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2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学(理)试题 一、单选题 1.已知为虚数单位,复数,则以下为真命题的是( ) A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】,的共轭复数为,的虚部为, ,在复平面内对应的点为,故选D. 2.设,,都是正数,则三个数,,( ) A. 都大于2 B. 至少有一个大于2 C. 至少有一个不小于2 D. 至少有一个不大于2 【答案】C 【解析】分析:利用均值不等式,求解,即可得到结论. 详解:由题意 都是正数, 则, 当且仅当时,等号是成立的, 所以中至少有一个不小于,故选C. 点睛:本题主要考查了均值不等式的应用,其中解答中构造均值不等式的条件是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力. 3.当在上变化时,导函数的符号变化如下表: 1 4 - 0 + 0 - 则函数的图像大致形状为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:根据上表中导函数的取值,得到函数的单调性,即可选出图象. 详解:由上表可知, 当时,,所以函数在单调递减; 当时,,所以函数在单调递增, 所以函数如选项C所示,故选C. 点睛:本题主要考查了函数的导数与函数图象的关系,正确理解导函数与原函数的关系是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力. 4.直线与曲线相切于点,则的值为( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 由直线与曲线相切于点, 则点满足直线的方程,即,即 由,则,则,解得,故选A. 5.已知函数在处取得极大值10,则的值为( ) A. B. C. -2或 D. -2 【答案】B 【解析】分析:由函数,求得,根据函数在处取得极大值, 得方程组,即可求解的值,进而得到的值. 详解:由函数,可得, 因为函数在处取得极大值, 则,即,解得或, 经验证,当时,时取得极小值,不符合题意(舍去) 所以,故选B. 点睛:本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用,其中利用题设条件,列出方程组是解答的关键,其中对的值进行验证是解答的一个易错点,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 6.利用数学归纳法证明不等式(,)的过程中,由变到时,左边增加了( ) A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项 【答案】D 【解析】试题分析:时左面为,时左面为,所以增加的项数为 【考点】数学归纳法 7.若曲线与曲线在交点处由公切线,则( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】分析:由曲线与曲线在交点出有公切线,根据斜率相等,求解,根据点在曲线上,求得,进而求得的值,即可求解. 详解:由曲线,得,则, 由曲线,得,则, 因为曲线与曲线在交点出有公切线, 所以,解得, 又由,即交点为, 将代入曲线,得,所以,故选D. 点睛:本题主要考查了导数的几何意义的应用,其中解答中根据在点处的公切线,建立方程求解是解答的关键,,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 8.若函数()有最大值-4,则的值是( ) A. 1 B. -1 C. 4 D. -4 【答案】B 【解析】分析:由函数,得,要使得函数有最大值,则,进而得函数的单调性,得当时,函数取得最大值,即可求解. 详解:由函数,则, 要使得函数有最大值,则, 则当时,,函数在上单调递增, 当时,,函数在上单调递减, 所以当时,函数取得最大值,即, 解得,故选B. 点睛:本题主要考查了导数在函数问题中的应用,其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性,利用导数求解函数的最值等知识点的综合运用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 9.函数在上有最小值,则实数的范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:由函数,得,得到函数的单调性,再由,令,解得或,结合函数的图象,即可求解实数的取值范围; 详解:由函数,得, 当时,,所以在区间单调递增, 当时,,所以在区间单调递减, 又由,令,即,解得或, 要使得函数在上有最小值, 结合函数的图象可得,实数的取值范围是,故选C. 点睛:本题主要考查了导数在函数中的应用,其中解答中利用导数研究函数的单调性和极值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 10.将正奇数1,3,5,7,…排成五列(如下表),按此表的排列规律,2019所在的位置是( ) A. 第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列 【答案】C 【解析】分析:由题意,得数字是第个奇数,又由数表可知,每行个数字,得第个奇数位于第行的第2个数,即可判定,得到结论. 详解:由题意,令,解得,即数字是第个奇数, 又由数表可知,每行个数字,则, 则第个奇数位于第行的第2个数,所以位于第三列,故选C. 点睛:本题主要考查了归纳推理和数列知识的应用,其中认真审题,读懂题意是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 11.设定义在上的函数的导函数满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:由题意的,设,则, 所以函数在上为单调递增函数,由,即可得到结果. 详解:由定义在上的函数的导函数满足, 则,即, 设,则, 所以函数在上为单调递增函数, 则,即,所以,故选A. 点睛:本题主要考查了函数值的比较大小问题,其中解答中根据题意构造新函数,利用导数得到新函数的单调性,利用单调性比较是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步,然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点,面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标,且记,则下列结论中错误的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:由题意,按“前进步,然后再后退步”的步骤,发现机器人每秒为周期的移动方式,解出相应的数值,根据规律推导,即可得到结果. 详解:由题意可知,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步,然后再后退步的规律移动,所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式,且每秒前进个单位, 所以是正确的; 由,, 所以是正确的; 由,, 所以是不正确,故选D. 点睛:本题主要考查了数列的实际应用问题,其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期,且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键,同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 二、填空题 13.__________. 【答案】 【解析】分析:先根据定积分的几何意义求出,再根据定积分计算出的值,即可求解结果. 详解:因为表示以为圆心,以为半径的圆的四分之一, 所以, 所以. 点睛:本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用,其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 14.我们知道,在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,类比上述结论,在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________. 【答案】 【解析】类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值,得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值, 如图,不妨设O为正四面体ABCD外接球球心,F为CD中点,E为A在平面BCD上的射影 ,由棱长为a可以得到BF=a,BO=AO=a-OE,在直角三角形中,根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2,把数据代入得到OE=a,所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×a=a 15.已知函数(),若函数在上为单调函数,则的取值范围是__________. 【答案】∪[1,+∞) 【解析】分析:求出原函数的导数,由函数在上为单调函数,得到时,或恒成立,分类参数引入新函数,即可求解. 详解:由函数,得, 因为函数在上为单调函数,所以时,或恒成立, 即或在上恒成立,且, 设, 因为函数在上单调递增,所以或, 解得或,即实数的取值范围是. 点睛:本题主要考查了导数在函数中的应用,以及函数的恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用. 16.定义:如果函数在区间上存在,(),满足,,则称函数在区间上市一个双中值函数,已知函数是区间上的双中值函数,则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】分析:根据题意得到,即方程在区间上有两个解,利用二次函数的性质即可求出的取值范围. 详解:因为,所以, 因为函数是区间上的双中值函数, 所以区间上存在满足, 所以方程在区间上有两个不相等的解, 令, 则,解得,所以实数的取值范围是. 点睛:本题主要考查了函数的解得个数问题的应用,考查了导数在函数中的综合应用,把函数是区间上的双中值函数,方程在区间上有两个不相等的解是解答关键,着重考查了转化与化归思想,及函数与方程思想与推理与论证能力,试题有一定难度,属于中档试题. 三、解答题 17.已知是虚数单位,复数满足. (1)求; (2)若复数的虚部为2,且是实数,求. 【答案】(1);(2). 【解析】分析:(1)根据题意,利用复数的除法运算,求解复数,进而求得复数的模; (2)设,由是实数,求解的值,即可求解复数. 详解:(1). (2)设, 则, 是实数∴. ∴. 点睛:本题主要考查了复数的四则运算及复数相等、复数的模等问题,其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力. 18.设点在曲线上,从原点向移动,如果直线,曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为,,如图所示. (1)当时,求点的坐标; (2)当有最小值时,求点的坐标. 【答案】(1);(2). 【解析】分析:(1)设点的横坐标为,得点的坐标,利用定积分求解,利用,求得的值,即可求得点的坐标. (2)由(1)可求当,化简后,为的函数,再利用导数求得的最小值. 详解:(1)设点P的横坐标为t(0<t<2),则P点的坐标为(t,t2), 直线OP的方程为y=tx S1=∫0t(tx﹣x2)dx=,S2=∫t2(x2﹣tx)dx=, 因为S1=S2,,所以,点P的坐标为 (2)S=S1+S2= S′=t2﹣2,令S'=0得t2﹣2=0,t= 因为0<t<时,S'<0;<t<2时,S'>0 所以,当t=时,S1+S2有最小值,P点的坐标为. 点睛:本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力. 19.已知函数在与时都取得极值. (1)求,的值与函数的单调区间; (2)若对,不等式恒成立,求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析;(2). 【解析】分析:(1)由,求得,由,求得的值,得到函数的解析式,利用导数即可求解函数的单调区间. (2)由题意,设,分和两种情况分类讨论,即可求解实数的取值范围. 详解:(1) 由,得 , 随着变化时,的变化情况如下表: 极大值 ¯ 极小值 所以函数的递增区间是与,递减区间是; (2), 当时,由(1)知在上的最大值为 所以只需要,得 当时,由(1)知在上的最大值为 所以只需要,解得 所以 综上所述,的取值范围为 点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,以及恒成立问题的奇迹诶,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行:(1)考查导数的几何意义,求解曲线在某点处的切线方程;(2)利用导数求函数的单调区间,判断单调性;已知单调性,求参数;(3)利用导数求函数的最值(极值),解决函数的恒成立与有解问题,同时注意数形结合思想的应用. 20.已知数列,,…,,为该数列的前项和. (1)计算,,,; (2)根据计算结果,猜想的表达式,并用数学归纳法证明. 【答案】(1);(2)答案见解析. 【解析】试题分析: (1)由题中所给的条件计算可得: ; (2)由题意归纳推理猜想,然后利用数学归纳法证得该结论成立即可. 试题解析: (1). (2)猜想, 用数学归纳法证明如下: ①当时,,猜想成立; ② 假设当时,猜想成立,即, 当时, 故当时,猜想成立. 由①②可知,对于任意的,都成立. 21.已知函数. (1)证明; (2)如果对恒成立,求的范围. 【答案】(1)证明见解析;(2). 【解析】分析:(1)由题意,求得,又由,即可证得; 由题意知恒成立,设,求得,可分和 两种情况分类讨论,即可求解的取值范围. 详解:(1)证明: 故 由题意知恒成立, 设,则 , 符合题意 , 即 , 单调递减, 不合题意, 综上,的取值范围为. 点睛:本题主要考查导数在函数中的应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,其中利用导数求函数的单调性与最值(极值),是解决函数的恒成立与有解问题常考点,同时注意数形结合思想的应用. 22.已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的单调区间; (2)设函数,存在实数, ,使得成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减;(2). 【解析】分析:(1)确定函数的定义域,求到数,利用导数的正负,即可求解函数的单调区间; (2)假设存在,使得成立,则,分类讨论求最值,即可求实数的取值范围. 详解:(1)∵函数的定义域为R,f′(x)=-, ∴当x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0, ∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. (2)存在x1,x2∈[0,1],使得2φ(x1)<φ(x2)成立,则2[φ(x)]min<[φ(x)]max. ∵φ(x)=xf(x)+tf′(x)+e-x=, ∴. ①当t≥1时,φ′(x)≤0,φ(x)在[0,1]上单调递减,∴2φ(1)<φ(0),即t>3->1; ②当t≤0时,φ′(x)>0,φ(x)在[0,1]上单调递增,∴2φ(0)<φ(1),即t<3-2e<0; ③当0查看更多
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