2017-2018学年广东省普宁市华美实验学校高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年广东省普宁市华美实验学校高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版）

‎2017-2018学年广东省普宁市华美实验学校高二上学期期末考试数学（理）试题 ‎2‎ ‎ ‎ ‎ 考试时间：120分钟；满分：150分；‎ ‎ 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案填涂在答题卷上）‎ ‎1.在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（　　）‎ ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2.命题“若x2=1，则x=1或x=﹣‎1”‎的逆否命题为（　　）‎ ‎ A．若x2=1，则x≠1且x≠﹣1 B．若x2≠1，则x≠1且x≠﹣1‎ ‎ C．若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1 D．若x≠1或x≠﹣1，则x2≠1‎ ‎3.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，B=45°，面积S=3，则b的值为（　　）‎ ‎ A．6 B．‎26 ‎C． D．‎ 4. 如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点 ‎ C、D，在C、D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，‎ ‎ 又测得∠CBD=30°，CD=‎50米，则塔高AB=（　　）‎ ‎ A．‎50米 B．‎25‎米 C．‎25米 D．‎50‎米 ‎5.若直线ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值为（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知双曲线C：的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（　　）‎ ‎ A．y=±3x B．y=±2x C． D．‎ ‎7.已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：x＞a，且￢q的一个充分不必要条件是￢p，则a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，1] B．[1，+∞） C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣3]‎ ‎8. 等差数列中，，则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C. D．‎ 9. 四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1的底面是平行四边形，M是AC与BD的交点．‎ ‎ 若则可以表示为（　　）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎10.若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣2，2] B．[﹣2，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2]‎ ‎11.在正方体中，为的棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎13‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎0‎ A． 　B． C． D．‎ ‎12.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为 整数的点）按如下规则表上数字标签：原点处标0‎ 点（1，0）处标1，点（1，-1）处标2，点（0，-1）‎ 处标3，点（-1，-1）处标4，点（-1，0）标5，点 ‎（-1，1）处标6，点（0，1）处标7，以此类推，‎ 则标签的格点的坐标为( )‎ A．(1005,1004) B．(1004，1003) ‎ ‎ C．(2009,2008) D．(2008,2007)‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知向量，，若则实数___________．‎ ‎14.在直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，面积为S，则“三斜求积”公式为 ‎．若a2sinC=4sinA，（a+c）2=12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为　 　．‎ ‎16.已知是双曲线：（，）的一个焦点，为坐标原点，是双曲线上 ‎ 一点，若是等边三角形，则双曲线的离心率等于 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明或演算步骤.）‎ ‎17.（10分）已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB+tanC=．‎ ‎（1）求角A的大小； （2）当a=2时，求△ABC周长的最大值．‎ ‎18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点的距离之和等于4，‎ ‎ 设点P的轨迹为C．‎ ‎（1）写出C的方程；‎ ‎（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时？‎ 19. ‎（12分）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，，‎ ‎ 其中q＞0，n＞1，n∈N*．‎ ‎（1）若成等差数列，求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设双曲线 的离心率为en，且e2=3，求 ‎ ‎ ‎20.（12分）如图，底面是边长为3的正方形，平面，‎ ‎，，与平面所成角为．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎ （2）求二面角的余弦值．‎ ‎21.（12分）设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内整点的个数为an（横纵坐标均为整数的点称为整点）．‎ ‎（1）当n=2时，先在平面直角坐标系中作出区域D2，再求a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）记数列{an}的前n项的和为Sn，试证明：对任意n∈N*恒有 ‎ 成立．‎ 22. ‎（12分）如图，设点F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且 的最小值为0．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若动直线l1，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试 ‎ 探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的 ‎ 距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若 ‎ 不存在，请说明理由．‎ 高二级理科数学期末试题 答案 ‎1.A 2. C．3.D 4.A 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.A 11.D 12.A ‎13. 14.（﹣1，1） 15. 16.‎ ‎17.【解答】解：（1）∵tanB+tanC=，‎ ‎∴====，‎ ‎∴sinA=cosA，∴tanA=，又0＜A＜π，∴A=．‎ ‎（2）由正弦定理得：，‎ ‎∴b==sinB，c==sinC=sin（﹣B），‎ ‎∴b+c= [sinB+sin（﹣B）]=4（cosB+sinB）=4sin（B+），‎ ‎∴当B+=即B=时，b+c取得最大值4．‎ ‎∴△ABC周长的最大值4+2=6．‎ ‎　18.【解答】解：（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，‎ 其中，所以b2=a2﹣c2==1．‎ 故轨迹C的方程为：；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0‎ 由△=16k2+48＞0，可得：，‎ 再由，‎ 即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0，‎ 所以，．‎ ‎19.【解答】解：（Ⅰ）：∵Sn+1=qSn+1 ①，‎ ‎∴当n≥2时，Sn=qSn﹣1+1 ②，两式相减可得an+1=q•an，‎ 即从第二项开始，数列{an}为等比数列，公比为q．‎ 当n=1时，∵数列{an}的首项为1，∴a1+a2=S2=q•a1+1，∴a2 =a1•q，‎ ‎∴数列{an}为等比数列，公比为q．∵‎2a2，a3，a2+2成等差数列，‎ ‎∴‎2a3 =‎2a2+a2+2，∴2q2=2q+q+2，求得q=2，‎ 则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，则an=1×2n﹣1=2n﹣1；‎ ‎（Ⅱ）由（1）可得数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，‎ 则an=1×qn﹣1=qn﹣1；若e2=3，则e2==3，解可得a2=2，则a2=q=2，即q=2，‎ an=1×qn﹣1=qn﹣1=（2）n﹣1，则en2=1+an2=1+8n﹣1，‎ 故e12+e22+…+en2=n+（1+8+82+…+8n﹣1）=n+‎ ‎20.解：（1）证明：∵平面，平面，‎ ‎∴，又∵底面是正方形，∴．∵，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）解：∵，，两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∵与平面所成角为，即，∴，‎ 由，可知，，．‎ 则，，，，，‎ ‎∴，．设平面的一个法向量为，‎ 则即令，则．‎ ‎∵平面，∴为平面的一个法向量，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．‎ ‎21.【解答】解：（1）D2如图中阴影部分所示，‎ ‎∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，‎ ‎∴a2==25．‎ ‎（另解：a2=1+3+5+7+9=25）‎ ‎（2）直线y=nx与x=4交于点P（4，4n），‎ 据题意有an==10n+5．‎ ‎（另解：an=1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5）‎ ‎（3）Sn=5n（n+2）．　（8分）‎ ‎∵==•＜，‎ ‎∴++…+＜++…+‎ ‎=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜　（13分）‎ 22. ‎【解答】解：（1）设P（x，y），则有，‎ ‎∴∵点P在椭圆C上，可得，可得y2=x2，‎ ‎∴‎ 因此，最小值为1﹣c2=0，解之得c=1，可得a2=2，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ （2） ‎①当直线l1，l2斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n 把l1的方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4mkx+‎2m2‎﹣2=0‎ ‎∵直线l1与椭圆C相切，‎ ‎∴△=16k‎2m2‎﹣4（1+2k2）（‎2m2‎﹣2）=0，化简得m2=1+2k2 同理可得n2=1+2k2‎ ‎∴m2=n2，而若m=n则l1，l2重合，不合题意，因此m=﹣n 设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l1，l2的距离之积为1，‎ 则，即|k2t2﹣m2|=k2+1，‎ 把1+2k2=m2代入，并去绝对值整理，可得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，而前式显然不能恒成立；因而要使得后式对任意的k∈R恒成立 必须t2﹣1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）；‎ ‎②当直线l1，l2斜率不存在时，其方程为和，‎ 定点（﹣1，0）到直线l1，l2的距离之积为；定点（1，0）到直线l1，l2的距离之积为，也符合题意．‎ 综上所述，满足题意的定点B为（﹣1，0）或（1，0）‎