陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三第十二周实践演练数学（理）试卷

陕西省渭南市韩城市司马迁中学2020届高三第十二周实践演练数学（理）试卷

数学（理）‎ 第I卷（选择题）‎ 一． 单选题。本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ‎1．设集合，，则 ‎ A． B． C． D．‎ 2． 若复数满足，则 A． B． C． D． ‎ ‎3．在等差数列中，已知，前项和，则公差 A． B． C． D． ‎ ‎4．已知变量，满足则的最大值为 A． B． C． D． ‎ 5． 的展开式中的系数为 A． B． C． D． ‎ ‎6.第24届国际数学大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，‎ 会标是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正 方形．设直角三角形的一个锐角为θ，且tanθ＝2，若在大正方形 内随机取一点，则改点取自小正方形区域的概率为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎7 .已知直线与曲线相切，则实数的值为 A． B． C． D．‎ 8. 某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且 甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则 不同的推荐方法共有 ‎ A．36种 B．24种 C．22种 D．20种 ‎ ‎9.将函数的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎10.如图所示，某几何体由底面半径和高均为3的圆柱与半径为3的 半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的 上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11．在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且△为正三角形，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎12．对于定义域为的函数，若满足① ；② 当，且时，都有；③ 当，且时，都有，则称为“偏对称函数”．现给出四个函数：；； 则其中是“偏对称函数”的函数个数为 A．0 B．1 C．2 D．3‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知向量，，若，则向量的模为________．‎ ‎14．在各项都为正数的等比数列中，若，则的最小值为________．‎ ‎15．过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点．若，，则的值为________．‎ ‎16．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）△的内角，，的对边分别为，，，且满足，． ‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求△周长的最大值．‎ 思维能力 协调能力 一般 良好 优秀 一般 ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 良好 ‎4‎ b ‎1‎ 优秀 ‎1‎ ‎3‎ a 18. ‎（本小题满分12分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表： 例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎(Ⅱ)从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．‎ 19. ‎（本小题满分12分）如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，‎ 底面，，且．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成的角为，求二面的余弦值．‎ 18. ‎（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以短轴的一个端点与两个焦点为顶点的三角形面积为，过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相较于两点，线段的中点为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点垂直于的直线与轴交于点，求的值.‎ ‎21．已知函数， （1）讨论函数的单调性.‎ ‎（2）若对于任意的，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ （二） 选考题：‎ ‎22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将曲线经过伸缩变换后得到曲线．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）说明曲线是哪一种曲线，并将曲线的方程化为极坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值和最小值．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的值域为，且，求的取值范围．‎ ‎12周理科数学试题答案及评分参考 一．选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B B A B D B A B C C 二．填空题 ‎13．10 14．4 15．4 16．‎ 三、解答题 ‎17．（1）解法1：由已知，得．‎ 由正弦定理，得…………………………1分 即．…………………………………………………2分 ‎． ………………………………………4分 因为，所以． ……………………………………5分 因为，所以 …………………………………………6分 解法2：由已知根据余弦定理，得． ……………………1分 即． ………………………………………………3分 所以．…………………………………………5分 因为， 所以………………………………………………6分 ‎（2）解法1：由余弦定理，‎ 得，………………………………7分 即．…………………………………………………8分 因为，…………………………………………………………9分 所以．即（当且仅当时等号成立）．……11分 所以．故△周长的最大值为．………………12分 解法2：因为，且，，‎ 所以，．………………………8分 所以……9分 ‎．……………………………………10分 因为，所以当时，取得最大值．‎ 故△周长的最大值为．………………12分 ‎18． 解析：(Ⅰ)设事件：从位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有人．‎ 则．解得 ． …………… 3分 所以 ……………5分 ‎(Ⅱ) 的可能取值为，，． …………… 6分 位学生中有人是运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．‎ 所以，，‎ ‎． ……… 10分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 所以的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，． …………… 12分 ‎19.（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，．‎ 因为，分别为，的中点，所以，且，因为，且，‎ 所以，且．…………1分 平行四边形，所以，即．……………2分 因为平面，平面，所以．‎ 因为是菱形，所以． ‎ 因为，所以平面．………………………………4分 因为，所以平面． …………………………5分 因为平面，所以平面平面． ………………6分 ‎(2)：因为直线与平面所成角为，且平面，‎ 所以，所以．…………………………7分 因为，所以为等边三角形．‎ 因为平面，由（1）知，‎ 所以平面．‎ 因为平面，平面，所以且．‎ 在菱形中，．‎ 以，，为轴，建立坐标系如图则 ‎，则．…………………9分 设平面的法向量为，‎ 则即 则法向量． ……………10分 设平面的法向量为，‎ 则 ‎．…………………………………………11分 设二面角的大小为，由于为钝角，‎ 则．‎ 所以二面角的余弦值为．…………………………12分 ‎20．（1）设焦距为，则 解得，‎ ‎∴椭圆的方程为. ……………5分 ‎（2）设过椭圆的右焦点的直线的方程为，‎ 将其代入中得， ，‎ 设，则，……………7分 ‎∴，‎ ‎∵为线段的中点，∴点的坐标为，……………8分 又直线的斜率为，‎ 直线的方程为，……………9分 令得， ，由点的坐标为，……………10分 则，解得. ……………12分 ‎21，（1）,因为的定义域是，‎ ‎①当时，在，单调递增；在单调递减.‎ ‎②当时，，在单调递增.‎ ‎③当时， 在，单调递增；在单调递减.‎ ‎（2）由（2）可知当时，在单调递增，所以在单调递增.‎ 所以对于任意的的最大值为，‎ 要使不等式在上恒成立，须，‎ 记，因为，‎ 所以在上递增，的最大值为，所以.‎ 故的取值范围为.‎ ‎22．解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 因为，则曲线的参数方程．…………………2分 所以的普通方程为．………………………………………3分 所以为圆心在原点，半径为2的圆．……………………………………4分 所以的极坐标方程为，即．………………………………5分 ‎（2）解法1：直线的普通方程为．……………………………6分 曲线上的点到直线的距离 ‎．…………8分 当即时，取到最小值为．……9分 当即时，取到最大值为．…10分 解法2：直线的普通方程为．……………………………………………6分 因为圆的半径为2，且圆心到直线的距离，………………7分 因为，所以圆与直线相离．……………………………8分 所以圆上的点到直线的距离最大值为，最小值为．…10分 ‎23．解：（1）当时，．………………………………1分 ‎①当时，原不等式可化为，解得．………2分 ‎②当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解．……3分 ‎③当时，原不等式可化为，解得．…………………4分 综上可知，原不等式的解集为或．……………………………5分 ‎（2）解法1：①当时， ………………6分 所以函数的值域，‎ 因为，所以解得．……………………………7分 ‎②当时， …………………8分 所以函数的值域，‎ 因为，所以解得．……………………9分 综上可知，的取值范围是．………………………10分 解法2：因为，…………………7分 所以．‎ 所以函数的值域．…………………………8分 因为，所以解得或． ‎ 所以的取值范围是．………………………………10分