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文档介绍
数学理卷·2019届北京市第四中学高二上学期期中考试(2017-11)
数学理试卷 (试卷满分为150分,考试时间为120分钟) 试卷分为两卷,卷(I)100分,卷(II)50分 (卷(I)和卷(II)的所有题目都在答题纸上作答) 卷(I) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 下面四个条件中,能确定一个平面的条件是 ( ). A. 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点 2.,,是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( ). A., B., C.,,共面 D.,,共点,,共面 3. 已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面, 下列命题中正确的是: ( ). A.若,则∥ B.若,则∥ C.若∥,∥,则∥ D.若∥,∥,则∥ 4. 在四面体的四个面中,是直角三角形的面至多有 ( ). A.0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 5. 下列命题中错误的是 ( ). A.如果平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C.如果平面,平面,,那么 D.如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 A1 B1 C1 A B E C 6. 如图,三棱柱中,侧棱垂直底面, 底面三角形是正三角形,是中点,则下列叙述正 确的是 ( ). A. 与是异面直线 B. 平面 C. ,为异面直线,且 D. 平面 7. 把正方形沿对角线折成直二面角后,下列命题正确的是 ( ). A. B. C. D. 8. 如图所示点为三棱柱侧棱上一动点, 若四棱锥的体积为,则三棱柱的 体积为 ( ). A . B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分 9. 已知平面和直线,给出条件: ①;② ;③ ;④;⑤ (1) 当满足条件________(填序号或序号组合)时,有; (2) 当满足条件________(填序号或序号组合)时,有. 10.已知是直线,是平面,给出下列命题正确的是________________. (1) 若垂直于内的两条相交直线,则; (2) 若平行于,则平行于内所有直线; (3) (4) (5) ////. 11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为,它的体对角线的长分别是和,则这个棱柱的侧面积是___________. 12. 三棱锥P—ABC中,PA,PB,PC两两垂直,PA=1,,已知空间中有一个点到这四个点距离相等,则这个距离是 ___________. 13. 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 . 14.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知 是绕DE旋转过程中的一个图形(不考点和A、F重合的情况), 给出下列命题: ①动点在平面ABC上的射影在线段AF上; ②BC∥平面; ③三棱锥的体积有最大值; 其中正确的命题的序号是___________. 三、解答题:本大题共3小题,共30分 15.如图,已知所在的平面,是的直径,,上的一点,且,,中点,的中点. (1) 求证://面; (2) 求证:; (3) 求三棱锥的体积. 16.如图,在三棱锥中,平面平面,,, 过 作,垂足为,点分别是棱的中点. 求证:(1)平面平面; (2). 17. 如图1,在中,,分别为的中点,点为线段上的一点,将沿折起到的位置,使,如图2。 (1)求证:平面; (2)求证:; (3)线段上是否存在点, 使平面?说明理由. 卷(Ⅱ) 一、选填题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 1.已知+=(2,-1,0),-=(0,3,-2),则cos<,>的值为( ). A. B.- C. D. 2.若P是平面外一点,A为平面内一点,为平面的一个法向量,且<, >=40º,则直线PA与平面所成的角为( ). A.40º B.50º C.40º或50º D.不确定 3.若A,B,C,D四点共面,且,则的值是( ). A.4 B.2 C.6 D.-6 4. 如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为________. A. B. C. D. 5. 如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD 是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.给出以下结论: ①+++=0; ②+--=0; ③-+-=0; ④·=·; ⑤·=0,其中正确结论的序号是________. 二.解答题:本大题共2小题,第6题10分,第7题15分. 6. 如图所示,已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是等腰梯形,且AB∥CD,O是AB的中点,PO⊥平面ABCD,PO=CD=DA=AB=4,M是PA的中点. (1) 证明:平面PBC∥平面ODM; (2) 求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值. 7. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4. (1)求证:M为PB的中点; (2)求二面角B-PD-A的大小; (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. 答 题 纸 班级 姓名 成绩 卷(I) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,将答案规范填涂在机读卡上) 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 9 10 11 12 13 14 三、解答题(本大题共3小题,共30分) 15. 16. . 17. 答 题 纸 班级 姓名 成绩 卷(Ⅱ) 一、选填题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 题号 1 2 3 4 5 答案 二、解答题(本大题共2小题,第6题10分,第7题15分) 6. 7. 参考答案 卷(I) 一、1-5; CBBDD 6-8;CBD 二、9.(1) ③ ⑤(2)② ⑤; 10.(1)(4); 11.160; 12. ; 13. ; 14. ①②③ 16.证:(1),,, 由题,, 平面平面, 平面,同理平面, 与为平面内的两条相交直线, ∴平面平面, (2)平面平面于,平面, 平面,, 又且与为平面内的两条相交直线, . 17.(1)∵D,E分别为AC,AB的中点, ∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB, ∴DE∥平面A1CB. (2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,∴DE⊥AC. ∴DE⊥A1D,DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC. 而A1F 平面A1DC,∴DE⊥A1F. 又∵A1F⊥CD,∴A1F⊥平面BCDE. ∴A1F⊥BE. (3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ. 理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC. 又∵DE∥BC,∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知DE⊥平面A1DC,∴DE⊥A1C. 又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C 的中点, ∴A1C⊥DP,∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ. 卷(Ⅱ) 1.B 2.B 3.D 4.D 5. ③④ 6.(1)证明 ∵O,M分别为AB,AP的中点,∴OM∥PB. 又∵PB平面ODM,OM⊂平面ODM,∴PB∥平面ODM ∵CD=AB,O为AB的中点,∴CD=BO, 又∵CD∥AB,∴四边形OBCD为平行四边形, ∴BC∥OD. 又∵BC平面ODM,OD⊂平面ODM, ∴BC∥平面ODM. ∵BC∩PB=B,DO∩OM=O, ∴平面PBC∥平面ODM. (2) 方法一 延长AD,BC交于点E,连接PE,则平面PBC∩平面PAD=PE. 易知PB=PA,EB=EA,PE=PE,∴△PBE与△PAE全等. 过点A作AQ⊥PE于点Q,连接BQ,则BQ⊥PE, 由二面角定义可知,∠AQB为所求角或其补角. 易求得PE=8,AE=8,PA=4, 由等积法求得AQ=2=BQ, ∴cos∠AQB===-<0, ∴所求角为π-∠AQB,∴cos(π-∠AQB)=, 因此平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为. 方法二 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 则P(0,0,4),B(-4,0,0),A(4,0,0),C(-2,-2,0), D(2,-2,0). ∵=(-4,0,-4),=(2,-2,0), ∴易求得平面PBC的一个法向量n1=(,1,-). 又=(4,0,-4),=(-2,-2,0), ∴易求得平面PAD的一个法向量n2=(,-1,). 设θ为平面PBC与平面PAD所成的锐二面角, 则cos θ==, ∴平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为. 7.解:(I)设交点为,连接. ∵平面,平面平面, ∴. ∵是正方形,∴为的中点, ∴为的中点. (II)取的中点,连接,. ∵,∴. 又∵平面平面,且平面, ∴平面. ∵平面,∴. ∵是正方形,∴. 如图建立空间直角坐标系,则,,, ,. 设平面的法向量为,则,即. 令,则,.于是. 平面的法向量为,∴. 由题知二面角为锐角,∴它的大小为. (III)由题意知,,. 设直线与平面所成角为,则. ∴直线与平面所成角的正弦值为.查看更多