2013-2017高考数学分类汇编-第十二章第2节 统计与概率综合及统计案例

2013-2017高考数学分类汇编-第十二章第2节 统计与概率综合及统计案例

第二节 统计与概率综合及统计案例 题型138 抽样方式 ‎2013年 ‎1.（2013江西文5）总体有编号为，，，，的个个体组成．利用下面的随机数 表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个 数字，则选出来的第个个体的编号为（ ）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. (2013湖南文3） 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为件，件，‎ 件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行 调查，其中从丙车间的产品中抽取了件，则（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎2014年 ‎1.（2014四川文2）在“世界读书日”前夕，为了了解某地名居民某天的阅读时间，从中抽取了名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，名居民的阅读时间的全体是（ ）.‎ A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 ‎2.（2014重庆文3）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则（ ）.‎ ‎ ‎ ‎3.（2014广东文6）为了解名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为的样本，则分段的间隔为（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎4.（2014湖南文3）对一个容量为的总体抽取容量为 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.（2014湖北文11）甲、乙两套设备生产的同类型产品共件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本进行质量检测. 若样本中有件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总 数为 件. ‎ ‎6.（2014天津文9）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取 名学生.‎ ‎2015年 ‎1.（2015四川文3）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）.‎ A. 抽签法 B. 系统抽样法 C. 分层抽样法 D. 随机数法 ‎1. 解析 按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样.故选C.‎ ‎2.（2015福建文13）某校高一年级有名学生，其中女生名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为的样本，则应抽取的男生人数为_______．‎ ‎2. 解析 由题意得抽样比例为，故应抽取的男生人数为（人）．‎ ‎3.（2015北京文4）某校老年，中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年人数为（ ）.‎ 类别 人数 老年教师 中年教师 青年教师 合计 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3. 解析 依题意，老年教师人数为（人）.故选C.‎ ‎2017年 ‎1.（2017江苏卷3）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为，，，件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．‎ ‎1.解析 按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取(件)．‎ 题型139 样本分析——用样本估计总体 ‎2013年 1. ‎（2013四川文7）某学校随机抽取个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据茎 叶图如图所示.以组距为将数据分组成时，所作的频率分布直方图是（ ）.‎ ‎ ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C． D.‎ ‎2. （2013山东文10）将某选手的个得分去掉个最高分，去掉一个最低分，个剩余分数的平均分为．现场作的个分数的茎叶图后来有个数据模糊，无法辨认，在图中以表示：‎ 则个剩余分数的方差为（ ）‎ ‎ ‎ ‎3. （2013辽宁文5） 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为.若低于分的人数是人，则该班的学生人数是（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎4.（2013江苏6）抽样统计甲.乙两位设计运动员的此训练成绩（单位：环），结果如下：‎ 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ‎ ‎5.（2013湖北文12）某学员在一次射击测试中射靶次，命中环数如下：，则（1）平均命中环数为 ；‎ ‎（2）命中环数的标准差为 ．‎ ‎6. （2013辽宁文16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取个班级，把 每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为，样本方差为，且样本数据互不 相同，则样本数据中的最大值为 . ‎ ‎2014年 ‎1.（2014陕西文9）某公司位员工的月工资（单位:元）为 ，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）. ‎ A.， B.， C. ， D.+100，‎ ‎2.（2014山东文8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图所示是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有人，第三组中没有疗效的有人，则第三组中有疗效的人数为（ ）.‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.（2014江苏6）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的株树木中，有 株树木的底部周长小于．‎ 频率/组距 ‎100‎ ‎90‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎0.020‎ ‎0.025‎ ‎0.030‎ ‎0.010‎ ‎0.015‎ 底部周长/cm ‎（加上原点处数字0）‎ ‎4.（2014新课标Ⅰ文18） 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示频数分布表：‎ 质量指标值分组 频数 ‎ （1）作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎ ‎ ‎75‎ ‎85‎ ‎95‎ ‎105‎ ‎（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品的”的规定？‎ ‎5.（2014北京文18）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：‎ ‎ ‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎[0，2)‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎[2，4)‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[4，6)‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎[6，8)‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎[8，10)‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎[10，12)‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎[12，14)‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎[14，16)‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎[16，18)‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；‎ ‎（2）求频率分布直方图中的a，b的值；‎ ‎（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）.‎ ‎6. （2014新课标Ⅱ文19） 某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 位市民.根据这位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：‎ 甲部门 乙部门 ‎3‎ ‎5 9‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎0 4 4 8‎ ‎9 7‎ ‎5‎ ‎1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 9‎ ‎9 7 6 6 5 3 3 2 1 1 0‎ ‎6‎ ‎0 1 1 2 3 4 6 8 8‎ ‎9 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 0‎ ‎7‎ ‎0 0 1 1 3 4 4 9‎ ‎6 6 5 5 2 0 0‎ ‎8‎ ‎1 2 3 3 4 5‎ ‎6 3 2 2 2 0‎ ‎9‎ ‎0 1 1 4 5 6‎ ‎10‎ ‎0 0 0‎ ‎ （1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；‎ ‎ （2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于的概率；‎ ‎ （3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.‎ ‎7.（2014广东文17）某车间名工人年龄数据如表所示：‎ 年龄（岁）‎ 工人数（人）‎ ‎32‎ 合计 （1） 求这名工人年龄的众数与极差；‎ （2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这名工人年龄的茎叶图；‎ （3） 求这名工人年龄的方差. ‎ ‎2015年 ‎1.（2015重庆文4） 重庆市2013年各月的平均气温（）数据的茎叶图如下：‎ ‎0‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎2‎ 则这组数据的中位数是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1. 解析 将茎叶图各数据从小到大排列，中位数为．故选B．‎ ‎2.（2015湖南文2） 在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示.‎ ‎13‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎14‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎15‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎3‎ 若将运动员按成绩由好到差编为号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间上的运动员人数是（ ）.‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎2. 解析 由茎叶图可知，在区间的人数为，再由系统抽样的性质可知人数为 人.故选B.‎ ‎3.（2015湖北文2） 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）.‎ A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石 ‎3. 解析 设一石米中有粒谷，这批米内夹谷石，则，得.故选B.‎ ‎4.（2015山东文6）为比较甲、乙两地某月时的气温状况，随机选取该月中的天，将这天中时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图. 考虑以下结论：‎ ‎①甲地该月时的平均气温低于乙地该月时的平均气温；‎ ‎②甲地该月时的平均气温高于乙地该月时的平均气温；‎ ‎③甲地该月时的气温的标准差小于乙地该月时的气温的标准差；‎ ‎④甲地该月时的气温的标准差大于乙地该月时的气温的标准差.‎ 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（ ）.‎ A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎4.解析 由茎叶图可知，甲的数据为；乙的数据为.‎ 所以，.‎ 所以，正确；‎ 又；‎ ‎.‎ 可得，所以.正确.故选B.‎ ‎5.（2015广东文12） 已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为 ．‎ ‎5. 解析 因为样本数据，，，的均值，又样本数据，，，的和为，所以样本数据的均值为＝11.‎ 评注 本题考查均值的性质.‎ ‎6.（2015湖北文14）某电子商务公司对名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）直方图中的= .‎ ‎（2）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为 .‎ ‎6. 解析 由频率分布直方图及频率和等于，可得 ‎，解之得.‎ 于是消费金额在区间内频率为，‎ 所以消费金额在区间内的购物者的人数为.‎ ‎7.（2015广东文17）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，‎ ‎，，，，，分组的频率 分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则从月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎7.解析 由，‎ 得．‎ ‎（2）由图可知，月平均用电量的众数是.‎ 因为，‎ 又，‎ 所以月平均用电量的中位数在内.‎ 设中位数为，由，‎ 得，所以月平均用电量的中位数是.‎ ‎（3）月平均用电量为的用户有（户）；‎ 月平均用电量为的用户有（户）；‎ 月平均用电量为的用户有（户）；‎ 月平均用电量为的用户有（户）.‎ 抽取比例为，‎ 所以从月平均用电量在的用户中应抽取（户）．‎ ‎2016年 ‎1.（2016山东文3）某高校调查了名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为 .根据直方图，这名学生中每周的自习时间不少于小时的人数是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ 1. D 解析 由图可知组距为，每周的自习时间少于小时的频率为 ‎，所以，每周自习时间不少于小时的人数是人.故选D.‎ ‎2.（2016上海文4）某次体检，位同学的身高（单位：m）分别为，则这组数据的中位数是 （m）.‎ ‎2. 解析 将数据从小到大排序，故中位数为.‎ ‎3.（2016江苏4）已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是 .‎ ‎3. 解析 由题意得，故.‎ ‎4.（2016四川文16）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成组，制成了如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）设该市有万居民，估计全市居民中月均用水量不低于吨的人数.请说明理由；‎ ‎（3）估计居民月均用水量的中位数.‎ ‎4.解析 （）由频率分布直方图，可知：月用水量在的频率为 同理，在等组的频率分别为，，，，，.‎ 由，解得 ‎（）由得，位居民月均水量不低于吨的频率为.‎ 由以上样本的频率分布，可以估计万居民中月均用水量不低于吨的人数为 ‎（3）设中位数为吨.因为前组的频率之和为，‎ 而前组的频率之和为，所以 由，解得故可估计居民月均用水量的中位数为吨.‎ ‎5.（2016北京文17）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过立方米的部分按元/立方米收费，超出立方米的部分按元/立方米收费，从该市随机调查了位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：‎ ‎（1）如果为整数，那么根据此次调查，为使以上居民在该月的用水价格为元/立方米，至少定为多少？‎ ‎（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 时，估计该市居民该月的人均水费.‎ ‎5. 解析 （1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间内的频率依次为，，，，.‎ 所以该月用水量不超过立方米的居民占，用水量不超过立方米的居民占.依题意，至少定为.‎ ‎（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表 组号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 分组 频率 根据题意，该市居民该月的人均水费估计为 ‎（元）.‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国1文2）为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田.这块地的亩产量（单位：）分别为，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）.‎ A．的平均数 B．的标准差 C．的最大值 D．的中位数 ‎1. 解析 刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.故选B.‎ ‎2.（2017山东卷文8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）. 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（ ）.‎ A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7‎ ‎2. 解析 由于甲组中位数为，故，计算得乙组平均数为，故.故选A. ‎ 题型140 统计图表与概率的综合 ‎2013年 ‎1. (2013陕西文5）对一批产品的长度（单位: 毫米）进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图. 根据标准，产品长度在区间上为一等品， 在区间和区间上为二等品， 在区间和上为三等品. 用频率估计概率， 现从该批产品中随机抽取一件， 则其为二等品的概率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. (2013重庆文6） 下图是某公司个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间 内的概率为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. (2013安徽文17）为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：‎ ‎ 甲 乙 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（分及分以上为及格）；‎ ‎（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为，估计的值.‎ ‎4．（2013广东文17）从一批苹果中，随机抽取个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：‎ 分组（重量）‎ 频数（个）‎ ‎ (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；‎ ‎ (2) 用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？‎ ‎(3) 在(2)中抽出的个苹果中，任取个，求重量在和中各有的概率.‎ ‎5. （2013四川文18）某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在 这个整数中都可能随机产生.‎ ‎（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的 概率；‎ ‎（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序 重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数 以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.‎ 甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）‎ ‎ ‎ 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ 运行 次数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 输出的值 为的频数 ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎ ‎ 当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.‎ ‎6. (2013湖南文18）某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：‎ 这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过米. ‎ ‎（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；‎ 频数 ‎（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为的概率. ‎ ‎2014年 ‎1.（2014重庆文17）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：‎ ‎（I）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（II）分别求出成绩落在与中的学生人数；‎ ‎（III）从成绩在的学生中任选2人，求此2人的成绩都在中的概率.‎ ‎2015年 ‎1.（2015全国Ⅱ文3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）.‎ A. 逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著 ‎ B. 2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 C. 2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势 ‎ D. 2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 ‎1. 解析 由柱形图可以看出，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份是负相关关系，依题意，需选不正确的.故选D.‎ 命题意图 本题考查统计的基本知识，要注意读懂题意和图表，理解相关性有正相关和负相关.‎ ‎2.（2015安徽文17）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问名职工，根据这名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，.‎ ‎（1）求频率分布图中的值；‎ ‎（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于分的概率；‎ ‎（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.‎ ‎2. 解析 （1）由频率分布直方图可知，，‎ 解得.‎ ‎（2）由频率估计概率，评分不低于分的概率为.‎ ‎（3）由频率分布直方图可知：在内的人数为（人），‎ 在内的人数为（人）.‎ 设内的2人评分分别为，内的3人评分分别为，‎ 则从的受访职工中随机抽取2人，2人评分的基本事件有，，，，，，，，，，共种.‎ 其中2人评分都在的概率为.‎ ‎3.（2015全国Ⅱ文18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得出A地区用户满意评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 ‎[50,60)‎ ‎[60，70)‎ ‎[70，80)‎ ‎[80，90)‎ ‎[90，100)‎ 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(1)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）.‎ ‎ (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.‎ ‎3. 分析 (1) 根据题意通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出B地区用户满意评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B地区用户满意度评分比较集中，A地区用户的评分满意度比较分散；(2)由直方图得 的估计值为.的估计值为，所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大.‎ 解析 (1)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.‎ ‎(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 记表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；‎ 表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”.‎ 由直方图得的估计值为，‎ 的估计值为.‎ 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 评注 高考中对统计与概率的考查，主要建立在实际问题中，特别要能读懂题意，分析题目中的数据，并对数据进行处理，在解答中要注意概率的计算方法.‎ ‎2016年 ‎1.（2016全国甲文18）某险种的基本保费为（单元：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：‎ 上年度出险次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 保 费 ‎0.85a a ‎1.25a ‎1.5a ‎1.75a ‎2a 随机调查了该险种的名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：‎ 出险次数 频数 ‎（1）记为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求的估计值；‎ ‎（2）记为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的”，求的估计值；‎ ‎（3）求续保人本年度平均保费的估计值.‎ ‎1.解析 （1）由所给数据知，事件发生当且仅当一年内出险次数小于，所以.‎ ‎（2）由所给数据知，事件发生当且仅当一年内出险次数大于等于且小于等于，所以.‎ ‎（3）由题所求分布列为 保 费 频率 调查名续保人的平均保费为 ‎.‎ ‎2.（2016山东文16）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为，.奖励规则如下：‎ ①若，则奖励玩具一个；‎ ②若，则奖励水杯一个；‎ ③其余情况奖励饮料一瓶.‎ 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.‎ ‎（1）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.‎ ‎2.解析 用数对表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集一一对应.因为中元素个数是所以基本事件总数为 ‎（1）记“”为事件.则事件包含的基本事件共有个，即 ‎ 所以即小亮获得玩具的概率为.‎ ‎（2）记“”为事件，“”为事件.‎ 则事件包含的基本事件共有个，即所以 则事件包含的基本事件共有个，即所以 因为 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.‎ ‎3.（2016全国乙文19）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.‎ 记表示台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.‎ ‎（1）若，求与的函数解析式；‎ ‎（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于”的频率不小于，求的最小值； ‎ ‎（3）假设这台机器在购机的同时每台都购买个易损零件，或每台都购买个易损零件，分别计算这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买台机器的同时应购买个还是个易损零件？‎ ‎3.解析 （1）当时，（元）；‎ 当时，（元），‎ 所以.‎ ‎（2）由柱状图可知更换易损零件数的频率如表所示.‎ 更换的易损零件数 ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ 频率 ‎0.06‎ ‎0.16‎ ‎0.24‎ ‎0.24‎ ‎0.20‎ ‎0.10‎ 所以更换易损零件数不大于18的频率为：，‎ 更换易损零件数不大于19的频率为：，故最小值为.‎ ‎（3）若每台都购买个易损零件，则这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：‎ ‎（元）；‎ 若每台都够买个易损零件，则这台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 ‎（元）.‎ 因为，所以购买台机器的同时应购买个易损零件.‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国3卷文3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）.‎ A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份 D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 ‎1.解析 ‎ 由图易知月接待游客量是随月份的变化而波动的，有上升也有下降，所以选项A错误.故选A.‎ 评注 与2016年的雷达图考法类似，近年来，对各类图形与图表的理解与表示成为高考的一个热点，总体来说，此类题型属于基础类题型，用排除法解此类问题会比较快，但要注意题目要求选择错误的一项，如果审题不仔细可能会造成失分！‎ ‎2.（2017全国2卷文19）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品产量（单位：）的某频率直方图如图所示.‎ ‎（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于”， 估计的概率；（修图：下面表中原点处加数字0）‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法的箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ . ‎ ‎2．解析（1）由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于的频率为 ‎，则估计事件的概率为.‎ ‎（2）列联表如下：‎ 箱产量 箱产量50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ 所以，所以有99%的有把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎（3）因为，‎ ‎.‎ 所以中位数介于之间，则新养殖法的箱产量的中位数的估计值为.‎ ‎3.（2017全国3卷文18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为瓶；如果最高气温位于区间，需求量为瓶；如果最高气温低于20，需求量为瓶．‎ 为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：‎ 最高气温 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ ‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为瓶时，写出的所有可能值，并估计大于零的概率．‎ ‎3.解析 (1)设“六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶”为事件，‎ 由题意可知，.‎ ‎(2)由题意可知，当最高气温不低于时， ‎ ‎，概率；‎ 当最高气温位于区间时，‎ ‎，概率；‎ 当最高气温低于时，‎ ‎，概率.‎ 综上，的所有可能取值为，和，的概率为.‎ 评注 本题题型与2012年全国卷以及2013年全国卷2的题型基本相似，属于函数与概率结合类问题，有一定难度.易错点在于“不超过”容易遗漏取等号的情况，程度差一点的学生对于分段函数的理解会存在一定问题.‎ ‎4.（2017北京卷文17）17.某大学艺术专业名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，‎ ‎，，，并整理得到如下频率分布直方图.‎ ‎（1）从总体的名学生中随机抽取一人，估计其分数小于的概率；‎ ‎（2）已知样本中分数小于的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数；‎ ‎（3）已知样本中有一半男生的分数不小于，且样本中分数不小于的男、女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．‎ ‎4.解析 （1）由频率分布直方图得，分数大于等于的频率为分数和的频率之和，即，由频率估计概率，得分数小于的概率为.‎ ‎（2）设样本中分数在区间内的人数为，由频率之和为1，得，解得.则总体中分数在区间内的人数为（人）.‎ ‎（3）设样本中男生人数为 ，女生人数为，样本中分数不小于的人数共有.‎ 由题可得，分数不小于的人中男生和女生各30人.样本中男生人数为，女生人数为.则总体中男生和女生人数的比例为.‎ 题型141 线性回归方程 ‎2013年 ‎1．（2013湖北文4）四名同学根据各自的样本数据研究变量之间的相关关系，并求得回归直 线方程，分别得到以下四个结论：‎ ‎①与负相关且； ②与x负相关且； ‎ ‎③与正相关且； ④与正相关且.‎ 其中一定不正确的结论的序号是（ ）.‎ A．①② B．②③ C．③④ D． ①④‎ ‎2．(2013福建文11）已知之间的几组数据如下表：‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为若某同学根据上表中的前两组数据 求得的直线方程为则以下结论正确的是（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎3. (2013重庆文17）从某居民区随机抽取个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得. ‎ ‎（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；‎ ‎（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；‎ ‎（3）若该居民区某家庭月收入为千元，预测该家庭的月储蓄.‎ 附：线性回归方程中，，‎ 其中，为样本平均值.线性回归方程也可写为.‎ ‎2014年 ‎1.（2014湖北文6）根据如表所示样本数据 ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎0.5‎ 得到的回归方程为，则（ ）.‎ A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎2015年 ‎1.（2015湖北文4） 已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是（ ）.‎ A．与正相关，与负相关 B．与正相关，与正相关 C．与y负相关，与负相关 D．与负相关，与正相关 ‎1.解析 因为变量和满足关系，其中，所以与成负相关；‎ 又因为变量与正相关，可设，则将代入即可得到，‎ ‎，所以，所以与负相关.故选A.‎ ‎2.（2015重庆文17）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 时间代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款（千亿元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（1）求关于的回归方程；‎ ‎（2）用所求回归方程预测该地区2015年的人民币储蓄存款.‎ 附：回归方程中 ‎2. 解析 （1）列表计算如下：‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎12‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎21‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎32‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎∑‎ ‎15‎ ‎36‎ ‎55‎ ‎120‎ 这里，，.‎ 又，.‎ 从而，， ‎ 故所求回归方程为.‎ ‎（2）将代入回归方程得，‎ 可预测该地区2015年的人民币储蓄存款约为 （千亿元）.‎ ‎3.（2015全国Ⅰ文19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响.对近8年的 年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. ‎ 表中，‎ ‎（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（3）已知这种产品的年利润与的关系为 ，根据（2）的结果回答下列问题：‎ ‎（i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？‎ 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.‎ ‎3. 解析 （1）由散点图变化情况选择较为适宜.‎ ‎（2）由题意知.‎ 又一定过点，所以，‎ 所以关于的回归方程为.‎ ‎（3）（ⅰ）由（2）可知当时，，‎ ‎.‎ 所以年宣传费时，年销售量为，年利润的预报值为千元.‎ ‎（ⅱ）‎ ‎.‎ 所以当，即（千元）时，年利润的预报值最大.‎ ‎2016年 ‎1. （2016全国丙文18）下图是我国年至年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.‎ 注：年份代码分别对应年份.‎ ‎（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；‎ ‎（2）建立关于的回归方程（系数精确到），预测年我国生活垃圾无害化处理量.‎ 附注： 参考数据：，，，.‎ 参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ‎ ‎1.解析 （1）变量与的相关系数，‎ 又，，，，，‎ 所以，‎ 故可用线性回归模型拟合变量与的关系.‎ ‎（2），，所以,‎ ‎,所以线性回归方程为.‎ 当时，.因此，我们可以预测年我国生活垃圾无害化处理亿吨.‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国1文19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）．如表所示是检验员在一天内依次抽取的个零件的尺寸：‎ 抽取次序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 零件尺寸（cm）‎ ‎9.95‎ ‎10.12‎ ‎9.96‎ ‎9.96‎ ‎10.01‎ ‎9.92‎ ‎9.98‎ ‎10.04‎ 抽取次序 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 零件尺寸（cm）‎ ‎10.26‎ ‎9.91‎ ‎10.13‎ ‎10.02‎ ‎9.22‎ ‎10.04‎ ‎10.05‎ ‎9.95‎ 经计算得，，‎ ‎，，其中为抽取的第个零件的尺寸，‎ ‎.‎ ‎（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．‎ ‎（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？‎ ‎（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）‎ 附：样本的相关系数，‎ ‎．‎ ‎1.解析 （1）因为的平均数为，‎ 所以样本的相关系数 ‎.‎ 因为，所以可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．‎ ‎（2）（i），，‎ 第个零件的尺寸为，而，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查．‎ ‎（ii） 剔除离群值，即第个数据，剩下数据的平均值为，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为.‎ 因为.‎ 剔除第个数据，剩下数据的样本方差为.‎ 所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差估计值为．‎ 题型142 独立性检验 ‎2013年 ‎1.(2013福建文19）某工厂有周岁以上（含周岁）工人300名，周岁以下工人名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“周岁以上（含周岁）”和“周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）从样本中日平均生产件数不足件的工人中随机抽取人，求至少抽到一名“周岁以下组”工人的概率；‎ ‎（2）规定日平均生产件数不少于件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ 附：‎ 注：此公式也可以写成 周岁以上组 周岁以下组 ‎2014年 ‎1.（2014江西文7）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这个变量之间的关系，随机抽查了名中学生，得到统计数据如表至表所示，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）‎ ‎ 表1 表2‎ ‎ 成绩 ‎ 性别 不及格 及格 总计 男 ‎6‎ ‎14‎ ‎20‎ 女 ‎10‎ ‎22‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ ‎ 视力 性别 好 差 总计 男 ‎4‎ ‎16‎ ‎20‎ 女 ‎12‎ ‎20‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ ‎ 表3 表4‎ ‎ 智商 性别 偏高 正常 总计 男 ‎8‎ ‎12‎ ‎20‎ 女 ‎8‎ ‎24‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ ‎ 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 女 ‎2‎ ‎30‎ ‎32‎ 总计 ‎16‎ ‎36‎ ‎52‎ ‎ A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量 ‎ ‎2．（2014安徽文17）某高校共有人，其中男生人，女生人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时）.‎ ‎ （1）应收集多少位女生样本数据？‎ ‎ （2）根据这个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，，，，.估计该校学生每周平均体育运动时间超过个小时的概率. ‎ ‎ （3）在样本数据中，有位女生的每周平均体育运动时间超过个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：.‎ ‎3.（2014辽宁文18）某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎ （1）根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎ （2）已知在被调查的北方学生中有名数学系的学生，其中名喜欢甜品，现在从这名学生中随机抽取人，求至多有人喜欢甜品的概率. ‎ 附：.‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国2卷文19）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品产量（单位：）的某频率直方图如图所示.‎ ‎（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记表示事件：“旧养殖法的箱产量低于”， 估计的概率；（修图：下面表中原点处加数字0）‎ ‎（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ 箱产量 箱产量 旧养殖法 新养殖法 ‎（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法的箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）.‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ . ‎ ‎1．解析（1）由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于的频率为 ‎，则估计事件的概率为.‎ ‎（2）列联表如下：‎ 箱产量 箱产量50kg 旧养殖法 ‎62‎ ‎38‎ 新养殖法 ‎34‎ ‎66‎ 所以，所以有99%的有把握认为箱产量与养殖方法有关.‎ ‎（3）因为，‎ ‎.‎ 所以中位数介于之间，则新养殖法的箱产量的中位数的估计值为.‎