则下列结论正确的有（ ） ① 6cmDE  ② 2cmBE  ③菱形面积为 260cm ④ 4 10 cmBD  Ａ．1个 Ｂ． 2 个 Ｃ．3 个 Ｄ． 4 个 答案：C 9.（浙江杭州进化 2011 一模）下列命题中的真命题是( ). A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形 答案:C 10、（2011 年黄冈市浠水县）如图所示，将边长为 8cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落 在 BC 中点 E 处，点 A 落在 F 处，折痕为 MN，则线段 CN 的长是… （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答案：B 11、（2011 年北京四中 33 模）如图，四边形 ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需 要添加的条件是（ ） A．AB=CD B. AD=BC C. AB=BC D. AC=BD 答案 C 12．（2011 年杭州市上城区一模）如图，顺次连结圆内接矩形各边 的中点，得到菱形 ABCD，若 BD＝6，DF＝4，则菱形 ABCD 的边长为（ ） A.4 2 B.3 2 C.5 D.7 答案：D 13．（2011 年杭州市上城区一模）已知下列命题：①若 0 0a b ， ，则 0a b  ；②若 2 2a b ，则 a b ；③角平分线上的点到这个角的两边距离相等；④平行四边形的对角线 A B C D A B C DE FO 第 12 题） 互相平分；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的 是（ ） A. ① ③④ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ②③⑤ 答案：C 14. （2011 年杭州市模拟）如图，矩形的长与宽分别为 a 和 b ，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下 底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一 个没有空隙的圆柱，则 a 和b 要满足的数量关系是 A. 12 1  b a B. 12 2  b a C. 22 1  b a D. 1 2  b a 答案：D 15. （2011 年海宁市盐官片一模）如图所示，正方形 ABCD 的面积 为 12， ABE△ 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角 线 AC 上有一点 P ，使 PD PE 的和最小，则这个最小值为 （ ） A． 2 3 B． 2 6 C．3 D． 6 答案：A 二 填空题 1、(2011 浙江杭州模拟 16)同学们在拍照留念的时候最喜欢做一个“V”字型的动作。我们 将宽为 cm2 的长方形如图进行翻折，便可得到一个漂亮的“V”。如果“V”所成的锐角为 600， 那么折痕 AB 的长是 。 答案： 3 34 2.（2011.河北廊坊安次区一模）如图 6，菱形 ABCD 的对角线相交于点O， 请你添加一个条件： ，使得该菱形为正方形． 第 14 题 A D E P B C 第 15 题图） …… 答案: 定义或判定 3.(2011.河北廊坊安次区一模）如图 8，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再 依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩 形的 面积为 1，则第 n 个矩形的面积为 ． 答案: 4. (2011 湖北省天门市一模)如图 4（1），已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延 长一倍得到新正方形 A1B1C1D1；把正方形 A1B1C1D1 边长按原法延长一倍得到正方形 A2B2C2D2（如 图 4（2））；以此下去···，则正方形 A4B4C4D4 的面积为__________。 5.（浙江杭州金山学校 2011 模拟）（原 创）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE△ 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD PE 的和最 小，则这个最小值为 ▲ . 答案： 2 3 答案: 625 6.（2011 浙江杭州模拟 7） 如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AB＝4，点 E、G、H、F 分别在 AB、BC、CD、AD 上，且 AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点 P 是直线 EF、GH 之间任意一点，连结 PE、PF、PG、PH，则△PEF 和△PGH 的面积和等于________． 第 3 题图 上 第 4 题图（1） A1 B1 C1 D1 A B CD D2 A2 B2 C2 D1 C1 B1 A1 A B CD 图（2） （第 6 题图） Ａ Ｆ ＣＤＢ Ｅ 第 9 题图 E D B C′ F C D′ A 第 11 题 7.(2011 年宁夏银川)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，E 为CD 边上一点， 1DE  ．以 点 A 为中心，把△ ADE 顺时针旋转 90 ，得△ ABE ，连接 EE ，则 EE 的长等 于 ． 答案：2 5 8．（2011 年青岛二中）如图，将两张长为 8，宽为 2 的矩形纸条交叉， 使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周 长有最小值 8，那么菱形周长的最大值是 ． 答案：17 9（2011 年浙江仙居）如图在 ABC△ 中，点 D、E、F 分别在边 AB 、BC 、CA 上，且 DE CA∥ ， DF BA∥ ．下列四种说法： ①四边形 AEDF 是平行四边形； ②如果 90BAC   ，那么四边形 AEDF 是矩形； ③如果 AD 平分 BAC ，那么四边形 AEDF 是菱形； ④如果 AD BC 且 AB AC ，那么四边形 AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号） 答案：①②③④ 10、(2011 山西阳泉盂县月考)如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、BC 的中点，G、H 在 DC 边上，且 GH= 2 1 DC，AB=10，BC=12，则阴影 部分的面积为 35 。 11．（2011 年江苏盐都中考模拟）如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别 落在 D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 °. 答案 50 12、（2011 年北京四中中考模拟 19）在正方形的截面中，最多可以截出 边形 答案 4 13、（2011 年浙江杭州三模） 如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 是对角线 BD 上的一 点，且 BE=BC，点 P 在 EC 上，PM⊥BD 于 M，PN⊥BC 于 N，则 PM+PN= （第 8 题图） （第 14 题图） A D F C BE （ 第 5 题 ） 图） 答案： 2 14、（2011 年浙江杭州七模）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝6，AB＝4，点 E、G、H、F 分别 在 AB、BC、CD、AD 上，且 AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点 P 是直线 EF、GH 之间任意一点，连 结 PE、PF、PG、PH，则△PEF 和△PGH 的面积和等于 答案：7 B 组 1．（2011 安徽中考模拟）如图，菱 形 ABCD 的两条对角线分别长 6 和 8，点 P 是对角线 AC 上的一个动点，点 M、N 分别是边 AB、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是 _____________． 答案：5 2. （2011 湖北武汉调考模拟二）如图，菱形 ABCD 中，AB=2，∠C=60°， 菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转 60°叫 一次操作，则经过 36 次这样的操作菱形中心 D 所经过的路径总长为（结果保留 ）___． 答案：（8 3 ，+4） 3、（北京四中 2011 中考模拟 14）要使一个平行四边形成为正方形，则需添加的条件为 ____________（填上一个正确的结论即可）. 答案：对角线垂直且相等 4. （2011 年杭州市模拟）菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图 所示， 45 2 2AOC OC  °， ，则点 B 的坐标为 ． 答案： (2 2 2,2) 5．（2011 年海宁市盐官片一模）如图，有一块边长为 4 的正方形 塑料摸板 ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落 在 A 点，两条直角边分别与 CD 交于点 F ，与CB 延长线交于 第 1 题图 D A B CP M N x y O C B A 第 4 题 点 E ．则四边形 AECF 的面积是 ． 答案：16 6、（赵州二中九年七班模拟）若菱形 ABCD 的对角线 AC =24， BD =10， 则菱形的周长 为 。 答案：52 7、（赵州二中九年七班模拟）用含30 角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列五种图 形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④直角梯形，⑤等边三角形。其中可以被拼成的图形 是 （只填正确答案的序号）。 答案：①③⑤ 三 解答题 1、(2011 浙江杭州模拟 15) 如图（1）矩形纸片ＡＢＣＤ，把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？ （1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出 其中一种情况） （2）折叠后重合部分是什么图形？试说明理由。 答案： （1）图略 （4 分） （2）等腰三角形 （1 分） A D C B （1） A D C B （2） ＢF C A Ｄ E 第 1 题图 G BDE BDC BD BDE BDC FDB CDB ADCB AB DC CDB ABD FDB ABD BDF                     是 沿 折叠而成 是矩形 重叠部分，即 是等腰三角形 （2 分） 2、(2011 浙江杭州模拟 15) 如图(1)，△ABC 中，AD 为 BC 边上的的中线，则 ACDABD SS   .（模拟改编） 实践探究 （1）在图(2)中，E、F 分别为矩形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，则 ABCDSS 矩形阴影 和 之间满 足 的 关 系 式 为 ； （2）在图(3)中，E、F 分别为平行四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，则 ABCDSS 平行四边形阴影 和 之间满足的关系式为 ； （3）在图(4)中，E、F 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD、BC 的中点，则 ABCDSS 四边形阴影 和 之间满足的关系式为 ； 解决问题： （4）在图(5)中，E、G、F、H 分别为任意四边形 ABCD 的边 AD、AB、BC、CD 的中点，并且 图中阴影部分的面积为 20 平方米，求图中四个小三角形的面积和，即 S1+ S2+ S3+ S4=？ 图(5) 图(1) E D CFB A 图(4) 图(2) 图(3) A B C D P E D A B C F P E D A B C F E D A C B F 答案： (1) ABCDSS 矩形阴影 2 1 （2 分） （2） ABCDSS 平行四边形阴影 2 1 （2 分） (3) ABCDSS 四边形阴影 2 1 （2 分） （4）由上得 四边形ABCD四边形BEDF S 2 1S  ， 四边形ABCD四边形AHCG S2 1S  ， ∴S1+x+S2+S3+y+S4 四边形ABCDS 2 1 ．S1+m+S4+S2+n+S3 四边形ABCDS 2 1 ， ∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2 +n+S3） 四边形ABCDS ． ∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S 阴 ∴S1+S2+S3+S4=S 阴=20． （4分） 3．（10 分）（2011 武汉调考模拟)如图，四边形 ABCD 为正方形，△BEF 为等腰直角三角形（∠ BFE=900，点 B、E、F，按逆时针排列），点 P 为 DE 的中点，连 PC，PF (1)如图①，点 E 在 BC 上，则线段 PC、PF 的数量关系为_______，位置关系为_____（不 证明）． (2)如图②，将△BEF 绕点 B 顺时针旋转 a(O5 时，S=0．…………………………9 分 14 、（ 南 京 市 浦 口 区 2011 年 中 考 一 模 （ 6 分 ） 如 图 ， 在 ABC 和 DCB 中 ， , ,AB DC AC DB AC  、 DB 交于点 M. （1）求证： ABC ≌ DCB ； （2）作 // , // ,CN BD BN AC CN 交 BN 于点 N，四边形 BNCM 是什么四边形？请证明你的结 论. 解：（本题 6 分） （1）在△ABC和△DCB中， AB=DC,AC=DB,BC为公共边. △ABC≌△DCB （SSS） ……………………………………………………2 分 （2）四边形 BNCM 为菱形……………………………………………………3 分 △ABC≌△DCB ∠DBC=∠ACB 即 MB=MC ……………………………………………………4 分 BN‖AC ,CN‖BD 四边形 BNCM 为平行四边形.……………………………………………………… 5 分 又MB=MC 平行四边形 BNCM 为菱形.……………………………………………………………… 6 分 15．（南京市下关区秦淮区沿江区 2011 年中考一模）(6 分)如图，已知，四边形 ABCD 为梯形，分别过点 A、D 作底边 BC 的垂线，垂足分别为点 E、F．四边形 ADFE 是何种特殊的四边形？请写出你的理由． 答案：四边形 ADFE 是矩形．…………1 分 证 明 ： 因 为 四 边 形 ABCD 为 梯 形 ， 所 以 AD ∥ EF．……………………2 分 因为 AE 是底边 BC 的垂线，所以∠AEF＝90°．同理，∠DFE＝90°． 所以，AE∥DF，……………………4 分 所以，四边形 ADFE 为平行四边形． 又因为∠AEF＝90°，……………………6 分 所以四边形 ADFE 是矩形． M N A B C D F E D C B A 16. （南京市玄武区 2011 年中考一模）（9 分）如图，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开， 得到矩形 ABCD 和三角形 EGF 两张纸片，测得 AB=5，AD=4，EF= 55 ．在进行如下操作时遇 到了下面的几个问题，请你帮助解决． (1) 请你求出 FG 的长度． (2)在(1)的条件下，小明先将三角形的边 EG 和矩形边 AB 重合，然后将△EFG 沿直线 BC 向右平移，至 F 点与 B 重合时停止．在平移过程中，设 G 点平移的距离为 x，两纸片 重叠部分面积为．y，求在平移的整个过程中，y 与 x 的函数关系式，并求当重叠部 分面积为 10 时，平移距离 x 的值． (3)在(2)的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠 的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也 不可能相 等．请探索这两种情况下重叠部分面积 y 的范围(直接写出结果)． 答案： (1)∵在 Rt△EGF 中，EG=AB=5，EF= 55 , ∴FG= 105)55( 2222  EGEF ……………..2 分 (2)当 0≤x≤4 时， 21 54y x x   ；………………….3 分 当 4＜x≤10 时，y=－2x+24，…………..4 分 当 y=10 时，x=7 或 10 2 15x   ．……………….6 分 (3)当 0≤x≤4 时，  221 15 10 254 4y x x x       ，顶点为(10，25)，…….7 分 ∴当 0≤x≤4 时，0≤y≤16．当 4＜x≤10 时，y=－2x+24，4≤y＜16． ∴当 4≤y<16 时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积 y 可能相等．………8 分 当 0≤y＜4 或 y=16 时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．…..9 分 17．（南京市雨花台 2011 年中考一模）（8 分）如图，△ABC 中，点 O 在边 AB 上，过点 O 作 BC 的平行线交∠ABC 的平分线于点 D，过点 B 作 BE⊥BD，交直线 OD 于点 E。 （1）求证：OE＝OD ； （2）当点 O 在什么位置时，四边形 BDAE 是矩形？说明理由； （3）在满足（2）的条件下，还需△ABC 满足什么条件时，四边形 BDAE 是正方形？写出你 确定的条件，并画出图形，不必证明．．．．。 （第 17 题） 解：（1）∵ BD 是 ABCÐ 的平分线，∴ 1 2Ð = Ð 。 ∵ DE ∥ BC ，∴ 1 3Ð = Ð ∴ 2 3Ð = Ð ∴OB OD= ∵ BE BD^ ∴ 90EBDÐ =  ∴ 4 2 5 3 90Ð +Ð = Ð +Ð =  ∴ 4 5Ð = Ð ∴OE OB= ∴OE OD= ………………………3 分 （2）当点 O 是边 AB 的中点时，四边形 ABCD 是矩形。…………4 分 理由：当点O 是边 AB 的中点时，OA OB= ∵OE OD= ∴四边形 BDAE 是平行四边形 ∵ 90EBDÐ =  ∴四边形 BDAE 是矩形 ………………………5 分 （3）△ ABC 是以 ABCÐ 为直角的直角三角形时， 四边形 BDAE 是正方形。 ………………………6 分 （说出“ ABCÐ 为直角”即可） 如图 2。（可以不将四边形 BDAE 画完整） ………………………8 分 （其它解法，正确合理可参照给分。） 18、(2011 海淀一模) 如图，矩形纸片 ABCD 中， 6, 10AB BC  .第一次将纸片折叠， 使点 B 与点 D 重合，折痕与 BD 交于点 1O ；设 1O D 的中点为 1D ，第二次将纸片折叠使 点 B 与点 1D 重合，折痕与 BD 交于点 2O ；设 2 1O D 的中点 为 2D ，第三次将纸片折叠使点 B 与点 2D 重合，折痕与 BD 交于点 3O ，… .按上述方法折叠，第 n 次折叠后的折痕与 BD 交于点 nO ，则 1BO = ， nBO = ． … B A D C B A D C 1O 1O 2O 1D 1D 2D 1O 2O 3O B A D C B A D C 第一次折叠 第二次折叠 第三次折叠 … 考查内容: 答案： 2 1 2 3 3 2 n n   19、（2011 名校联合一模）如图，已知，四边形 ABCD 为梯形，分别过点 A、D 作底 边 BC 的垂线，垂足分别为点 E、F．四边形 ADFE 是何种特殊的四边形？请写 出你的理由． 考查内容：矩形 菱形 正方形的判别 答案：四边形 ADFE 是矩形．…………1 分 证明：因为四边形 ABCD 为梯形，所以 AD∥EF．……………………2 分 因为 AE 是底边 BC 的垂线，所以∠AEF＝90°．同理，∠DFE＝90°． 所以，AE∥DF，……………………4 分 所以，四边形 ADFE 为平行四边形． 又因为∠AEF＝90°，……………………6 分 所以四边形 ADFE 是矩形． 20、（2011 朝阳区一模） 如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=4，将矩形 ABCD 翻折，使得 点 B 落在 CD 边上的点 E 处，折痕 AF 交 BC 于点 F，求 FC 的长． F E DA B C 考查内容: 矩形 菱形 正方形 答案：解：由题意，得 AE=AB=5,AD=BC=4,EF=BF. …………………………………… 1 分 在 Rt△ADE 中，由勾股定理，得 DE=3. …………………………………… 2 分 在矩形 ABCD 中，DC=AB=5. ∴CE=DC-DE=2. ………………………………………………………………… 3 分 设 FC=x，则 EF=4-x. 在 Rt△CEF 中，  222 42 xx  . .…………………………………………… 4 分 解得 2 3x . ……………………………………………………………………… 5 分 F E D C B A 即 FC= 2 3 . 21、(2011 怀柔一模) （本题满分 4 分） （1）如图①两个正方形的边长均为 3，求三角形 DBF 的面积. （2）如图②，正方形 ABCD 的边长为 3，正方形 CEFG 的边长为 1, 求三角形 DBF 的面积. （3）如图③，正方形 ABCD 的边长为 a，正方形 CEFG 的边长为b ，求三角形 DBF 的面积. 从 上面计算 中你能得到什么结论. 结论是：三角形 DBF 的面积的大小只与 a 有关， 与b 无关. （没写结论也不扣分） 考查内容： 答案：解：（1） 9 2 9 2 ………………………（2 分） （2） 2 2a …………（2 分） 结论是：三角形 DBF 的面积的大小只与 a 有关， 与b 无关. （没写结论也不扣分） 22、(2011 广东化州二模) （本小题满分 10 分） 如图 1，在边长为 5 的正方形 ABCD 中，点 E 、 F 分别是 BC 、 DC 边上的点，且 AE EF ， 2BE  . （1）求 EC ∶CF 的值； （2）延长 EF 交正方形外角平分线CP P于点 （如图 2），试判断 AE EP与 的大小关系， 并说明理由； （3）若将“边长为 5 的正方形”改为“BC 长为 m(m>2)，AB 长为 n（n>2），的矩形”，其 他条件不变，试判断 AE EP与 的大小关系，并说明理由； 考查内容： 答案：解：（1） AE EF 2 3 90    ° 图 1 A D CB E 图 2 B CE DA F P F F A D CB E 1 3 2 四边形 ABCD 为正方形 90B C    ° 1 3 90    ° 1 2   ……………………………1 分 ABE EFC  …………………………………………2 分 EC ∶CF =AB∶BE=5:2 …………………………………3 分 （2）在 AB 上取一点 M ，使 AM EC ，连接 ME ．…………（4 分） BM BE  ． 45BME  °， 135AME  °． CF 是外角平分线， 45DCF  °， 135ECF  °． AME ECF   ． 90AEB BAE    °， 90AEB CEF    °，  BAE CEF   ． AME BCF△ ≌△ （ASA）．………………………………………（6 分） AE EF  ． …………………………………………………（7 分） （3） : ( 2) :( 2)AE EP n m   在 AB 上取一点 N ，使 AN EC ，连接 NE ． BN BE ． 45BNE   ， 135ANE   ． CF 是外角平分线， 45DCF  °， 135ECF  °． ANE ECF   ． 90AEB BAE    °， 90AEB CEF    °，  BAE CEF   ． ANE ECP  …………………………………………………（9 分） : : ( 2) :( 2)AE EP AN EC n m     …………………………（10 分） 23、(2011 平顶山二模) （9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB⊥AC,AB=1,BC= 5 , 对角线 AC、BD 相交于点 0，将直线 AC 绕点 0 顺时针旋转，分别交 BC、AD 于点 E、F. （1）求证：当旋转角为 90°时，四边形 ABEF 为平形四边形； （2）在旋转过程中，四边形 BEDF 可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说 明理由，并求出此时 AC 绕点 0 顺时针旋转的度数. 考查内容: 答案：证明:(1)如图 1,∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,即 AF∥BE. ……1 分 当旋转角为 900 时,AC⊥EF,又 AB⊥AC, ∴AB∥EF. …………………………2 分 ∴四边形 ABEF 是平行四边形. …………………………3 分 (2)在旋转过程中, 当 EF⊥BD 时,四边形 BEDF 可以是菱形.理由如下: ……4 分 如图 2, ∵四边形 ABCD 是平行四边形,由平行四边形的中心对称性可得:OF=OE,OB=OD, ∴四边形 BEDF 是平行四边形.又 EF⊥BD, ∴四边形 BEDF 是菱形. ……………6 分 在 Rt△ABC 中,由勾股定理可得:AC= 21)5( 2222  ABBC ,∴OA= 12 AC . ∴OA=AB=1,又∠BAC=900,即△ABO 为等腰直角三角形, ∴∠AOB=450. ………8 分 ∵EF⊥BD, ∴∠BOF=∠AOB+∠AOF=900, ∴∠AOF=450. 即:当 AC 绕点 O 顺时针旋转 450 时,四边形 BEDF 是菱形. …………………………9 分 24、（2011 年徐汇区诊断卷）（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） 如图，正方形 ABCD 中， M 是边 BC 上一点，且 BM= 1 4 BC . （2）若 ,   aAB ,   bAD 试用 ,  a  b 表示  DM ； （3）若 AB=4，求 sin∠AMD 的值. 考查内容: 答案：（1） ∵正方形 ABCD，∴AD//BC，AB//CD，且 AB=CD=BC=AD， …………1 分 ∵BM= 1 4 BC ，∴ 3 4MC b    ， DC AB a      ………………………………2 分 ∴ 3 4DM a b      …………………………………………………………1 分 （2）∵AB=4，且 BM= 1 4 BC ，∴MC=3，BM=1， 在 Rt△DMC 中，DM 2 2 2 23 4 5.MC DC     ……………………1 分 在 Rt△ABM 中，AM 2 2 2 21 4 17.AB BM     ……………………1 分 过点 A 作 AE⊥DM 于 E， ………………………………………………………1 分 A B C D O F 图 1 E B A C D O F 图 2 E A B D CM S△ADM= 1 1 2 2DM AE AD AB   ,∴ 16 5AE  . ………………………1 分 在 Rt△AEM 中，sin∠AMD 16 17 85 AE AM   …………………………………2 分 25、(2011 年天河区) （本小题满分 12 分） 如图，等腰△OBD 中，OD=BD，△OBD 绕点 O 逆时针旋转 一定角度后得到△OAC，此时正好 B、D、C 在同一直线上， 且点 D 是 BC 的中点. （1）求△OBD 旋转的角度； （2）求证：四边形 ODAC 是菱形. 考查内容： 答案：（1）∵OD=BD，CD=BD， ∴OD=CD=BD------------------1 分 又△OBD≌△OAC ∴OD=OC---------------2 分 △ODC 是等边三角形 ∴∠COD=60°---------------4 分 即△OBD 旋转的角度为 60°---------------5 分 （2）∵△OBD≌△OAC，△ODC 是等边三角形 ∴OD=OC，BD=AC ，OB=OA ∠OCA=∠ODB=180°－60°=120°-----------------7 分 ∴∠ACD=∠OCA－∠OCD=120°－60°=60° ∴△ACD 是等边三角形 ---------------9 分 ∴OD=OC=AC=AD ---------------11 分 ∴四边形 ODAC 是菱形. ---------------12 分 另解：连结 AB，由（1）得：∠AOB=60°又 OB=OA ∴△AOB 是等边三角形 ∴OB=AB---------------7 分 ∴OD=OC=BD=AC ∴BC 垂直平分 OA ∴OD= AD --------------9 分 ∴OD=OC=AC=AD ---------------11 分 ∴四边形 ODAC 是菱形. ---------------12 分 26.（2011 番禺区综合训练）如图 9，在梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， EA AD⊥ ， M 是 AE 上一点， BAE MCE∠ ∠ ， 45MBE  ∠ ． A B C D M E （1）求证： BE ME ． （2）若 7AB  ，求 MC 的长． 答案: (1)证明：∵AD∥BC, EA⊥AD ∴EA⊥BC ………………………2 分 ∴∠AEB＝∠CEM=90° 在 Rt△MEB 中，∠MBE＝45° ∴∠BME＝∠MBE＝45° ∴BE＝ME (2)解: 在△ABE 和△CME 中, ∠BAE＝∠MCE ∠AEB＝∠CEM BE＝ME ∴△ABE≌△CME ∴MC＝AB 又∵AB＝7 ∴MC＝7 27. 2011 番禺区综合训练）如图 14，将一个边长为 1 的正方形纸片 ABCD 折叠, 使点 B 落在边 AD 上（不与 A 、 D 重合）, MN 为折痕，折叠后 ' 'B C 与 DN 交于 P . (1) P 判断 'MAB 与 'NC P 是否相似？并说明理由; (2) 当 B 落在什么位置上时, 折叠起来的梯形 ' 'MNC B 面积最小，并求此时两纸片重叠部分的面积. 答案: 解：（1） 'MAB 与 'NC P 是否相似. 其理由如下: ' ' 90NC P B AM     , 又 ' ' 90 ,B PD PB D     ' ' 90 ,B PD MB A     ' ' ,MB A B PD   又由 ' ' ,NPC B PD   B' P C' N M D C B A 图 14 ' ',MB A NPC   'MAB ∽ 'NC P . （2）如图, 过 N 作 NR AB 于 R , 则 1RN BC  , 连 'BB ,交 MN 于Q . 则由折叠知, MBQ 与 'MB Q 关于直线 MN 对称, 即 MBQ ≌ 'MB Q , 有 'BQ B Q , 'MB MB , 'MQ BB . ………6 分 ,A MQB   MQB ∽ 'B AB （ 'ABB 公用） ' 'AB AB BB MQ BQ MB    . 设 ' ,AB x 则 2' 1 ,BB x  21 12BQ x  ，代入上式得： 21' ( 1)2BM B M x   . 在 Rt MRN 和 'Rt B AB 中, 90 , ' 90 ,MNR BMQ ABB BMQ         'MNR ABB   ,又 ' 90MRN B AB      Rt MRN ≌ 'Rt B AB , 'MR AB x   . 故 21' ( 1)2C N CN BR MB MR x x       21 ( 1)2 x  . 22 ' ' 1 1 1( 1) ( 1) 12 2 2MNC BS x x        梯形  21 ( 1)2 x x  由 2 21 1 1 3( 1) ( )2 2 2 8s x x x      ， 得当 1 2x  时，即 B 落在 AD 的中点处时,梯形面积最小，其最小值为 3 8 . …12 分 Q R A B C D M N C' P B' 此时, 1' ,8C N  5 3,8 8BM AM  , 由（1）得 2 2' ' ' 1 1( )3 9 NPC MB A S NC S AM         ; 故 ' ' 4 4 1 1 3 1( )9 9 2 2 8 96NCC AMBS S        , 所以两纸片重叠部分的面积为: ' 3 1 35 8 96 96NCCMBCNS S   梯形 . 28. （2011 萝岗区综合测试一)在如图所示的一张矩形纸片 ABCD （ AD AB ）中， 将纸片折叠一次，使点 A 与C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于 E ，交 BC 边于 F ，分 别连结 AF 和CE ． （1）求证：四边形 AFCE 是菱形； （2）过 E 作 EP AD 交 AC 于 P ，求证： 22AE AC AP  （3）若 8cmAE  ， ABF△ 的面积为 29cm ，求 ABF△ 的周长； 答案：．解：（1）连结 EF 交 AC 于O ， 当顶点 A 与C 重合时，折痕 EF 垂直平分 AC ， OA OC  ， 90AOE COF     在矩形 ABCD 中， AD BC∥ ， EAO FCO   ， AOE COF △ △ ． OE OF  四边形 AFCE 是菱形． （2）证明：过 E 作 EP AD 交 AC 于 P ， 由作法， 90AEP   ， 由（1）知： 90AOE   ，又 EAO EAP   ， AOE AEP△ ∽△ ， AE AO AP AE   ，则 2AE AO AP  四边形 AFCE 是菱形， 1 2AO AC  ， 2 1 2AE AC AP   ． 22AE AC AP   （3）四边形 AFCE 是菱形， 8AF AE   ． 设 AB x ， BF y ， 90B  ， 2 2 64x y   2( ) 2 64x y xy    ① A E D C FB 第 25 题图 又 19 92ABFS xy   △ ， ，则 18xy  ． ② 由①、②得： 2( ) 100x y  10x y    ， 10x y   （不合题意舍去） ABF△ 的周长为 10 8 18x y AF     29. （2011 年天河区综合练习）如图，等腰△OBD 中，OD=BD，△OBD 绕点 O 逆时针旋 转 一定角度后得到△OAC，此时正好 B、D、C 在同一直线上， 且点 D 是 BC 的中点. （1）求△OBD 旋转的角度； （2）求证：四边形 ODAC 是菱形. 答案: 解：（1）∵OD=BD，CD=BD， ∴OD=CD=BD 又△OBD≌△OAC ∴OD=OC △ODC 是等边三角形 ∴∠COD=60° 即△OBD 旋转的角度为 60° （2）∵△OBD≌△OAC，△ODC 是等边三角形 ∴OD=OC，BD=AC ，OB=OA ∠OCA=∠ODB=180°－60°=120° ∴∠ACD=∠OCA－∠OCD=120°－60°=60° ∴△ACD 是等边三角形 ∴OD=OC=AC=AD ∴四边形 ODAC 是菱形. 另解：连结 AB，由（1）得：∠AOB=60°又 OB=OA ∴△AOB 是等边三角形 ∴OB=AB ∴OD=OC=BD=AC ∴BC 垂直平分 OA ∴OD= AD A E D C F B P O 第 21 题 ∴OD=OC=AC=AD ∴四边形 ODAC 是菱形. 30. (2010 海珠区调研） 如图，E 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一点， 求证：AE=CE 答案: 证明： 正方形 ABCD CDAD  CDEADE  CDAD  CDEADE  DEDE  CDEADE  CEAE  A B C D E