西南名校联盟2021届高三上学期12月高考适应性月考卷（五）理科数学试卷 Word版含答案

西南名校联盟2021届高三上学期12月高考适应性月考卷（五）理科数学试卷 Word版含答案

西南名校联盟 2021 届高三上学期 12 月高考适应性月考卷（五） 理科数学试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合 A＝{x||x|≤1，x∈Z}，则满足条件 BÜA 的集合 B 的个数为 A．3 B．4 C．7 D．8 2．已知函数 1 2( )f x x   ，则下列说法正确的是 A．f（x）的图象恒在 x 轴上方 B．f（x）的图象经过原点 C．f（x）是 R 上的减函数 D．f（x）是偶函数 3．已知如图的程序框图，则当输出的 y 的值为 8 时，输入的 x 的值为 A．-3，3，-1B．-1，-3C．-3D．-1 4．若 a  ，b  ， c  均为单位向量，且 a b  ， 1 3c a kb    （k＞0），则 k 的取值是 A． 1 3 B． 2 3 C． 6 3 D． 2 2 3 5．已知定义域为 R 的函数 f（x）的导函数图象如图，则关于以下函数值的大小关系，一定 正确的是 A．f（a）＞f（b）＞f（0） B．f（0）＜f（c）＜f（d） C．f（b）＜f（0）＜f（c） D．f（c）＜f（d）＜f（e） 6．已知曲线Γ： 2 2 12 3 x y    ，则以下判断错误的是 A．λ＜0 或λ＞3 时，曲线Γ一定表示双曲线 B．0＜λ＜3 时，曲线Γ一定表示椭圆 C．当λ＝-3 时，曲线Γ表示等轴双曲线 D．曲线Γ不能表示抛物线 7．4 名同学准备利用周末时间到敬老院、福利院、儿童医院三地进行志愿者活动，若要求 每个地方至少有一名同学，则不同的安排方法共有 A．72 种 B．64 种 C．36 种 D．24 种 8．九连环是我国民间的一种益智玩具，它蕴含着丰富的数学奥秘．假设从套环与套框完全 分离的状态出发，需经过 an 步演变，出现只穿有第 n 环的状态，则 an＋1＝2an＋1，且 a1＝1．则 从套环与套框完全分离的状态到套环均在套框上的状态，总共需要的演变步数为 a8＋1＋a6 ＋1＋a4＋1＋a2＋1＋1＝ A．345 B．344 C．341 D．340 9．如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 为棱 BC 的中点，用平行于体对角线 BD1 且 过点 A，M 的平面去截正方体 ABCD-A1B1C1D1，得到的截面的形状是 A．平行四边形 B．梯形 C．五边形 D．以上都不对 10．已知复数 z 满足|z|＝1，则|z＋1-2i|的最小值为 A． 5 1 B． 5 C．3 D．2 11．已知函数 f（x）＝cosx，若 x1， 2 ( ,0) (0, )4 4x     时，有 1 2 2 2 2 1 ( ) ( )f x f x x x  ，则 A．x1＞x2 B．x1＜x2C． 2 2 1 2x x D． 2 2 1 2x x 12．已知在三棱锥 P-ABC 中，PA＝PB， △ ABC 为锐角三角形，且点 P 在平面 ABC 上的投 影 O1 为 △ ABC 的垂心，O2 为 △ PAB 的重心．若二面角 P-AB-C 的余弦值为 1 3 ，且 1 2 2PO  ， 2 3PC  ，则 CO2＝ A． 2 2 B． 2 2 3 C．3 D．1 二、填空题（本大题共 4 小题） 13．已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的 4 倍，设随机变量 X 为他投篮一 次命中的个数，则 X 的期望是________． 14．在等差数列{an}中，a1＝10，令 Sn 为{an}的前 n 项和，若 S10S11＜0，则使得 an＞0 成立 的最大整数 n 为________． 15．已知双曲线 C： 2 2 2 2 1x y a b   （a＞0，b＞0），若其右焦点 F 关于直线 3 3y x 的对称点 在双曲线 C 的一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率为________． 16．在锐角 △ ABC 中， 4cos 5A  ，若点 P 为 △ ABC 的外心，且 AP xAB yAC    ，则 x＋y 的最大值为________． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．如图为函数 f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内的图象，其中点 M 是图象的 最高点，B，C 为图象与 x 轴的交点，且 OM⊥MB，点 B 为（4，0）． （1）求函数 f（x）的表达式； （2）若将 y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将图象向 左平移 1 个单位，得到函数 y＝g（x）的图象，求函数 g（x）在 R 上的单调减区间． 18．2021 年《联合国气候变化框架公约》第十五次缔约方会议（COP15）将在云南昆明举 行，大会的主题为“生态文明：共建地球生物共同体”．大绒鼠是中国的特有濒危物种，仅分 布在湖北、四川、云南等地．某校同学为探究大绒鼠的形态学指标与纬度、海拔和年平均温 度的关系，从德钦、香格里拉、丽江、剑川、哀牢山五个采样点收集了 50 只大绒鼠标本． （1）将五个采样地分别记作 A，B，C，D，E，各个采样地所含标本数量占总标本数量的 百分比如图甲所示．若先从来自于 A，C，D 的标本中随机选出两个进行研究，求这两个标 本来源于不同采样地的概率； （2）为研究大绒鼠体长与纬度的变化关系，收集数据后绘制了如图乙的散点图．由散点图 可看出体长 y 与纬度 x 存在线性相关关系，请根据下列统计量的值，求出 y 与 x 的线性回归 方程，并以此估计纬度为 30 度时，大绒鼠的平均体长． x y x y 2 x 5 1 i i i x y   5 2 1 i i x   27 36 972 729 5008.5 3600 参考公式：回归方程 ˆˆ ˆy a bx  中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 1 2 1 ( )( ) ˆ ( ) n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆˆa y bx  ． 19．已知曲线 C 是顶点为坐标原点 O，且开口向右的抛物线，曲线 C 上一点 A（x0，2）到 准线的距离为 5 2 ，且焦点到准线的距离小于 4． （1）求抛物线 C 的方程与点 A 的坐标； （2）若 MN，PQ 是过点（1，0）且互相垂直的 C 的弦，求四边形 MPNQ 的面积的最小值． 20．如图甲，三棱锥 P-ABD，Q-BCD 均为底面边长为 2 3 、侧棱长为 4 3 3 的正棱锥，且四 边形 ABCD 是边长为 2 3 的菱形（点 P，Q 在平面 ABCD 的同侧），AC，BD 交于点 O． （1）证明：平面 PQO⊥平面 ABCD； （2）如图乙，设 AP，CQ 的延长线交于点 M，求二面角 A-MB-C 的余弦值． 21．已知 ( ) (2 ln )f x x x  ，g（x）＝f（x）＋ax-3，其中 a∈（0，＋∞）． （1）判断 f（x）的单调性并求其最值； （2）若 g（x）存在极大值，求 a 的取值范围，并证明此时 g（x）的极大值小于 0． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程为 cos 1, sin , x y       （θ为参数）．若以原点 O 为 极点，以 x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2 sin( ) 14     ． （1）求出曲线 C 的极坐标方程； （2）若射线θ＝θ1 与曲线 C、直线 l 分别交于 A，B 两点，当 1 ( , )4 3    时，求|OA|·|OB|的 取值范围． 23．【选修 4-5：不等式选讲】 已知 a＋b＋c＝3． （1）若 c＝1，且 f（x）＝|x-a|＋|x-2b|≥2 恒成立，求 a 的取值范围； （2）证明：ab＋bc＋ca≤3． 西南名校联盟 2021 届高三上学期 12 月高考适应性月考卷（五） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A C D D B C C B A D A 【解析】 1．因为 { 1 0 1}A   ， ， ，所以满足条件 B AÜ 的集合 B 的个数为 32 1 7  ，故选 C． 2． 1 2 1( )f x x x    ， ( )f x 的定义域为 (0 ) ， ，因此 B，C，D 错误；又 ( ) 0f x  ，所以 ( )f x 的图象恒在 x 轴上方，A 正确，故选 A． 3．该程序框图对应的分段函数 2 9 0 1 0 x x y x x     ， ， ， ，≤ 当 8y  时， 0 9 8 x x     ， 或 2 0 1 8 x x     ≤ ， ， 解得 3x   ，故选 C． 4．因为 c  为单位向量，所以 2 2 2 22 21 1 2 1 13 9 3 9c a kb a ka b k b k                   ，又 0k  ，所 以 2 2 3k  ，故选 D． 5．由 ( )f x 的导函数图象可知， ( )f x 在 ( )a b， ， ( )c e， 上单调递增，在 ( )b c， 上单调递减， 所以 ( ) ( )f a f b ，A 错误； ( ) (0) ( )f b f f c  ，B，C 错误； ( ) ( ) ( )f c f d f e  ，D 正确， 故选 D． 6．对  ： 2 2 12 3 x y    ，当 2 (3 ) 0   ，即 0  或 3  时，曲线  表示双曲线，当 3   时， ： 2 2 16 6 y x  表示等轴双曲线，因为无论  取何值，曲线方程均只含 2x ， 2y 项与 常数项，因此 A，C，D 正确；当 1  时，  ： 2 2 2x y  表示圆，B 错误，故选 B． 7．由题意，三个地点中有一处为 2 人，其余均为 1 人，先按人数进行分组，共有 2 4C 种分法， 再将三组人分别安排到三个地方，总共有 2 3 4 3C A 36 种安排方法，故选 C． 8．由 1 2 1n na a   ，可得 1 1 2( 1)n na a    ，令 1n nb a  ，则{ }nb 为以 1 1a  为首项，2 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 所 以 1 2n n nb a   ， 则 8 6 4 8 6 4 21 1 1 1 1 2 2 2a a a a            22 1 341  ，故选 C． 9．如图 1，设截面为 ，设 BD AM O ，P 为 1DD 的靠近于 1D 的三等 分点，N为 1CC 的靠近于C的三等分点，由 1BD ∥ 可得平面 1BDD 与 的交线平行于 1BD ， 所以  平面 1DBD OP ，又平面 与两平行平面 1 1AA D D ， 1 1BB C C 的交线应互相平行， ∴  平面 1 1BB C C MN ，由 MN AP∥ 且 MN AP 可得截面 AMNP 为梯形，故选 B． 10．因为 2 2| | | i | 1z x y x y     ，所以 2 2 1x y  ，即 z 在复平面内表示圆 O： 2 2 1x y  上的点；又 2 2| 1 2i | | ( 1) ( 2)i | ( 1) ( 2)z x y x y          ，所以| 1 2i |z   表示圆 O 上的动点到定点 ( 1 2)A  ， 的距离，所以 min| 1 2i |z   为| | 5 1OA r   ，故选 A． 11．因为 1 2 0x x  ，所以 2 21 2 1 1 2 22 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )f x f x x f x x f xx x    ，令 2 2( ) ( ) cosg x x f x x x  ，则 ( )g x 为 偶 函 数 . 当 π0 4x     ， 时 ， 2( ) 2 cos sin (2cos sin )g x x x x x x x x x     ， 令 ( ) 2cosh x x  sinx x ，则 ( ) 3sin cosh x x x x    ，则 ( ) 0h x  在 π0 4      ， 上恒成立，所 以 ( )h x 在 π0 4      ， 上单调递减，又 π π 22 04 4 2h             ，所以 ( ) 0g x  在 π0 4x     ， 上 恒成立，所以 ( )g x 在 π0 4      ， 上单调递增 ．再结合 ( )g x 为偶函数，从而当 1x ， 2 π π0 04 4x           ， ， 且 1( )g x  2( )g x 时必有 1 2| | | |x x ，即 2 2 1 2x x 故选 D． 12．如图 2，延长 2PO 交 AB 于点 M，则 M 为 AB 的中点，且由 PA PB 可 得 PM AB ．又 1PO AB ，所以 AB  平面 1PMO ，所以 1MO AB . 所以二面角 P AB C  的平面角即为 1PMO ，又 1O 为 ABC△ 的垂心，所以点 C 在 1MO 的 延 长 线 上 . 因 为 1 1cos 3PMO  ， 所 以 1sin PMO  2 2 3 ， 1tan 2 2PMO  ． 又 1 2 2PO  ，所以 3PM  ， 1 1MO  ．又 2O 为△PAB 的重心，所以 2 1 13MO PM  ．设 图 2 图 1 MC x ，在△PMC 中，利用余弦定理，可得 29 2 12x x   ，所以 3MC x  ．再在 2O MC△ 中，利用余弦定理，可得 2 2 2CO  ，故选 A． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 0.8 5 2 5 9 【解析】 13．因为 ( 1) 0.8P X   ， ( 0) 0.2P X   ，所以 ( ) 0.8 1 0 0.8E X     ． 14．因为 1 10 10 5 6 10( ) 5( ) 02 a aS a a    ，所以 5 6 0a a  ．又 1 11 11 6 11( ) 11 02 a aS a   ， 所以 6 0a  ，所以 6 5 0 0 a a    ， ，所以使得 0na  成立的最大整数 n 为 5． 15．如图 3，设焦点 F 关于直线 3 3y x 的对称点为 P，C 的左焦点 为 F ，PF 与直线 3 3y x 的交点为 Q，则由 Q，O 分别为 PF， FF 的中点，可得 OQ PF∥ ，所以 90F PF OQF     ，则 OP OF ， 又 3tan 3QOF  ， 所 以 30QOF   ， 则 60POF   ．又因为 P 在渐近线上，所以 tan 3 bPOF a    ，所以 2 1 2be a       ． 16．方法一：不妨设△ABC 的外接圆半径为 5．如图 4，取点 (3 0)B ， ， ( 3 0)C  ， ， (0 9)Q ， ，并作△BQC 的外接圆 P⊙ ，则点 P 为 (0 4)， 则此时 BQC OPC   且 4cos 5OPC  ，所以 4cos 5A  当且 仅当点 A 是优弧 BC 上除 B，C 以外的点．当△ABC 为锐角三 角形时，过点 P 作 B C BC ∥ ，其中 B C  分别交 AB，AC 于点 B， C ，AP 的延长线交 BC 于点 R．设 AP x AB y AC       ，则由 B ，P， C 共线，可得 1x y   ． 设 | | | | | | | | | | | | AB AC AP kAB AC AR     ， 则 AP x AB y AC x k AB           y k AC xAB yAC     ，所以 x x k ， y y k ， ( )x y k x y k     ，所以为使 k 取最大 图 3 图 4 值，只需使 | | | | AP AR 最大．过 A 作 x 轴的垂线交 B C  ，BC 分别于点 M，N，则 | | | |=| | | | AP AM AR AN ， 又 | | | | | | | | | | AM AM AN AM MN   1 | |1 | | MN AM   ，所以当| | 5AM r  时， max | | 1 5 4| | 91 5 AP AR    ． 方 法 二 ： 作 出 △ ABC 的 外 接 圆 ， 则 由 AP xAB yAC    可 得 ( )AP x AP PB     ( )y AP PC  ，所以 (1 ) (*)x y AP xPB yPC      ，则1 0 1x y x y      ，设外接圆 的半径为 R，则对 (*) 两边平方可得 2 2 2 2 2 2 2(1 ) 2 cosx y R x R xyR BPC y R      ．又 2 7cos 2cos 1 25BPC A    ，所以上式整理可得 36 2 2 125 xy x y   ．因为 0x  ， 0y  ， 所以由均值不等式可得 2( ) 4 x yxy ≤ ．令 t x y  ，则 29 50 25 0t t  ≥ ，解得 5t≥ (舍去) 或 5 9t≤ ，其中“  ”成立当且仅当 x y ，所以 max 5( ) 9x y  ． 三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 解：（1）∵ OM MB ，又 C 为 OB 的中点， ∴ | || | | | 22 OBMC OC   ． 又| | | |OM MC ，∴△OMC 为边长为 2 的等边三角形， ∴ (1 3)M ， ， 3A  ． 又 2π 2π π 4 2T     ， ∴ π( ) 3sin 2f x x ． ………………………………………………………（6 分） （2） π π π( ) 3sin ( 1) 3sin4 4 4g x x x            ， 令 π π π 3π2 π 2 π( )2 4 4 2k x k k   Z≤ ≤ ， 得1 8 5 8 ( )k x k k   Z≤ ≤ ， ∴ ( )g x 在 R 上的单调减区间为[1 8 5 8 ]( )k k k   Z， ． ……………………………………………（12 分） 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）由题图甲可得 A，C，D 各含标本数量为 5，15，10． 设 P 为两个标本来源于不同采样地的概率， 则 1 1 1 1 1 1 5 15 5 10 15 10 2 30 C C C C C C 5 15 5 10 15 10 55 30 29C 87 2 P          ． ………………………………………………………（6 分） （2）由表格数据可得， 5 1 5 222 1 5 5008.5 5 972 29.7 3.33600 5 27 95 i i i i i x y x y b x x               ， ∴  36 3.3 27 125.1a y bx      ， ∴y 与 x 的线性回归方程是  3.3 125.1y x   ， ∴当 30x  时，  26.1y  ，即纬度为 30 度时，大绒鼠的平均体长为 26.1 厘米． ……………………………………………………（12 分） 19．（本小题满分 12 分） 解：（1）设抛物线的方程为 2 2 ( 0)y px p  ， ∵点 A 在抛物线上，∴ 0 0 24 2 px x p    ， ∴点 A 到准线的距离为 2 0 2 5 5 4 02 2 2 p px p pp         ， 解得 4p  (舍)或 1， ∴C： 2 2y x ， (2 2)A ， ． …………………………………………………（4 分） （2）设 MN： 1x my  ，代入抛物线的方程可得 2 2 2 0y my   ， 设 1 1( )M x y， ， 2 2( )N x y， ， 则 1 2 1 2 2 2 y y m y y      ， ， ∴ 2 2 2 2 1 2 1 2| | 1 ( ) 4 2 (1 )( 2)MN m y y y y m m       ． 又∵ PQ MN ， ∴PQ： 1 1x ym    ， ∴ 2 2 1 1| | 2 1 2PQ m m          ， ∴ 2 2 2 2 1 1 1| || | 2 (1 )( 2) 1 22MNPQS MN PQ m m m m            四边形 2 2 2 2 1 12 (1 ) 1 ( 2) 2m mm m               2 2 2 2 1 22 2 5 2m mm m      ． ∵ 2 2 1 2m m  ≥ ，其中“  ”成立当且仅当 2 1m  ， ∴ 2 4 9 12MNPQS  四边形 ≥ ， ∴当 1m   时， MNPQS四边形 取得最小值为 12． ………………………………（12 分） 20．（本小题满分 12 分） （1）证明：如图 5，连接 PO，OQ，PQ， ∵ PB PD ，O 为 BD 的中点，∴ PO DB ． 同理， QO DB ，又 PO OQ O ，PO， OQ  平面 POQ， ∴ BD  平面 POQ． 又 BD  平面 ABCD， ∴平面 POQ  平面 ABCD． ……………………………… （2）解：（法一：建系法）如图 6，分别过 P， Q 作平面 ABCD 的垂线，垂足分别为 1O ， 2O ， 则 1O ， 2O 在 AC 上，且 1O ， 2O 分别为 AO，OC 的三 等分点，且 1PO 2QO ， 1 1 2PO OO ， ∴四边形 1 2PO O Q 为矩形， ∴ PQ AC∥ ． 且 1 2 1 22 3 3PQ O O AO AO    ， ∴ 3 3 4 3 2 32 2 3MA MC AP     ． ∴ MO AC⊥ ，由（1）得 MO，OB，OC 两两垂直． 图 5 图 6 又 32 3 32AO    ， ∴ 2 2 3MO MA AO   ． 如图，以 O 为原点，分别以 OB，OC，OM 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 (0 3 0)A ， ， ， ( 3 0 0)B ， ， ， (0 3 0)C ， ， ， (0 0 3)M ， ， ， ∴ ( 3 3 0)AB  ， ， ， ( 3 0 3)MB   ， ， ， ( 3 3 0)BC   ， ， ． 设 1 1 1( )x y z  ， ， ， 2 2 2( )x y z  ， ， 分别为平面 AMB 与平面 MBC 的法向量， 则 1 1 1 1 3 3 0 ( 3 1 3) 3 3 0 x y x z          ， ， ， ， 2 2 2 2 3 3 0 ( 3 1 3) 3 3 0 x y x z         ， ，， ． 设 为二面角 A MB C  的平面角， 由于 ，  均指向半平面的外部， ∴ 5cos cos 7| || |                   ， ． ………………………………………………………（12 分） （2）（法二：定义法）分别过 P，Q 作平面 ABCD 的垂线，垂足分别为 1O ， 2O ， 则 1O ， 2O 在 AC 上，且 1O ， 2O 分别为 AO，OC 的三等分点， 且 1PO 2QO ， 1 1 2PO OO ， ∴四边形 1 2PO O Q 为矩形， ∴ PQ AC∥ ． 且 1 2 1 22 3 3PQ O O AO AO    ， ∴ 3 3 4 3 2 32 2 3MA MC AP     ， ∴ MA AB BC CM   ． 取 MB 的中点 E，则 AE MB ， CE MB ， ∴ AEC 为二面角 A MB C  的平面角． 又 32 3 32AO    ， ∴ 2 2 3MO MA AO   ． 又 3OB  ，∴ 2 2 6MB OB OM   ， ∴ 2 2 2 6 4212 2 2AE AM ME CE           ． 又 2 6AC AO  ， 2 2 2 42 36 52cos 422 7 2 AE EC ACAEC AE EC        ． ……………………………………………（12 分） 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）∵ 1 1 ln( ) (2 ln ) 2 2 xf x x x xx x       ， ∴当 (0 1)x ， 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递增； 当 (1 )x  ， 时， ( ) 0f x  ， ( )f x 单调递减， ∴ max( ) (1) 2f x f  ，且 ( )f x 无最小值． …………………………………………………（4 分） （2） ( ) (2 ln ) 3g x x x ax    ， 令 t x ，则 2x t ， ∴ (2 ln ) 3x x ax    22 2 ln 3t t t at   ． 令 2( ) 2 2 ln 3t t t t at     ， ∵函数 t x 是 (0 ) ， 上的单调递增函数， ∴由复合函数的单调性可知， ( )g x 存在极大值 ( )t 存在极大值， 且 ( )g x 取到极大值 0( ) ( )g x t 取到极大值 0( )t ， 其中 0 0t x ，且 0 0( ) ( )g x t ． ∵ ( ) 2 2ln 2 2 2ln 2t t at t at        ， ∴ 2 2 2( ) 2 att at t        ， ∴ 10t a     ， 时， ( ) 0t  ， ( )t 单调递减； 1t a       ， 时， ( ) 0t  ， ( )t 单调递增， ∴ min 1( ) 2ln 2 2(ln 1)t a aa            ． ①当 1 ea≥ 时， 1 0a      ≥ ，则 ( ) 0t ≥ 在 (0 ) ， 上恒成立， ∴ ( )t 在 (0 ) ， 上单调递增，则 ( )t 无极值点； ②当 10 ea  时， 1 ea  ，取 11 a  ， 1e a  ， 有 (1) 2 0a   ， (e) 2 2 e 2 2 0a        ， ∴ ( )t 在 (1 e)， 上有唯一零点，设为 0t ，且 0(1 )t t ， 时， ( ) 0t  ， 0(1 )t t ， 时， ( ) 0t  ， ∴当 10 ea  时， ( )t 在 (0 ) ， 上有唯一的极大值点 0( )t ． ………………………………………………（8 分） ∵ 0 0 0( ) 2ln 2 0t t at     ， ∴ 0 0lnt at ， ∴ 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( ) 2 2 ln 3 2 2 ln ln 3t t t t at t t t t t          0 0 02 ln 3t t t  ， 令 ( ) 2 ln 3m t t t t   ， 则 ( ) 2 ln 1 ln 1m t t t       ， ∴ ( )m t 在 (0 e)， 上单调递增． 又 (e) 2e e 3 e 3 0m       ， ∴ 0( ) 0t  ， 即 ( )t 的极大值小于 0， 综上，有 10 ea  时， ( )g x 存在极大值，且此时 ( )g x 的极大值小于 0． ………………………………………………………（12 分） 22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】 解：（1）由条件可得 cos 1x   ， siny  ， 又 2 2cos sin 1   ，∴ 2 2( 1) 1x y   ， 即 2 2 2 0x y x   为曲线 C 的普通方程， 将 2 2 2 cos sin x y x y             ， ， ， 代入 C 的普通方程，可得 2 2 cos 0    ， 即 2cos  为曲线 C 的极坐标方程． …………………………………………………（5 分） （2）将 1  分别代入曲线 C 与直线 l 的极坐标方程， 可得 1| | 2cosAOA    ， 1 1 1 1 1| | π 2(sin cos )2sin 4 BOB            ， ∴ 1 11 1 2cos 1| | | | 2 tan 12(sin cos ) OA OB       ． 又 1 π π 4 3      ， ， ∴ 1tan (1 3)  ， ， ∴ 6 2 2| | | | 2 2OA OB       ， ． ………………………………………………………………（10 分） 23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】 （1）解：若 1c  ，则 2a b  ， 2b a  ， ∴ ( ) | | | 2 | | | | 4 2 |f x x a x b x a x a         ， 由绝对值三角不等式可得， ( ) | ( ) ( 4 2 ) | | 4 3 |f x x a x a a     ≥ ， 其中“  ”成立当且仅当 ( )( 4 2 ) 0x a x a   ≤ ， ∴ min( ) | 4 3 |f x a  ， ∴ ( ) | | | 2 | 2 | 4 3 | 2f x x a x b a     ≥ ≥ ， ∴ 4 3 2a ≥ 或 4 3 2a ≤ ，即 2 3a≤ 或 2a ≥ ． ………………………（5 分） （2）证明：∵ 2 2 2a b ab ≥ ， 2 2 2b c bc ≥ 2 2 2c a ca ≥ ， ∴ 2 2 22( ) 2( )a b c ab bc ca   ≥ ， ∴ 2 2 2a b c ab bc ca   ≥ ， 2 2 2 2( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca        ≥ 3( )ab bc ca  ， ∴ 2( ) 33 a b cab bc ca    ≤ ， 其中“  ”当且仅当 1a b c   ． ………………………………………………（10 分）