【数学】河北省张家口市2020届高三下学期第二次模拟试题(理)(解析版)

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【数学】河北省张家口市2020届高三下学期第二次模拟试题(理)(解析版)

河北省张家口市2020届第二学期高三年级第二次模拟考试 数学试卷(理)‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,则.‎ 故选:C.‎ ‎2.已知非零复数满足(其中是的共轭复数,是虚数单位),在复平面内对应点,则点的轨迹为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,‎ 所以,‎ 因为在复平面内对应点,‎ 所以,‎ 所以,‎ 即,‎ 因为非零复数,‎ 所以,‎ 故点的轨迹为,‎ 故选:B ‎3.若函数的部分图象如图所示,则函数可能为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由图象可知函数为奇函数,且当时,.‎ 对于A选项,,该函数为偶函数,A选项不符;‎ 对于C选项,函数为偶函数,C选项不符;‎ 对于B选项,,该函数为奇函数,且当时,,,此时,合乎题意;‎ 对于D选项,函数为奇函数,当时,,D选项不符.‎ 故选:B.‎ ‎4.已知为等差数列的前项和,若,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列的公差为,则,解得,‎ 因此,.‎ 故选:D.‎ ‎5.已知向量,的夹角为,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎,故.‎ 故选:C.‎ ‎6.已知定义在上的函数满足对其定义域内任意、,都有成立,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,得,‎ 构造函数,则,‎ 取,则,可得,‎ 令,所以,,即且,‎ 因此,.‎ 故选:A.‎ ‎7.今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”,某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念,庆祝圆满完成“抗疫”任务,若恰好从中间往两边看都依次变低,则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将身高从低到高9个人依次编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,‎ 则9号必须排在正中间,从其余8个人中任选4人排在9号的左边,剩下的4个人排在9号的右边,有种,‎ 当排名第四的6号排在最高的9号的左边时,从1,2,3,4,5中任选3个排在6号的左边,其余四个排在9号的右边,有种,同理当当排名第四的6号排在最高的9号的右边时,也有10种,‎ 所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种,‎ 所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为.‎ 故选:A.‎ ‎8.已知直线与椭圆:交于两点,点,分别是椭圆的右焦点和右顶点,若,则( )‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设椭圆的另一焦点为,连,直线过原点,‎ 所以坐标原点为中点,互相平分,‎ 所以四边形为平行四边形,,‎ ‎,‎ ‎.‎ 故选:D.‎ ‎9.为彻底打赢脱贫攻坚战,2020年春,某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10 000斤,成本2000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5000斤,成本3000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为( )‎ A. 4万元 B. 5.5万元 C. 6.5万元 D. 10万元 ‎【答案】B ‎【解析】设种植冬瓜和茄子的种植面积分别为,亩,种植总利润为万元,‎ 由题意可知,‎ 总利润 作出约束条件如下图阴影部分:‎ ‎ ‎ 联立解得,‎ 平移直线,当过点时,一年的种植总利润为取最大值5.5万元,‎ 故选:B.‎ ‎10.如图所示,四边形是正方形,其内部8个圆的半径相等,且圆心都在正方形的对角线上,在正方形内任取一点,则该点取自阴影部分的概率为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设正方形的边长为1,圆的半径为r,‎ 因为圆心都在正方形的对角线上,‎ 如图所示:‎ ‎,‎ 即,‎ 解得,‎ 所以阴影部分的面积为:,‎ 所以该点取自阴影部分的概率为.‎ 故选:A ‎11.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,渐近线分别为,,过作与平行的直线交于点,若,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】不妨设,则,‎ 因为,,,‎ 联立,解得,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以,所以,‎ 所以,所以,所以,所以,‎ 所以离心率.‎ 故选:C.‎ ‎12.对于函数(为自然对数的底数,),函数,给出下列结论:‎ ‎①函数的图象在处的切线在轴的截距为 ‎②函数是奇函数,且在上单调递增;‎ ‎③函数存在唯一的极小值点,其中,且;‎ ‎④函数存在两个极小值点,和两个极大值点,且.‎ 其中所有正确结论的序号是( )‎ A. ①②③ B. ①④ C. ①③④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①,,‎ 函数的图象在处的切线方程为,‎ 令,即所求的切线在轴上的截距为,‎ 所以①正确;‎ 对于②,,‎ 定义域不关于原点对称,所以不是奇函数,所以②不正确;‎ 对于③,,当,‎ 当,设,‎ 时,为增函数,‎ 又恒成立,‎ 在上单调递增,‎ 即在上单调递增,‎ ‎,‎ ‎,所以存在唯一的,‎ 使得,当,‎ 所以时,取得极小值,所以③正确;‎ 对于④,,‎ 显然不是极值点,取的定义域为,‎ 此时为奇函数,‎ 为偶函数,‎ ‎,令,‎ 转化为求与在的交点,‎ 画出两函数图象,如下图所示,‎ 与在为奇函数,‎ 两函数图象有四个交点,与均关于原点对称,‎ 当时,,‎ ‎,‎ 所以时,取得极大值,时,取得极小值,‎ 当时,时偶函数,,‎ ‎,‎ 所以时,取得极大值,时,取得极小值,‎ 此时,所以④正确.‎ 故选:C.‎ 二填空题.‎ ‎13.如图,某班体重为‎70kg的体育老师在做引体向上示范动作,两只胳膊的夹角为,拉力大小均为,若使身体能向上移动,则拉力的最小整数值为______N.(取重力加速度大小为,)‎ ‎【答案】405‎ ‎【解析】设是两个拉力,合力为,由于,在菱形中知,所以,,所以的最小整数为405.‎ 故答案为:405.‎ ‎14.已知各项均为正数的数列的前项和为,若,,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,‎ 代入,‎ 得:,‎ 即:,‎ 因为数列是正数数列,‎ 所以,‎ 所以数列是以为首项,以3为公比的等比数列,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎15.若函数在区间上恰好有一个零点,则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意,函数在区间,上有零点等价于方程在区间,上恰有一个根,函数和函数的图象在区间上恰好有一个交点,‎ 函数关于对称,在上有最小值,时,,,‎ 函数,令,‎ 当时,由复合函数单调性知单调递减,当时,,‎ 所以函数和函数的图象在区间上无交点,‎ 当时,由复合函数单调性知单调递增,如图,‎ 由图可知,当,时,函数图象恰好有1个交点,‎ 此时,‎ 解得,‎ 因为在上单调递增,‎ 所以,即的最小值为,‎ 故答案为:‎ ‎16.已知直三棱柱的顶点都在球的表面上,四边形的面积为.若是等边三角形,则球体积的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示:‎ 因为三棱柱是正三棱柱,‎ 所以外接球的球心为上下底面中心连线的中点,‎ 设外接球的半径为R,底面边长为a,高为h,‎ 因为四边形的面积为.‎ 所以ah=,‎ 所以,‎ 当且仅当,即时,取等号,‎ 所以,‎ 所以球体积最小值为.‎ 故答案为:‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题 ‎17.如图,在中,点在边上,,,.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)求的面积.‎ 解:(1)因为在中,,,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以.‎ 在中,,,,‎ 由正弦定理得,‎ 所以,‎ 解得.‎ ‎(2)在中,,,,‎ 出余弦定理得,‎ 所以,‎ 整理得,‎ 解得或(舍),所以.‎ ‎.‎ 即的面积为.‎ ‎18.已知四边形是梯形,如图,,,,为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置(如图2),且 ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求与平面所成角的正弦值.‎ 解:(1)连接,因为,,,为的中点,,所以四边形是边长为1的正方形,且.‎ 取的中点,连接,,,因为,所以,,,‎ 作于,则 因为,,,所以,故.‎ 因为,所以平面.‎ 因平面,所以平面平面.‎ ‎(2)由(1)知平面,.以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 因为,所以,,,,,,‎ 设平面的一个法向量为,则得 即,令,则,,所以.‎ 因为,设与平面所成的角为,‎ 则,‎ 即与平面所成角的正弦值为.‎ ‎19.已知抛物线:的焦点为,直线:与抛物线交于,两点.‎ ‎(1)若,求直线的方程;‎ ‎(2)过点作直线交抛物线于,两点,若线段,的中点分别为,,直线与轴的交点为,求点到直线与距离和的最大值.‎ 解:(1)由已知得,‎ 直线:与联立消,得.‎ 设,,则,.‎ 由,得,‎ 即,得,‎ 所以或.‎ 所以直线的方程为或;‎ ‎(2)由(1)知,所以,所以.‎ 因为直线过点且,所以用替换得.‎ 当时,:,‎ 整理化简得,‎ 所以当时,直线过定点(3,0);‎ 当时,直线的方程为,过点(3,0).‎ 所以点的坐标为(3,0)‎ 设点到直线和的距离分别为,,由,,得.‎ 因为,所以,当且仅当时,等号成立,‎ 所以点到直线和的距离和的最大值为.‎ ‎20.某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率,随机抽查了高一年级100位学生的某次数学成绩,得到如图所示的频率分布直方图:‎ ‎(1)估计这100位学生的数学成绩的平均值.(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);‎ ‎(2)根据整个年级的数学成绩,可以认为学生的数学成绩近似地服从正态分布经计算,(1)问中样本标准差的近似值为10.用样本平均数作为的近似值,用样本标准差作为的估计值,现任抽取一位学生,求他的数学成绩恰在64分到94分之间的概率.‎ 参考数据:若随机变量,则,,‎ ‎(3)该年级1班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习,提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性,特意在微信上设计了一个每日作业小程序,每当学生提交的作业获得优秀时,就有机会参与一次小程序中“玩游戏,得奖励积分”的活动,开学后可根据获得积分的多少领取老师相应的小奖品.小程序页面上有一列方格,共15格,刚开始有只小兔子在第1格,每点一下游戏的开始按钮,小兔子就沿着方格跳一下,每次跳1格或跳2格,概率均为,依次点击游戏的开始按钮,直到小兔子跳到第14格(奖励0分)或第15格(奖励5分)时,游戏结束,每天的积分自动累加,设小兔子跳到第格的概率为,试证明是等比数列,并求的值.(获胜的概率)‎ 解:(1)‎ ‎(2)由,所以,‎ ‎.‎ ‎(3)小兔子开始在第1格,为必然事件,,‎ 点一下开始按钮,小兔子跳1格即移到第2格的概率为,即,‎ 小兔子移到第格的情况是下列两种,而且也只有两种情况.‎ ‎①小兔子先跳到第格,又点一下开始按钮跳了2格,其概率为;‎ ‎②小兔了先跳到第格,乂点一下开始按钮跳了1格,其概率为;‎ 因为,所以.‎ 所以当时,‎ 数列是以为首项,以为公比的等比数列,‎ 所以,‎ ‎.‎ 所以获胜的概率.‎ ‎21.已知函数(自然对数的底数)有两个零点.‎ ‎(1)求实数的取值范围;‎ ‎(2)若的两个零点分别为,证明:.‎ 解:(1)有两个零点,等价于有两个零点,令,则在时恒成立,所以在时单调递增,‎ 所以有两个零点,等价于有两个零点.‎ 因为所以 ‎①当时,,单调递增,不可能有两个零点;‎ ‎②当时,令,得,单调递增;令,得,单调递减.‎ 所以.‎ 若,得,此时恒成立,没有零点;‎ 若,得,此时有一个零点;‎ 若,得,因为,且,,所以在,上各存在一个零点,符合题意.‎ 综上,当时,函数有两个零点,‎ 即若函数有两个零点,则的取值范围为.‎ ‎(2)要证,只需证,即证,‎ 由(1)知,,所以只需证.‎ 因为,,所以,,‎ 所以,只需证.‎ 设,令,则,所以只需证,即证.‎ 令,,则,.‎ 即当时,成立.‎ 所以,即,‎ 即.‎ ‎(二)选考题:请考生在22、23两题中任选一题作答.‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在直角坐标系中,直线的参数方程是(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线:,点的极坐标为,圆的圆心在极轴上,且过,两点.‎ ‎(1)求圆的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线,分别交于异于原点的点,,求线段的中点的直角坐标方程.‎ 解:(1)设圆的直径长为,因为点的极坐标为,的圆心在极轴上,且过,两点,所以,解得,所以圆的极坐标方程为.‎ ‎(2)由已知得直线的极坐标方程为,设,,,‎ 则,,,‎ 因为,所以点的极坐标方程为.‎ 因为,,,所以,‎ 即.‎ 即线段的中点的直角坐标方程为.‎ ‎ [选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知,,均正实数,且,证明:‎ ‎(1)‎ ‎(2).‎ 解:(1)因为,,均为正实数,且,‎ 所以,,均为正数.‎ 所以 ‎.‎ 所以,当且仅当时,等号成立.‎ ‎(2)因为,,均为正实数,且,所以,‎ 所以,即,当且仅当时,等号成立.‎ 因为.‎ 所以.‎ 当且仅当时,等号成立.‎
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