2019-2020学年云南省大理市下关第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年云南省大理市下关第一中学高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年云南省大理市下关第一中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解出集合、，再根据补集和交集的定义可得出集合.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 又，因此，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合补集与交集的混合运算，解题的关键就是解出题中涉及的集合，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对每一个选项的函数逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ A. 是奇函数，且，是减函数，所以该选项符合已知；‎ B. 是奇函数，是增函数，所以该选项不符合已知；‎ C. 是奇函数，但是不是定义域上的减函数，所以该选项不符合已知；‎ D. 是一个非奇非偶的函数，所以该选项不符合已知.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3．函数的零点所在的区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先计算得，再由零点定理得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，，‎ 所以，‎ 由零点定理得函数的零点所在的区间是.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查零点定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4．函数的图像大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：为奇函数且时，函数无意义，可排除，又在是减函数，故选.‎ ‎【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的图象.‎ ‎5．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数满足任意的都有，则，‎ 则函数是周期为的周期函数，‎ ‎，‎ 又由函数是定义在上的奇函数，则，‎ 时，，则，‎ 则；‎ 故；‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题．‎ ‎6．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．‎ ‎【详解】‎ 解：由对数和指数的性质可知， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．‎ ‎7．已知，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 因为，故选A.‎ ‎8．下列函数中，同时满足：①在上递减；②以为周期；③是奇函数．则函数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】‎ A. 是偶函数，所以该函数不符合已知；‎ B. 在上递减，以为周期，是奇函数，所以该函数符合已知；‎ C. 在上递增，所以该函数不符合已知；‎ D. 的周期是，不符合已知.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性、周期性和单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9．已知函数为定义在R上的奇函数，且当时，，则等于（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据奇函数的性质得到a=0,再根据奇函数的性质求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 由题得.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇函数的性质的应用，考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎10．对于函数，下列选项中正确的是（ ）‎ A．函数在内是递增的 B．函数在定义域上单调递增 C．函数的最小正周期为 D．函数的所有对称中心为 ‎【答案】D ‎【解析】求出函数的周期，判断、的正误；正切函数的单调性判断的正误；求出对称中心判断的正误.‎ ‎【详解】‎ 时，函数没有意义，所以不正确；‎ 正切函数在定义域上不是单调函数，所以不正确；‎ 函数的周期为，所以不正确；‎ 令，，所以，是函数的对称中心，所以正确．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正切函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎11．函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（　）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】先根据图象确定A的值，进而根据三角函数结果的点求出求与的值，确定函数的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数的部分图象，‎ 可得，即，所以，‎ 再根据五点法作图，可得，求得，‎ 故．‎ 函数的图象向左平移个单位，可得 的图象，‎ 则只要将的图象向右平移个单位长度可得的图象，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函数的图象变换是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12．定义在上的偶函数满足，当时，，设函数，则函数与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以周期为2，函数关于对称，作图可得四个交点横坐标关于对称，其和为，选B.‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ 二、填空题 ‎13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ‎，则这个圆心角所夹的扇形的面积是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.‎ ‎【详解】‎ 设扇形的半径为R,由题得.‎ 所以扇形的面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14．使成立的x的集合为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出函数的图象，观察图象即得解.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象如图，‎ 所以使成立的x的集合为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正切函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎15．若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则a取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数是奇函数且在上是减函数，将原不等式变形为恒成立，结合二次函数在闭区间上的最值即可得解．‎ ‎【详解】‎ 不等式恒成立，即恒成立 又是奇函数，‎ 不等式在上恒成立 函数在其定义域上是减函数，‎ ‎，即 ‎，‎ 当时有最小值．‎ 因此， ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查同角的三角函数关系，考查二次型函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16．已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】研究函数的单调性，确定的关系及范围．‎ ‎【详解】‎ 由题意函数在上递减，上递增，上递减，作出图像，如图．‎ 设，则，不妨设，‎ ‎，由，得，所以，所以.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方程根的分布与函数零点问题．解题方法是数形结合思想．作出函数图象，得出函数性质，看作是直线与函数的交点横坐标，性质易得．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数的图像恒过定点，且点又在函数的图像上.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）解不等式.‎ ‎【答案】（1）;（2）不等式的解集为 ‎【解析】试题分析：（1）根据指数的性质可知过，代入即可求解；（2）根据对数函数的增减性求解即可.‎ 试题解析：（1）函数的图象恒过定点点的坐标为 又因为点在上，‎ 则.‎ ‎（2）‎ 不等式的解集为.‎ ‎18．已知，求下列各式的值.‎ ‎（1）       ‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】（1）化简已知得，再代入所求式子即得解；（2）由已知得，再化简所求式子即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，即，‎ 则原式；‎ ‎（2），即，‎ 原式．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式化简，考查同角的三角函数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19．已知函数 ‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）求在区间的最大值和最小值以及取得最值时对应的的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）当时，最大值2；当或时，最小值 ‎【解析】（1）先化简得，再求函数的单调区间；（2）求出 ‎，再求函数的最值得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 函数的最小正周期为；‎ 单调增区间满足，，‎ 所以，‎ 所以单调递增区间．‎ ‎（2）当时，，‎ 所以当时，即时函数取得最大值2；‎ 当或时，即或时，函数取得最小值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．已知函数，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若角满足，，求的值.‎ ‎【答案】(1).‎ ‎(2)或.‎ ‎【解析】分析：（1）由已知，的最小正周期为，求得，再由，求得，即可得到函数的解析式；‎ ‎（2）由，得，化简得 ‎，即可求解答案．‎ 详解：（1）由已知，的最小正周期为，∴，‎ 又∵，即，∴，‎ 所以.‎ ‎（2）∵，得，‎ 即，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴或.‎ 点睛：本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，熟记三角函数的图象与基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎21．某学生用“五点法”作函数的图象时，在列表过程中，列出了部分数据如表：‎ ‎0‎ x ‎2‎ ‎（1）先将表格补充完整，再写出函数的解析式，并求的最小正周期；‎ ‎（2）若方程在上存在两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）表格见解析，，最小正周期.（2），．‎ ‎【解析】（1）由五点对应法求出 和的值即可得到结论；（2）求出角的范围，作出对应的三角函数图象，利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）补充完整表格：‎ ‎0‎ x ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 由表中知函数的最大值为2，最小值为，则，‎ 由五点对应法得，得，，‎ 即函数的解析式为，最小正周期.‎ ‎（2）当，得，，‎ 设，作图，，‎ 作出函数的图象如图：‎ 当时，，‎ 要使方程在，上存在两个不相等的实数根，‎ 则，即实数的取值范围是，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据五点对应法求出函数的解析式以及利用换元法作出图象利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎22．已知函数，且函数是偶函数，设 ‎(1)求的解析式；‎ ‎(2)若不等式≥0在区间(1，e2]上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ；(3) .‎ ‎【解析】（1）对称轴为，对称轴为，再根据图像平移关系求解；（2）分离参数，转化为求函数的最值；（3）令为整体，转化为二次函数根的分布问题求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 函数的对称轴为，‎ 因为向左平移1个单位得到，且是偶函数，‎ 所以 ，‎ 所以.‎ ‎(2) ‎ 即 又 ，所以，则 因为，所以实数的取值范围是.‎ ‎(3) 方程即 ‎ ‎ 化简得 令，则 若方程有三个不同的实数根，‎ 则方程必须有两个不相等的实数根 ，‎ 且或，‎ 令 当时，则，即 ，‎ 当时， ，，，舍去，‎ 综上，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求函数解析式，函数不等式恒成立及函数零点问题. 函数不等式恒成立通常采用参数分离法；函数零点问题要结合函数与方程的关系求解.‎