2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

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2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

‎2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学(理)试题 一、单选题 ‎1.已知为虚数单位,复数,则以下为真命题的是( )‎ A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】,的共轭复数为,的虚部为, ,在复平面内对应的点为,故选D.‎ ‎2.设,,都是正数,则三个数,,( )‎ A. 都大于2 B. 至少有一个大于2‎ C. 至少有一个不小于2 D. 至少有一个不大于2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:利用均值不等式,求解,即可得到结论.‎ 详解:由题意 都是正数,‎ 则,‎ 当且仅当时,等号是成立的,‎ 所以中至少有一个不小于,故选C.‎ 点睛:本题主要考查了均值不等式的应用,其中解答中构造均值不等式的条件是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.‎ ‎3.当在上变化时,导函数的符号变化如下表:‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 则函数的图像大致形状为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:根据上表中导函数的取值,得到函数的单调性,即可选出图象.‎ 详解:由上表可知,‎ 当时,,所以函数在单调递减;‎ 当时,,所以函数在单调递增,‎ 所以函数如选项C所示,故选C.‎ 点睛:本题主要考查了函数的导数与函数图象的关系,正确理解导函数与原函数的关系是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎4.直线与曲线相切于点,则的值为( )‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由直线与曲线相切于点,‎ ‎ 则点满足直线的方程,即,即 由,则,则,解得,故选A.‎ ‎5.已知函数在处取得极大值10,则的值为( )‎ A. B. C. -2或 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:由函数,求得,根据函数在处取得极大值,‎ 得方程组,即可求解的值,进而得到的值.‎ 详解:由函数,可得,‎ 因为函数在处取得极大值,‎ 则,即,解得或,‎ 经验证,当时,时取得极小值,不符合题意(舍去)‎ 所以,故选B.‎ 点睛:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用,其中利用题设条件,列出方程组是解答的关键,其中对的值进行验证是解答的一个易错点,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.‎ ‎6.利用数学归纳法证明不等式(,)的过程中,由变到时,左边增加了( )‎ A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析:时左面为,时左面为,所以增加的项数为 ‎【考点】数学归纳法 ‎7.若曲线与曲线在交点处由公切线,则( )‎ A. -1 B. 0 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:由曲线与曲线在交点出有公切线,根据斜率相等,求解,根据点在曲线上,求得,进而求得的值,即可求解.‎ 详解:由曲线,得,则,‎ 由曲线,得,则,‎ 因为曲线与曲线在交点出有公切线,‎ 所以,解得,‎ 又由,即交点为,‎ 将代入曲线,得,所以,故选D.‎ 点睛:本题主要考查了导数的几何意义的应用,其中解答中根据在点处的公切线,建立方程求解是解答的关键,,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.‎ ‎8.若函数()有最大值-4,则的值是( )‎ A. 1 B. -1 C. 4 D. -4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:由函数,得,要使得函数有最大值,则,进而得函数的单调性,得当时,函数取得最大值,即可求解.‎ 详解:由函数,则,‎ 要使得函数有最大值,则,‎ 则当时,,函数在上单调递增,‎ 当时,,函数在上单调递减,‎ 所以当时,函数取得最大值,即,‎ 解得,故选B.‎ 点睛:本题主要考查了导数在函数问题中的应用,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性,利用导数求解函数的最值等知识点的综合运用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.‎ ‎9.函数在上有最小值,则实数的范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:由函数,得,得到函数的单调性,再由,令,解得或,结合函数的图象,即可求解实数的取值范围;‎ 详解:由函数,得,‎ 当时,,所以在区间单调递增,‎ 当时,,所以在区间单调递减,‎ 又由,令,即,解得或,‎ 要使得函数在上有最小值,‎ 结合函数的图象可得,实数的取值范围是,故选C.‎ 点睛:本题主要考查了导数在函数中的应用,其中解答中利用导数研究函数的单调性和极值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.‎ ‎10.将正奇数1,3,5,7,…排成五列(如下表),按此表的排列规律,2019所在的位置是( )‎ A. 第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列 ‎【答案】C ‎【解析】分析:由题意,得数字是第个奇数,又由数表可知,每行个数字,得第个奇数位于第行的第2个数,即可判定,得到结论.‎ 详解:由题意,令,解得,即数字是第个奇数,‎ 又由数表可知,每行个数字,则,‎ 则第个奇数位于第行的第2个数,所以位于第三列,故选C.‎ 点睛:本题主要考查了归纳推理和数列知识的应用,其中认真审题,读懂题意是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.‎ ‎11.设定义在上的函数的导函数满足,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析:由题意的,设,则,‎ 所以函数在上为单调递增函数,由,即可得到结果.‎ 详解:由定义在上的函数的导函数满足,‎ 则,即,‎ 设,则,‎ 所以函数在上为单调递增函数,‎ 则,即,所以,故选A.‎ 点睛:本题主要考查了函数值的比较大小问题,其中解答中根据题意构造新函数,利用导数得到新函数的单调性,利用单调性比较是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.‎ ‎12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步,然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点,面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标,且记,则下列结论中错误的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:由题意,按“前进步,然后再后退步”的步骤,发现机器人每秒为周期的移动方式,解出相应的数值,根据规律推导,即可得到结果.‎ 详解:由题意可知,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步,然后再后退步的规律移动,所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式,且每秒前进个单位,‎ 所以是正确的;‎ 由,,‎ 所以是正确的;‎ 由,,‎ 所以是不正确,故选D.‎ 点睛:本题主要考查了数列的实际应用问题,其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期,且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键,同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.‎ 二、填空题 ‎13.__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:先根据定积分的几何意义求出,再根据定积分计算出的值,即可求解结果.‎ 详解:因为表示以为圆心,以为半径的圆的四分之一,‎ 所以,‎ 所以.‎ 点睛:本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用,其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ ‎14.我们知道,在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值,‎ 如图,不妨设O为正四面体ABCD外接球球心,F为CD中点,E为A在平面BCD上的射影 ,由棱长为a可以得到BF=a,BO=AO=a-OE,在直角三角形中,根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2,把数据代入得到OE=a,所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×a=a ‎15.已知函数(),若函数在上为单调函数,则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】∪[1,+∞)‎ ‎【解析】分析:求出原函数的导数,由函数在上为单调函数,得到时,或恒成立,分类参数引入新函数,即可求解.‎ 详解:由函数,得,‎ 因为函数在上为单调函数,所以时,或恒成立,‎ 即或在上恒成立,且,‎ 设,‎ 因为函数在上单调递增,所以或,‎ 解得或,即实数的取值范围是.‎ 点睛:本题主要考查了导数在函数中的应用,以及函数的恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.‎ ‎16.定义:如果函数在区间上存在,(),满足,,则称函数在区间上市一个双中值函数,已知函数是区间上的双中值函数,则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:根据题意得到,即方程在区间上有两个解,利用二次函数的性质即可求出的取值范围.‎ 详解:因为,所以,‎ 因为函数是区间上的双中值函数,‎ 所以区间上存在满足,‎ 所以方程在区间上有两个不相等的解,‎ 令,‎ 则,解得,所以实数的取值范围是.‎ 点睛:本题主要考查了函数的解得个数问题的应用,考查了导数在函数中的综合应用,把函数是区间上的双中值函数,方程在区间上有两个不相等的解是解答关键,着重考查了转化与化归思想,及函数与方程思想与推理与论证能力,试题有一定难度,属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17.已知是虚数单位,复数满足.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若复数的虚部为2,且是实数,求.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析:(1)根据题意,利用复数的除法运算,求解复数,进而求得复数的模;‎ ‎(2)设,由是实数,求解的值,即可求解复数.‎ 详解:(1).‎ ‎(2)设,‎ 则,‎ 是实数∴.‎ ‎∴.‎ 点睛:本题主要考查了复数的四则运算及复数相等、复数的模等问题,其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.‎ ‎18.设点在曲线上,从原点向移动,如果直线,曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为,,如图所示.‎ ‎(1)当时,求点的坐标;‎ ‎(2)当有最小值时,求点的坐标.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】分析:(1)设点的横坐标为,得点的坐标,利用定积分求解,利用,求得的值,即可求得点的坐标.‎ ‎(2)由(1)可求当,化简后,为的函数,再利用导数求得的最小值.‎ 详解:(1)设点P的横坐标为t(0<t<2),则P点的坐标为(t,t2),‎ 直线OP的方程为y=tx S1=∫0t(tx﹣x2)dx=,S2=∫t2(x2﹣tx)dx=,‎ 因为S1=S2,,所以,点P的坐标为 ‎(2)S=S1+S2=‎ S′=t2﹣2,令S'=0得t2﹣2=0,t=‎ 因为0<t<时,S'<0;<t<2时,S'>0‎ 所以,当t=时,S1+S2有最小值,P点的坐标为.‎ 点睛:本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.‎ ‎19.已知函数在与时都取得极值.‎ ‎(1)求,的值与函数的单调区间;‎ ‎(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析;(2).‎ ‎【解析】分析:(1)由,求得,由,求得的值,得到函数的解析式,利用导数即可求解函数的单调区间.‎ ‎(2)由题意,设,分和两种情况分类讨论,即可求解实数的取值范围.‎ 详解:(1)‎ 由,得 ‎,‎ 随着变化时,的变化情况如下表:‎ 极大值 ¯ 极小值 所以函数的递增区间是与,递减区间是;‎ ‎(2),‎ 当时,由(1)知在上的最大值为 所以只需要,得 当时,由(1)知在上的最大值为 所以只需要,解得 所以 综上所述,的取值范围为 点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,以及恒成立问题的奇迹诶,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用.‎ ‎20.已知数列,,…,,为该数列的前项和.‎ ‎(1)计算,,,;‎ ‎(2)根据计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】(1);(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析:‎ ‎(1)由题中所给的条件计算可得: ;‎ ‎(2)由题意归纳推理猜想,然后利用数学归纳法证得该结论成立即可.‎ 试题解析:‎ ‎(1).‎ ‎(2)猜想,‎ 用数学归纳法证明如下:‎ ‎①当时,,猜想成立;‎ ‎② 假设当时,猜想成立,即,‎ 当时,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故当时,猜想成立.‎ 由①②可知,对于任意的,都成立.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)证明;‎ ‎(2)如果对恒成立,求的范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2).‎ ‎【解析】分析:(1)由题意,求得,又由,即可证得;‎ 由题意知恒成立,设,求得,可分和 两种情况分类讨论,即可求解的取值范围.‎ 详解:(1)证明:‎ 故 由题意知恒成立,‎ 设,则 ‎,‎ 符合题意 ‎ ,‎ 即 ,‎ ‎ 单调递减,‎ 不合题意,‎ 综上,的取值范围为.‎ 点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,其中利用导数求函数的单调性与最值(极值),是解决函数的恒成立与有解问题常考点,同时注意数形结合思想的应用.‎ ‎22.已知函数(为自然对数的底数).‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)设函数,存在实数, ,使得成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;(2).‎ ‎【解析】分析:(1)确定函数的定义域,求到数,利用导数的正负,即可求解函数的单调区间;‎ ‎(2)假设存在,使得成立,则,分类讨论求最值,即可求实数的取值范围.‎ 详解:(1)∵函数的定义域为R,f′(x)=-,‎ ‎∴当x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0,‎ ‎∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.‎ ‎(2)存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.‎ ‎∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=,‎ ‎∴.‎ ‎①当t≥1时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减,∴2φ(1)<φ(0),即t>3->1;‎ ‎②当t≤0时,φ′(x)>0,φ(x)在[0,1]上单调递增,∴2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0;‎ ‎③当00,φ(x)在(t,1)上单调递增,∴2φ(t)
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