2018-2019学年湖北省咸宁市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年湖北省咸宁市高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省咸宁市高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 设直线的倾斜角为, 由直线化为, ,. 故选B.‎ ‎2．命题“，都有”的否定是（ ）‎ A.，使得 B.，使得 C.，都有 D.，都有 ‎【答案】B ‎【解析】全称命题的否定为特称命题，据此可得：‎ 命题“，都有”的否定是，使得.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3．已知实数x，y满足，则的取值范围为（ ）‎ A.[2,5] B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点A或B点时，的取值即可.‎ ‎【详解】‎ 由约束条件，画出可行域如图：‎ 由图象可知，当直线过点A时，z有最小值2，当直线过点 时，z的最大值为5，所以z的取值范围为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划及利用几何意义求最值，属于中档题.‎ ‎4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 分析：由公式计算可得 详解：设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，‎ 则 因为 所以，‎ 故选B.‎ 点睛：本题主要考查事件的基本关系和概率的计算，属于基础题。‎ ‎5．若圆与圆的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别求出两圆的圆心，两圆圆心所在直线即为线段AB的垂直平分线.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，两圆圆心所在直线即为线段AB的垂直平分线，‎ 圆的圆心为，圆的圆心为，‎ 则过两圆圆心的直线为，即.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两圆的位置关系，考查了直线的方程，属于基础题.‎ ‎6．椭圆和椭圆有（ ）‎ A.相等的长轴长 B.相等的焦距 C.相等的离心率 D.相等的短轴长 ‎【答案】B ‎【解析】椭圆中，，，椭圆中，由，可知，即，，可知，，可判断出两个椭圆的焦距相等，长轴、短轴及离心率都不同.‎ ‎【详解】‎ 椭圆中，，则，则长轴长为8，短轴长为4，焦距为，离心率；‎ 椭圆中，因为，所以，即，.‎ 因为，，所以两个椭圆的焦距相等，长轴、短轴及离心率都不同.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的方程，椭圆的几何性质，属于基础题.‎ ‎7．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）‎ 广告费 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额 ‎29‎ ‎41‎ ‎50‎ ‎59‎ ‎71‎ 由上表可得回归方程为，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ）‎ A.118.2万元 B.111.2万元 C.108.8万元 D.101.2万元 ‎【答案】B ‎【解析】分析：平均数公式可求出与的值,从而可得样本中心点的坐标，代入回归方程求出，再将代入回归方程得出结论.‎ 详解：由表格中数据可得，，‎ ‎，解得，‎ 回归方程为，‎ 当时，，‎ 即预测广告费为10万元时销售额约为，故选B.‎ 点睛：本题考查了线性回归方程的性质与数值估计，属于基础题. 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎8．已知直线平行，则实数的值为（ ）‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．‎ ‎【详解】‎ 当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；‎ 当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；‎ 当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，‎ ‎∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7．‎ 综上可得：m=﹣7．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．‎ ‎9．过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|＝（ ）‎ A． B．2 C．6 D．4‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由双曲线，可得渐近线方程为，且右焦点为，令，解得，所以 ，故选D.‎ ‎【考点】双曲线的几何性质.‎ ‎10．曲线在点处的切线方程为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决．‎ ‎【详解】‎ 验证知，点在曲线上 ， ，所以，得切线的斜率为1，所以； 所以曲线在点处的切线方程为： ，即． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题．‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的 ‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 阅读流程图，初始化数值. ‎ 循环结果执行如下：‎ 第一次：；‎ 第二次：；‎ 第三次：；‎ 第四次：；‎ 第五次：；‎ 第六次：，‎ 结束循环，输出.故选B.‎ 点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.‎ ‎12．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ 二、填空题 ‎13．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为________．‎ ‎【答案】90‎ ‎【解析】由茎叶图可知该运动员的分数，然后利用平均数的计算公式可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由图可知该运动员的分数为，则这5位裁判打出的分数的平均数为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了茎叶图，考查了平均数的算法，考查了学生的计算能力，属于基础题.‎ ‎14．已知抛物线C的方程，则其准线方程是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将抛物线C的方程化为标准方程，再求出准线方程即可.‎ ‎【详解】‎ 抛物线C的标准方程为，准线为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的准线方程的求法，属于基础题.‎ ‎15．已知圆和圆只有一条公切线，则实数的关系是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由两圆只有一条公切线，可知两圆内切，则两圆的圆心距等于两圆的半径之差的绝对值，进而可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得两圆内切，两圆的标准方程分别为：和，圆心分别为和，半径分别为2，1，则，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆与圆的位置关系，考查了学生的推理能力，属于基础题.‎ ‎16．下列有关命题 ‎（1）若¬p是q的充分条件，则p是¬q的必要条件 ‎（2）若p且q为假命题，则p，q均为假命题 ‎（3）命题“∀x∈R，x2－x>0”的否定是“∃x∈R，x2－x≤0”‎ ‎（4） “x>2”是“”的充分不必要条件 其中叙述正确的命题有 ____________‎ ‎【答案】（1）（3）（4）‎ ‎【解析】易知（1）正确；且为假，p，q至少有一个为假，故（2）错误；“”的否定是“”，“”的否定是“”，故（3）正确；“”一定能推出“”，但当时，满足，但不满足，所以“”是“”的充分不必要条件，故（4）正确，故答案为（1），（3），（4）.‎ 三、解答题 ‎17．（1）求过点且与直线平行的直线方程；‎ ‎（2）求过点且与原点距离为4的直线方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】（1）直线的斜率为，所求直线与已知直线平行，可设该直线方程为，将代入可求出该直线的方程；（2）设所求直线为，当直线斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；当直线斜率存在时，设直线的方程为，利用原点到直线的距离为4可求出斜率，进而可得到直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线的斜率为，因为所求直线与已知直线平行，所以可设该直线方程为，则，解得，则所求直线方程为，即.‎ ‎（2）设所求直线为，‎ 当直线斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；‎ 当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，则原点到直线的距离为4，即，解得，故直线为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平行直线的性质，考查了点到直线的距离公式的运用，考查了直线方程的求法，属于基础题.‎ ‎18．已知圆，直线，（R）．‎ ‎（1）证明：无论取何值，直线过定点；‎ ‎（2）求直线被圆C截得的弦长最短时的值及最短弦长．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2），.‎ ‎【解析】（1）直线方程可化为，令，解方程组可求出定点坐标；（2）当圆心与定点所在直线与直线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：直线可化为，令，解得，所以直线过定点.‎ ‎（2）直线过定点，，故点 在圆的内部，直线与圆相交，圆的圆心为，半径为5，，‎ 当时，直线被圆C截得的弦长最短，‎ ‎，直线的斜率为，即，解得，‎ 此时弦长为.‎ 故当时，直线被圆C截得的弦长最短为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了动直线过定点问题，考查了圆的弦长，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎19．已知命题，；命题q：函数有两个零点．‎ ‎（1）若为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】先分别求出p为真、q为真时，m的取值范围，（1）若为假命题，可知p，q均为假命题，进而可求得m的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，可知p，q一真一假，进而可求得m的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 若p为真，令，问题转化为求函数的最小值，‎ ‎，解得，‎ 函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 故，故．‎ 若q为真，则，即或．‎ ‎（1）若为假命题．则p，q均为假命题，实数m的取值范围为.‎ ‎（2）若为真命题，为假命题，则p，q一真一假．‎ 若p真q假，则实数m满足，即；‎ 若p假q真，则实数m满足或．‎ 综上所述，实数m的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 命题真假的判断口诀：‎ ‎→见真即真，→见假即假，与非→真假相反.‎ ‎20．20名高二学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）分别求出成绩落在与中的学生人数；‎ ‎（3）从成绩在的学生中任选2人，求此2人的成绩都在中的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】（1）利用各个小长方形面积之和为1，可求出答案；（2）分别求得落在、中的频率，再算出频数即可；（3）设落在中的2人为，落在中的3人为，，，可知从中选2人共有10种选法，分别列出，即可求出对应概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵组距为10，∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）落在中的频率为，∴落在中的人数为2．‎ 落在中的学生人数为．‎ ‎（3）设落在中的2人成绩为，落在中的3人为，，．‎ 则从中选2人共有10种选法，‎ ‎，‎ 其中2人都在中的基本事件有3个：，，，‎ 故所求概率．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图的知识，考查了概率的计算，属于基础题.‎ ‎21．设椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）不经过点A的直线与椭圆交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，.‎ ‎【解析】（1）由可得，再结合，可求出，即可得到椭圆的方程；（2），设，，由以MN为直径的圆经过点A，可得，即，然后联立椭圆方程与直线的方程，结合根与系数关系可求得的值，进而可求出定点.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．‎ 由从而，．‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（2），‎ ‎，即，‎ ‎，，‎ ‎，设，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因为以MN为直径的圆经过点A，所以，‎ 则，‎ 即，整理得，‎ 解得或，‎ 又直线l不经过，所以，故，则直线l过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了韦达定理的运用，属于难题.‎ ‎22．已知函数（a,bR）．‎ ‎（1）当，时．求的单调区间；‎ ‎（2）若在点处的切线方程为，且对任意的恒有，求实数t的取值范围（e是自然对数的底数）．‎ ‎【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）．‎ ‎【解析】（1）当，时，，令，解得或，，可求出单调区间；（2），，可求出，进而得到的表达式，再由对任意的恒成立，即，令，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当，时，，令，‎ 解得或，，列表得：‎ x ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 所以在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）因为，所以，‎ 将代入切线方程，得，所以，‎ 联立解得，，所以，‎ 因为对任意的恒成立，‎ 所以，‎ 记，所以，‎ 因为，令，则，‎ 所以时，，单调递减，时，‎ ‎，单调递增，‎ 因为，，所以，‎ 所以，所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调区间的求法，考查了导数的几何意义，考查了不等式恒成立问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于难题.‎