【数学】2019届一轮复习人教A版空间中的平行与垂直证明技巧学案

【数学】2019届一轮复习人教A版空间中的平行与垂直证明技巧学案

一．学习目标及知识点方法规律总结 ‎（一）.【学习目标】‎ ‎（1）．熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题．‎ ‎（2）．学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化．‎ ‎（3）．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．‎ ‎（4）．熟练掌握空间中线面垂直的有关性质与判定定理；运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题．不论何种“垂直”都能化归到“线线垂直”‎ ‎(二).知识点及方法归纳 ‎1．直线与平面平行的判定 ‎(1)判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面平行，即a∥b，a⊄α，b⊂α⇒a∥α.‎ ‎(2)如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行，则a∥β.‎ ‎2．直线与平面平行的性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线就和平面平行，即a∥α，a⊂β，α∩β＝b，．‎ ‎3．直线与平面垂直的判定 ‎(1)(定义)如果一条直线和平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直．‎ ‎(2)(判定定理1)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．用符号语言表示为：若m⊂α，n⊂α，m∩n＝B，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.‎ ‎(3)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．用符号语言表示为：若a∥b，a⊥α，则b⊥α.‎ ‎(4)(面面垂直的性质定理)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．‎ ‎(5)(两平面平行的性质定理)如果两个平面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直．‎ ‎(6)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面．‎ ‎4..两平面平行的判断方法 ‎(1)依定义采用反证法.‎ ‎(2)依判定定理通过说明一平面内有两相交直线与另一平面平行来判断两平面平行.‎ ‎(3)依据垂直于同一直线的两平面平行来判定.‎ ‎(4)依据平行于同一平面的两平面平行来判定.‎ ‎5.平行关系的转化程序 线线平行线面平行面面平行 从上易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程.在解题时要把握这一点，灵活确定转化思路和方向.‎ ‎1．证明直线与平面平行和直线与平面垂直常运用判定定理，即转化为线线的平行与垂直关系来证明．‎ ‎2．直线与平面平行的判定方法：‎ ‎(1)a∩α＝∅⇒a∥α(定义法)，‎ ‎(2)⇒a∥α，‎ 这里α表示平面，a，b表示直线．‎ ‎3．证明线面垂直的方法主要有：(以下A为点，m，n，l，a，b表示直线，α，β表示平面)‎ ‎(1)利用线面垂直的定义：a与α内任何直线垂直⇒a⊥α；‎ ‎(2)利用判定定理：‎ ⇒l⊥α；‎ ‎(3)利用第二判定定理：a∥b，a⊥α，则b⊥α；‎ ‎(4)利用面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α，则a⊥β.‎ ‎(5)利用面面垂直的性质定理：‎ α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β.‎ ‎4.面面垂直的证明方法：‎ ‎(1)利用定义：α和β所成的二面角为直二面角⇒α⊥β；‎ ‎(2)利用判定定理：若a⊥β，a⊂α，则α⊥β.‎ ‎5.性质定理的恰当应用：‎ ‎(1)若α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β，用来证明线面垂直，也用来确定点到平面的垂线段.‎ ‎(2)若α⊥β，点P∈α，P∈a，a⊥β，则a⊂α.‎ ‎5.垂直关系的转化程序 线线垂直线面垂直面面垂直.‎ 二．命题陷阱类型 ‎1.平行垂直判断 ‎2.平行垂直证明 ‎3.翻折中的平行垂直 ‎4.平行垂直中的探索性问题 三．题型 ‎1.平行垂直判断 例1．已知是相异两平面， 是相异两直线，则下列命题中错误的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】由线面垂直的性质可知选项A,B,C正确，‎ 如图所示，对于选项D，在正方体中，取直线为，平面为上顶面，平面为平面，则直线为，‎ 此时有，直线与为异面直线，即选项D的说法是错误的；‎ 本题选择D选项.‎ ‎1．设表示不同的直线， 表示平面，已知，下列结论错误的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】由于可能含于，故选项错误.‎ ‎2．已知、是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,下列命题中错误的是 A. 若m⊥、m∥n，n ，则⊥ B. 若∥，m⊥，n⊥，则m∥n C. 若∥， ， ，则m∥n D. 若⊥，m ， ，,m⊥n，则m⊥‎ ‎【答案】B ‎【点睛】本题主要考查空间直线和平面之间的位置关系的判断，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理和性质定理．‎ ‎3．已知是两个平面， 是两条直线，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】若， ，A错；若，则不一定垂直，甚至可能重合，B错；若，则可能相交，C错；若，则，所以，D正确，故选D.‎ ‎【方法总结】：空间线面间的位置关系判断，实际上可以借助于特殊的几何体来说明，如正方体，这样容易想象，直观性强，便于判断，本题中，如在正方体， ， ， 是平面， 是平面，这说明A错误．同样可说明B、C错误．‎ ‎4．下图是一几何体的平面展开图，其中四边形为正方形， ， ， ， 为全等的等边三角形， 分别为的中点.在此几何体中，下列结论中错误的为（ ）‎ A. 直线与直线共面 B. 直线与直线是异面直线 C. 平面平面 D. 面与面的交线与平行 ‎【答案】C ‎【解析】画出几何体的图形，如图， 故答案选C．‎ ‎5．已知是两条直线， 是两个平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】A不正确，因为n可能在平面内；‎ B两条直线可以不平行；‎ C当m在平面内时，n此时也可以在平面内。故选项不对。‎ D 正确，垂直于同一条直线的两个平面是平行的。‎ 故答案为：D。‎ ‎6．已知， 为不同的平面， ， ， 为不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若， ，则 B. 若， ， ，则 C. 若， ，则 D. 若， ， ， ， ，则 ‎【答案】D ‎【方法总结】立体几何的个判定定理和个性质定理的内容要熟记. 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.‎ ‎7．已知三条直线， ， 及平面，具备以下哪一条件时？‎ A. ， B. ， ‎ C. ， ， D. ， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】两直线垂直于同一个平面，则两直线平行，这是线面垂直的性质定理，故选.‎ ‎8．已知， 是空间中两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 若， ， ，则 B. 若， ，则 C. 若， ，则 D. 若， ， ，且， ，则 ‎【答案】B ‎9．表示两个不同的平面， 表示既不在内也不在内的直线，存在以下三种情况：‎ ‎①；②；③.‎ 若以其中两个为条件，另一个为结论构成命题，则其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，①l⊥α，②l∥β，③α⊥β， ∴以①②作为条件，③作为结论，即若l⊥α，l∥β，根据线面垂直的性质及面面垂直的判定，可得α⊥β，故是真命题； 以①③作为条件，②作为结论，即若l⊥α，α⊥β，根据面面垂直的性质及线面平行的判定，可得l∥β，故是真命题； 以②③作为条件，①作为结论，即若l∥β，α⊥β，则l⊥α，或l与α相交，故是假命题． 故选C．‎ ‎10．设表示不同的直线， 表示不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若，且，则；②若， ， ，则；‎ ‎③若， ，则；④如果， ， ，则.‎ 则错误的命题个数为（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】①若，且，则是正确的，垂直于同一个平面的直线互相平行；‎ ‎②若， ， ，则；是错误的，当m和n平行时，也会满足前边的条件。‎ ‎③若， ，则，不对，垂直于同一个平面的两个平面可以是交叉的；‎ ‎④如果， ， ，则；是错误的，平面和可以是任意的夹角；‎ 故答案为：B。‎ ‎11．已知表示两个不同的平面， 表示一条直线，且，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】D ‎12．已知是直线， 是平面，给出下列命题：‎ ‎①若，则或.‎ ‎②若，则.‎ ‎③若，则.‎ ‎④若且，则且.‎ 其中正确的命题是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n和α和β两个平面之间有相交，在面上，故①不正确，‎ 若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n.这是两个平面平行的性质定理，故②正确。‎ 若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β，缺少两条直线相交的条件，故③不正确，‎ 若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β，④正确，‎ 故选C.‎ ‎2.平行垂直证明 例2．27．在如图所示的五面体中，四边形为菱形，且， 平面， ， 为中点.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若平面平面，求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）取中点，连接，由线面平行的判定定理可得平面；再由平面可得；由题意可证得四边形为平行四边形，故得，从而得到平面，由面面平行的判定可得平面平面，由此可得结论成立．（2）由（1）得平面，故到平面的距离等于到平面的距离．取的中点，连接，可证得， ，从而可得平面，在此基础上可得， ．然后设到平面的距离为，由可得所求．‎ 试题解析：‎ ‎（1）取中点，连接，‎ 因为分别为中点，所以，‎ 又平面，且平面，所以平面，‎ 因为平面， 平面，平面平面，‎ 所以．‎ 又， ，‎ 所以， .‎ 所以四边形为平行四边形.‎ 所以.‎ 又平面且平面，所以平面，‎ 又，所以平面平面.‎ 又平面，所以平面.‎ 设到平面的距离为，又因为，‎ 所以由，得，‎ 解得.‎ 即到平面的距离为．‎ ‎【方法总结】：‎ ‎（1）求空间中点到面的距离时，一般是选择一个合适的三棱锥，将所求的距离看作是该棱锥的高，然后根据等体积法求解．‎ ‎（2）空间距离的求法一般都化归为点与点、点与线、点到面的距离来求．‎ 练习1．直三棱柱中， ， ， ，点是线段上的动点.‎ ‎（1）当点是的中点时，求证： 平面；‎ ‎（2）线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，试求出的长度；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）连接，交于点，连接，则点是的中点，利用三角形的中位线有,，由此证得线面平行.（2）当时平面平面.利用，可证得平面，由此证得两个平面垂直.利用等面积法求得的长.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）如图，连接，交于点，连接，则点是的中点，‎ 又点是的中点，由中位线定理得，‎ 因为平面， 平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）当时平面平面.‎ 证明：因为平面， 平面，所以．‎ 又， ，所以平面，‎ 因为平面，所以平面平面，‎ 故点满足.‎ 因为， ， ，所以，‎ 故是以角为直角的三角形，‎ 又，所以.‎ ‎2.如图，四边形是边长为1的正方形， ， ，且， 为的中点．则下列结论中不正确的是(　 　) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3.如图， 为等边三角形， 平面， ， ， 为的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证： 平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）取AB的中点G，连结FG，GC，由三角形中位线定理可得FG∥AE， ，结合已知DC∥AE， ， 可得四边形DCGF为平行四边形，得到FD∥GC，由线面平行的判定可得FD∥平面ABC；（2）由线面垂直的性质可得EA⊥面ABC，得到EA⊥GC，再由△ABC为等边三角形，得CG⊥AB，结合线面垂直的判定可得CG⊥平面EAB，再由面面垂直的判定可得面BDE⊥面EAB．‎ 解析：‎ ‎（1）证明：取的中点，连结 ‎∵在中， ， ‎ ‎∵， ∴， ‎ ‎∴四边形为平行四边形 ∴‎ 又∵平面 ∴平面 ‎（2）证：∵面， 平面，∴，‎ 又∵为等边三角形，∴，‎ 又∵，∴平面，‎ 又∵，∴面，‎ 又∵面，∴面面 ‎4．如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点， ， 分别是， ， 的中点．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题意：四棱锥的底面为平行四边形，点， ， 分别是， ， 的中点，‎ ‎∴是的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵平面， 平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）由（1），知，‎ ‎∵， 分别是， 的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵平面， 平面， ， 平面， 平面， ，‎ ‎∴平面平面． ‎ ‎5. 如图，在多面体中，已知是边长为2的正方形， 为正三角形， 分别为的中点， 且， .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证： 平面；‎ ‎（3）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：如图1，取的中点，连接，‎ 因为分别为的中点，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 因为为的中点， ，‎ 所以，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 又因为平面， 平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）证明：因为， ，‎ 所以．‎ 在正方形中， ，‎ 又，‎ 所以平面．‎ 又平面，‎ 所以，‎ 在正三角形中，‎ 又，‎ 所以平面．‎ ‎（3）如图2，连接，‎ 由（1）、（2）可知平面．‎ 所以为与平面所成的角.‎ 在中， ， ，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【规律解法总结】：‎ ‎（1）证明空间中的线面关系时要注意答题的规范性，首先根据证明的结论寻找需要的条件，然后根据定理的要求写出证明的过程，书写时注意步骤的完整性，要根据定理的要求写出证明的过程．‎ ‎（2）求空间角时要遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所要求的角，并给出证明，然后通过解三角形的方法求出该角（或其三角函数值）．‎ ‎3.翻折中的平行垂直 例3. 已知平面四边形中， 中， ，现沿进行翻折，得到三棱锥，点， 分别是线段， 上的点，且平面.‎ 求证：（1）直线平面；‎ ‎（2）当是中点时，求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎（2）因为是的中点， ，得到，进而证得，从而平面，利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：因为平面， 平面，‎ 平面平面，所以 因为平面， 平面，所以 平面 ‎（2）因为是的中点， ，所以为的中点.‎ 又因为，所以 又， ，所以，‎ ‎， 平面， ，所以平面.‎ 因为平面，所以平面平面.‎ 练习1．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（ ）‎ A. 与相交 B. 与平行 C. 与平行 D. 与异面 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意得到立体图如图所示：‎ A与是异面直线，故不相交；‎ B与平行，由立体图知是正确的；‎ C 与位于两个平行平面内，故不正确；‎ D与是相交的。‎ 故答案为：B。‎ ‎2. 已知直角梯形，如图（1）所示， ， ， ， ，连接，将沿折起，使得平面平面，得到几何体，如图（2）所示.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若，求二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析(2) 45°‎ 试题解析：（1）证明：如图（1），过作交于，得正方形，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴， ‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 如图（2），∵平面平面，且两面交线为， 平面 ‎∴平面 ‎（2）解：取中点，连接，则平面 ‎∵分别为中点 ‎∴‎ ‎∴‎ 以为原点， 所在的直线为轴、轴、轴，建立如图坐标系，‎ ‎， ， ， ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴， ‎ 设为平面的一个法向量，则 取，则 ‎∴‎ 又为平面的一个法向量 ‎∴‎ ‎∵二面角为锐角 ‎∴二面角为45°.‎ ‎3.如图，正方形的边长为4，点， 分别为， 的中点，将， ，分别沿， 折起，使， 两点重合于点，连接.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ） ， 平面，又平面, ,由已知可得， 平面；（Ⅱ）由面面垂直的性质定理可得为与平面所成角，在△中， ‎ ‎，从而可得与平面所成角的正弦值.‎ 试题解析：（Ⅰ） ， 平面，‎ 又平面, ,‎ 由已知可得， 平面； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面平面，则为与平面所成角，‎ 设， 交于点，连，则， ， ‎ 又平面， 平面， ， ‎ 在△中， ，‎ 与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【方法总结】本题主要考查线面垂直的判定定理及线面角的求法，属于难题. 证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎4. 如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.‎ ‎(1)证明：CD⊥平面A1OC；‎ ‎(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）6．‎ ‎【解析】试题分析:（1）在折叠前，根据平几知识得BE⊥AC.从而折叠后BE⊥A1O，BE⊥OC，再根据线面垂直判定定理得结果（2）由面面垂直性质定理得A1O⊥平面BCDE，再根据锥体体积公式得关于a的方程，解得a的值．‎ 试题解析：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以 BE⊥AC.‎ 即在题图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，‎ 从而BE⊥平面A1OC，‎ 又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.‎ ‎(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，‎ 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，‎ 又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，‎ 即A1O是四棱锥A1BCDE的高．‎ 由题图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.‎ 从而四棱锥A1BCDE的体积为V＝×S×A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.‎ ‎5. 已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.‎ ‎（1）求证： ； ‎ ‎（2）； ‎ ‎（3）设为中点，在边上找一点，使//平面并求.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）‎ 试题解析：（1）证明：因为该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，‎ ‎ ∴ BA，BC，BB1两两垂直。 ‎ 以BA，BC，BB1分别为轴建立空间直角坐标系，则N（4,4,0），B1（0, 8,0），C1（0,8,4），C（0,0,4）∵=（4,4,0）·（-4,4,0）=-16+16=0=（4,4,0）·（0,0,4）=0 ∴BN⊥NB1，BN⊥B1C1且NB1与B1C1相交于B1，‎ ‎∴BN⊥平面C1B1N； ‎ ‎（2）设为平面的一个法向量，则 ‎ ‎ ‎ 则 ‎ ‎（3）∵M（2,0,0）.设P(0,0,a)为BC上一点,则, ‎ ‎∵MP//平面CNB1,‎ ‎∴‎ 又,‎ ‎∴当PB=1时MP//平面CNB1 .‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角、证明线面垂直，求线面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1‎ ‎）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.‎ ‎6．在中， ， ， ， 是中点（如图1）.将沿折起到图2中的位置，得到四棱锥.‎ ‎（1）将沿折起的过程中， 平面是否成立？并证明你的结论；‎ ‎（2）若，过的平面交于点，且为的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将沿折起过程中， 平面成立。原因是：在中，由余弦定理求出，满足勾股定理，所以为等腰直角三角形且，又， ，所以平面成立；（2）求出三棱锥的高，算出的面积，由三棱锥体积公式求出三棱锥的体积.‎ 试题解析：（1）将沿折起过程中， 平面成立，‎ 证明：∵是中点，∴，‎ 在中，由余弦定理得，‎ ‎ .‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴为等腰直角三角形且，‎ ‎∴， ， ‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）因为，‎ ‎∴为等边三角形，‎ 取中点，连结，则,‎ 由（1）知平面， 平面，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎∴三棱锥的高.‎ ‎∵为中点，∴， .‎ ‎∴ .‎ ‎4.平行垂直中的探索性问题 例4. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形， .‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求证： ；‎ ‎(Ⅱ)若,点为线段的中点．请在线段上找一点,使平面，并说明理由.‎ ‎【答案】(I)见解析(II) 线段的中点即为所求的点 解析：‎ ‎(I)在直四棱柱中，‎ ‎∵平面平面，‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，∴.‎ ‎(II)线段的中点即为所求的点 [或：过作（或者）平行线交于点].‎ 理由如下：取线段的中点，连结.‎ ‎∵, ∴,‎ 又∵, ∴.‎ 又∵在梯形中， ,‎ ‎∴四边形是平行四边形．‎ ‎∴,‎ 又∵,‎ ‎∴‎ ‎∵延长必过,∴四点共面，‎ ‎∴不在平面内，即平面,‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面.‎ 练习1. 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2a，F为CD的中点．‎ ‎ ‎ ‎(1)求证：AF∥平面BCE；‎ ‎(2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）取CE中点M，根据平几知识可得四边形BAFM为平行四边形，即得BM//AF，再根据线面平行判定定理得结论（2）先根据空间直角坐标系，再设立各点坐标，根据方程组解得平面法向量，根据法向量相互垂直得平面BCE与平面CDE垂直．‎ 试题解析：‎ 建立如图所示的空间直角坐标系A－xy ，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a， a，0)，E(a， a,2a)．‎ 因为F为CD的中点，‎ 所以F.‎ ‎(1)证明：＝，＝(a， a，a)，＝(2a,0，－a)．‎ 因为＝ (＋)，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE.‎ ‎(2)平面BCE⊥平面CDE.证明如下：‎ 因为＝，＝(－a， a,0)，＝(0,0，－2a)，所以·＝0，A·＝0，所以⊥，⊥，所以AF⊥平面CDE，‎ 又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎2. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， , .‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）若为的中点， 为线段上的一点，令,当实数为何值时， ，写出证明过程；‎ ‎（3）在（2）的条件下求到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3） ‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，‎ ‎.‎ ‎, ‎ ‎（2）当时， ,理由如下： ‎ ‎,,取中点，连 分别为中点， , ‎ 四边形为平行四边形 ‎,‎ ‎ ‎ ‎（3）连过作为垂足，‎ 由 ‎, ‎ ‎.‎ ‎ ‎ 法二：(等体积法),‎ ‎,‎ ‎3．已知AF平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形， .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）线段上是否存在一点，使得 ?若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）ACBC，BEAC，所以AC平面BCE．（2）存在，点M为线段EF中点。‎ 试题解析：‎ 所以AC平面BCE．‎ ‎ ‎ ‎（2）存在，点M为线段EF中点，证明如下：在矩形ABEF中，因为点M，N为线段AB的中点，所以四边形BEMN为正方形，所以BMEN；因为AF平面ABCD，AD平面ABCD，所以AFAD.在直角梯形ABCD中，ADAB，又AFABA，所以AD平面ABEF，又CN//AD，所以CN平面ABEF，‎ 又BM平面ABEF所以CNBM； ‎ 又 CNENN，所以BM平面ENC，‎ 又EC平面ENC，‎ 所以BMCE.‎ ‎【方法总结】：本题考查空间几何体中的垂直关系。要证明线面垂直，利用其判定定理证明，只需找到该线与平面内的两条相交直线分别垂直即可；要证明线线垂直，利用线面垂直的性质，找到相关的线面垂直即可。‎ ‎4. 如图，在三棱柱中， 平面， ， 在线段上， ， .‎ ‎（1）求证： ；‎ ‎（2）试探究：在上是否存在点，满足平面，若存在，请指出点的位置，并给出证明；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为面，所以，结合就有面，从而.（2）取，在平面内过作交于，连结.可以证明四边形为平行四边形，从而，也就是平面.我们还可以在平面内过作，交于，连结.通过证明平面平面得到平面.‎ 解析：（1）∵面， 面，∴.又∵， ， 面， ，∴面，又面，∴‎ ‎.‎ ‎（2）（法一）当时， 平面.‎ 理由如下：在平面内过作交于，连结.∵，∴，又，且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，又面， 面，∴平面.‎ ‎（法二）当时， 平面.理由如下：在平面内过作，交于，连结.∵， 面， 面，‎ ‎∴平面，∵，∴，∴，又面， 面，∴平面.又面， 面， ，∴平面平面.∵面，∴平面.‎ ‎【方法总结】：证明线面平行，我们既可以在已知平面中找出与已知直线平行的直线，通过线面平行的判定定理去考虑，也可以利用构造过已知直线的平面，证明该平面与已知平面平行.‎ 四．高考真题 ‎1.【2014高考广东卷.理.7】若空间中四条直线两两不同的直线...，满足，，，则下列结论一定正确的是( )‎ A. B. C..既不平行也不垂直 D..的位置关系不确定 ‎【答案】D ‎【解析】如下图所示，在正方体中，取为，为，取为，为，‎ ‎；取为，为，则；取为，为，则与异面，因此.的位置关系不确定，故选D.‎ ‎【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于中等 题．解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理．‎ ‎2.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足 则（ ）‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意知，．故选C．‎ 考点：空间点、线、面的位置关系．‎ ‎【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系．‎ ‎3.【2015高考安徽，理5】已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）‎ ‎ （A）若，垂直于同一平面，则与平行 ‎ （B）若，平行于同一平面，则与平行 ‎ （C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线 ‎ （D）若，不平行，则与不可能垂直于同一平面 ‎【答案】D ‎【考点定位】1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用.‎ ‎【名师点睛】空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎4.【2015高考福建，理7】若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ 的 （ ） ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B．‎ ‎【考点定位】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．‎ ‎【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查空间直线、平面的位置关系，要理解线线垂直和线面垂直的相互转化以及线线平行和线面平行的转化还有平行和垂直之间的内部联系，长方体是直观认识和描述空间点、线、面位置关系很好的载体，所以我们可以将这些问题还原到长方体中研究．‎ ‎5. 【2015高考北京，理4】设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B 考点定位：本题考点为空间直线与平面的位置关系，重点考察线面、面面平行问题和充要条件的有关知识.‎ ‎【名师点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系及充要条件，本题属于基础题，本题以空间线、面位置关系为载体，考查充要条件．考查学生对空间线、面的位置关系及空间面、面的位置关系的理解及空间想象能力，重点是线面平行和面面平行的有关判定和性质.‎ ‎6.【2014辽宁理4】已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）‎ A．若则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：若A．若则与可能平行、相交、异面，故A错误； B．若，，则，显然成立；C．若，，则或故C错误；D．若，，则或或与相交.‎ 考点：1.命题的真假；2.线面之间的位置关系. ‎ ‎【名师点睛】本题考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系及垂直关系.解题分关键是熟记相关性质定理、判定定理等，首先利用举反例排除错误选项，是解答此类问题的常用方法.‎ 本题属于基础题，覆盖面较广，难度不大.‎ ‎7.【2016高考新课标2理数】 是两个平面，是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎（1）如果，那么.‎ ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.‎ 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ 考点： 空间中的线面关系.‎ ‎【名师点睛】求解本题应注意在空间中考虑线、面关系.‎ ‎8.【2017江苏，15】 如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.‎ ‎ 求证：（1）EF∥平面ABC；‎ ‎ （2）AD⊥AC.‎ ‎(第15题)‎ A D B C E F ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.‎ 又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.‎ ‎（2）因为平面ABD⊥平面BCD，‎ 平面平面BCD=BD， ‎ 平面BCD，，‎ 所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ 又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，‎ 所以AD⊥平面ABC，‎ 又因为AC平面ABC，‎ 所以AD⊥AC.‎ ‎【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理 ‎【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎9.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.‎ ‎（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB∥CD ，就可证明出AB⊥平面PAD.‎ 进而证明平面PAB⊥平面PAD.（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设是平面的法向量，是平面的法向量，根据垂直关系，求出和，利用数量积公式可求出二面角的平面角.‎ 试题解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.‎ 由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.‎ 又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.‎ ‎（2）在平面内作，垂足为，‎ 由（1）可知，平面，故，可得平面.‎ 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 设是平面的法向量，则 ‎，即，‎ 可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解 ‎【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②‎ 求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.‎ ‎10.【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)‎ 如图，在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.‎ 求证：（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F. ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题解析：证明：（1）在直三棱柱中，‎ 在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.‎ 所以，于是 又因为DE平面平面 所以直线DE//平面 ‎（2）在直三棱柱中，‎ 因为平面，所以 考点：直线与直线、平面与平面位置关系 ‎【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎ ‎(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.‎ ‎11.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 于是，，‎ 故.‎ 又，而，‎ 所以.‎ ‎（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，‎ 所以可以取.设是平面的法向量，则，‎ 即，‎ 所以可以取.于是， .‎ 因此二面角的正弦值是.‎ 考点：线面垂直的判定、二面角. ‎ ‎【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．‎ 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．‎ ‎12.【2014高考北京理第17题】（本小题满分13分）‎ 如图，正方体的边长为2，，分别为，的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱，分别交于，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用正方形的性质，证明，利用线面平行的判定定理证明平面，再用线面平行的性质定理证明；（2）由条件底面，证明，，‎ 建立空间直角坐标系，利用向量法求解，先求平面的法向量，利用公式，求直线与平面所成的角，再设点，因为点在棱上，所以可设，利用向量的坐标运算，求的值，最后用空间中两点间的距离公式求.‎ ‎（2）因为底面，所以，，‎ 如图建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，设平面的法向量为，‎ 则，即，令，则，所以，‎ 设直线与平面所成的角为，则，‎ 因此直线与平面所成的角为，‎ 设点，因为点在棱上，所以可设，‎ 即，所以，‎ 因为向量是平面的法向量，所以，‎ 即，解得，所以点的坐标为，‎ 所以.‎ 考点：空间中线线、线面、面面的平行于垂直，用向量法求线面角，即空间距离.‎ ‎【名师点睛】本题考查线线、线面平行及求线、面角的相关知识及运算，本题属于中档题，熟练利用有关平行的判定定理和性质定理进行面面平行、线面平行、线线平行之间的转化与证明，另外利用空间向量解题时，要建立适当的直角坐标系，准确写出空间点的坐标，利用法向量求线、面角.‎ ‎13. 【2015高考北京，理17】如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，，，，，为的中点．‎ ‎(Ⅰ) 求证：；‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值；‎ ‎(Ⅲ) 若平面，求的值．‎ ‎ ‎ ‎【答案】(1)证明见解析，（2），（3）‎ ‎【解析】‎ 试题解析：(Ⅰ)由于平面平面，为等边三角形，为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面EFCB，又平面，则.‎ ‎(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，，‎ ‎，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，，，，，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎（Ⅲ）有（1）知平面EFCB，则，若平面，只需，，又，，解得或，由于，则.‎ 考点定位：本题考点为线线垂直的证明和求二面角，要求学生掌握空间线线、线面的平行与垂直的判定与性质，利用法向量求二面角以及利用数量积为零解决垂直问题.‎ ‎【名师点睛】本题考查线线、线面垂直及求二面角的相关知识及运算，本题属于中档题，熟练利用有关垂直的判定定理和性质定理进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化与证明，另外利用空间向量解题时，要建立适当的直角坐标系，准确写出空间点的坐标，利用法向量求二面角，利用数量积为零，解决线线、线面垂直问题.‎ ‎14.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）‎ 如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，.求证：（1）；‎ ‎ （2）.‎ A B C D E A1‎ B1‎ C1‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析（1）由三棱锥性质知侧面为平行四边形,因此点为的中点，从而由三角形中位线性质得，再由线面平行判定定理得（2）因为直三棱柱中，所以侧面为正方形，因此，又，（可由直三棱柱推导），因此由线面垂直判定定理得,从而，再由线面垂直判定定理得,进而可得 试题解析：（1）由题意知，为的中点，‎ 又为的中点，因此．‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面．‎ ‎（2）因为棱柱是直三棱柱，‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以．‎ ‎【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理 ‎【名师点晴】不要忽视线面平行的判定定理中线在面外条件．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线, 常利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. 证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件．证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．‎ ‎15.【2014江苏，理16】如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知，‎ 求证（1）直线平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（1）由于分别是的中点，则有，又，，所以．‎ ‎（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以，又，所以平面平面．‎ ‎【考点定位】线面平行判定定理，面面垂直判定定理 ‎【名师点晴】不要忽视线面平行的判定定理中线在面外条件．证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线, 常利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. 由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．证明线面垂直时，不要忽视面内两条线为相交线这一条件．证明直线与平面垂直的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用，这是证明空间垂直关系的基础．‎ ‎ ‎