【数学】2019届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

【数学】2019届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎【考点梳理】‎ ‎1．简单的逻辑联结词 ‎(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．‎ ‎(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断 p q p∧q p∨q p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 ‎ 真 假 假 假 假 真 ‎2.全称量词与存在量词 ‎(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．‎ ‎(2)全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题．‎ 全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”简记为∀x∈M，p(x)．‎ ‎(3)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．‎ ‎(4)特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题．特称命题“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”，简记为∃x0∈M，p(x0)．‎ ‎3．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∃x0∈M，p(x0)‎ ‎∀x∈M， p(x)‎ ‎【考点突破】‎ 考点一、含有逻辑联结词的命题的真假判断 ‎【例1】(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若>，则x3；命题q：∀x∈(2，＋∞)，x2>2x，则下列命题为真的是(　　)‎ A．p∧(q) B．(p)∧q C．p∧q D．(p)∨q ‎[答案] (1)C (2)A ‎[解析] (1) 由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③q为真命题，则p∧(q)为真命题；④p为假命题，则(p)∨q为假命题．‎ ‎(2) 对于命题p，当x0＝4时，x0＋＝>3，故命题p为真命题；对于命题q，当x＝4时，24＝42＝16，即∃x0∈(2，＋∞)，使得2x0＝x成立，故命题q为假命题，所以p∧(q)为真命题，故选A.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 ‎2.p且q形式是“一假必假，全真才真”，p或q形式是“一真必真，全假才假”，非p则是“与p的真假相反”.‎ ‎【对点训练】‎ ‎1.已知命题p：a2≥0(a∈R)，命题q：函数f(x)＝x2－x在区间[0，＋∞)上单调递增，则下列命题：‎ ‎①p∨q；②p∧q；③(p)∧(q)；④(p)∨q.‎ 其中为假命题的序号为________．‎ ‎[答案] ②③④‎ ‎[解析] 显然命题p为真命题，p为假命题．‎ ‎∵f(x)＝x2－x＝2－，‎ ‎∴函数f(x)在区间上单调递增．‎ ‎∴命题q为假命题，q为真命题．‎ ‎∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，(p)∧(q)为假命题，(p)∨q为假命题．‎ ‎2.若命题p：∀x∈R，log2x＞0，命题q：∃x0∈R，2x0＜0，则下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∨(q) B．p∧q C．(p)∧q D．p∨q ‎[答案] A ‎[解析] 命题p和命题q都是假命题，则命题p和命题q都是真命题，故选A.‎ 考点二、全称命题、特称命题 ‎【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则p为(　　)‎ A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n ‎(2)下列命题中，为真命题的是(　　)‎ A．∀x∈(0，＋∞)，x2>1‎ B．∃x0∈(1，＋∞)，lg x0＝－x0‎ C．∀a∈(0，＋∞)，a2>a D．∃a0∈(0，＋∞)，x2＋a0>1对x∈R恒成立 ‎[答案] (1) C　(2) D ‎[解析] (1)命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”，∴p：∀n ‎∈N，n2≤2n.‎ ‎(2)对于A，当x＝1时不成立；‎ 对于B，当x∈(1，＋∞)时，lg x>0，而－x<0，不成立；‎ 对于C，当a＝1时不成立；‎ 对于D，∃a0＝2∈(0，＋∞)，x2＋a0＝x2＋2>1对x∈R恒成立，正确．故选D.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1. 命题否定2步操作 ‎(1)改写量词：找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词．‎ ‎(2)否定结论：对原命题的结论进行否定．‎ ‎2．真假判断注意特例 全称命题与特称命题的真假判断要注意“特例”的作用，说明全称命题为假命题，只需给出一个反例；说明特称命题为真命题，只需找出一个正例．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．命题p：∀x<0，x2≥2x，则命题p为(　　)‎ A．∃x0<0，x≥2x0 B．∃x0≥0，x<2x0‎ C．∃x0<0，x<2x0 D．∃x0≥0，x≥2x0‎ ‎[答案] C ‎[解析] 全称命题的否定，应先改写量词，再否定结论，∴p：∃x0<0，x<.‎ ‎2．以下四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2，其中真命题的个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎[答案] A ‎[解析] ∵＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①‎ 为假命题；当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题；④中，当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2；则④为假命题.‎ 考点三、由命题的真假求参数的取值范围 ‎【例3】(1)已知命题“∃x0∈R，使2x＋(a－1)x0＋≤‎0”‎是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1) B．(－1，3)‎ C．(－3，＋∞) D．(－3，1)‎ ‎(2)命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝(3－‎2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为________．‎ ‎[答案] (1)B　(2) (－∞，－2]∪[1，2)‎ ‎[解析]　(1)原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋＞0，由题意知，为真命题，‎ 则Δ＝(a－1)2－4×2×＜0，‎ 则－2＜a－1＜2，则－1＜a＜3，‎ ‎∴实数a的取值范围为(－1，3).‎ ‎(2) p为真：Δ＝‎4a2－16<0，解得－21，解得a<1.‎ ‎∵p或q为真，p且q为假，∴p，q一真一假．‎ 当p真q假时，⇒1≤a<2；‎ 当p假q真时，⇒a≤－2.‎ ‎∴实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[1，2)．‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．由真假求参要转化 含量词的命题的真假求参数取值问题，关键是根据量词等价转化相应的命题，一般要将其转化为恒成立或有解问题，进而根据相关知识确定对应条件．‎ ‎2．根据命题的真假求参数的取值范围的步骤 ‎(1)求出当命题p，q为真命题时所含参数的取值范围；‎ ‎(2)根据复合命题的真假判断命题p，q的真假性；‎ ‎(3)根据命题p，q的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．若命题“对∀x∈R， x2－ x－1<‎0”‎是真命题，则 的取值范围是________．‎ ‎[答案] (－4，0]‎ ‎[解析] “对∀x∈R， x2－ x－1<‎0”‎是真命题，当 ＝0时，则有－1<0；当 ≠0时，则有 <0且＝(－ )2－4× ×(－1)＝ 2＋4 <0，解得－4< <0，综上所述，实数 的取值范围是(－4,0]．‎ ‎2．已知p：∃x0∈R，mx＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[2，＋∞)　　　　　　　 B．(－∞，－2]‎ C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2，2]‎ ‎[答案] A ‎[解析]　依题意知，p，q均为假命题．‎ 当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；‎ 当q是假命题时，则有＝m2－4≥0，解得m≤－2或m≥2.‎ 因此由p，q均为假命题得即m≥2.‎ ‎∴实数m的取值范围是[2，＋∞)．‎