- 2021-04-25 发布 |
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文档介绍
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习:第7章 第3节 课时分层训练40
课时分层训练(四十) 空间点、直线、平面之间的位置关系 A组 基础达标 (建议用时:30分钟) 一、选择题 1.(2015·湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则( ) A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件 B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件 C.p是q的充分必要条件 D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 A [若l1,l2异面,则l1,l2一定不相交;若l1,l2不相交,则l1,l2是平行直线或异面直线,故p⇒q,qD⇒/p,故p是q的充分不必要条件.] 2.已知a,b,c为三条不重合的直线,已知下列结论:①若a⊥b,a⊥c,则b∥c;②若a⊥b,a⊥c,则b⊥c;③若a∥b,b⊥c,则a⊥c.其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 B [法一:在空间中,若a⊥b,a⊥c,则b,c可能平行,也可能相交,还可能异面,所以①②错,③显然成立. 法二:构造长方体或正方体模型可快速判断,①②错,③正确.] 3.(2017·郑州联考)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( ) A.相交或平行 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 D [依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.] 4.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( ) 【导学号:01772251】 A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定 D [如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA.若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,可以排除选项A和C. 若取C1D为l4,则l1与l4相交;若取BA为l4,则l1与l4异面;取C1D1为l4,则l1与l4相交且垂直. 因此l1与l4的位置关系不能确定.] 5.(2017·河北师大附中月考)三棱柱ABCA1B1C1中,AA1与AC、AB所成的角均为60°,∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,则A1B与AC1所成角的正弦值为 ( ) A.1 B. C. D. D [如图所示,把三棱柱补形为四棱柱ABDCA1B1D1C1,连接BD1,A1D1,则BD1∥AC1,则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角,设A1B=a,在△A1BD1中,A1B=a,BD1=a,A1D1=a,∴sin∠A1BD1=.] 二、填空题 6.如图737所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论: 图737 ①直线AM与CC1是相交直线; ②直线AM与BN是平行直线; ③直线BN与MB1是异面直线; ④直线MN与AC所成的角为60°. 其中正确的结论为________.(注:把你认为正确的结论序号都填上) ③④ [由题图可知AM与CC1是异面直线,AM与BN是异面直线,BN与MB1为异面直线. 因为D1C∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且角为60°.] 7. (2017·佛山模拟)如图738所示,在正三棱柱ABCA1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为________. 图738 60° [取A1C1 的中点E,连接B1E,ED,AE, 在Rt△AB1E中,∠AB1E即为所求, 设AB=1,则A1A=,AB1=,B1E=,AE=,故∠AB1E=60°.] 8.如图739,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________. 【导学号:01772252】 图739 4 [取CD的中点为G(图略),由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行,从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内,所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.] 三、解答题 9.如图7310所示,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问: 图7310 (1)AM和CN是否是异面直线?说明理由; (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由. [解] (1)AM,CN不是异面直线.理由:连接MN,A1C1,AC. 因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.2分 又因为A1A綊C1C,所以A1ACC1为平行四边形, 所以A1C1∥AC,所以MN∥AC, 所以A,M,N,C在同一平面内, 故AM和CN不是异面直线.5分 (2)直线D1B和CC1是异面直线.6分 理由:因为ABCDA1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α, 所以D1,B,C,C1∈α,10分 这与B,C,C1,D1不共面矛盾,所以假设不成立, 即D1B和CC1是异面直线.12分 10.如图7311所示,在三棱锥PABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求: 图7311 (1)三棱锥PABC的体积; (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值. [解] (1)S△ABC=×2×2=2, 三棱锥PABC的体积为 V=S△ABC·PA=×2×2=.5分 (2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).8分 在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cos∠ADE==. 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.12分 B组 能力提升 (建议用时:15分钟) 1.(2017·南昌二模)设α为平面,a,b为两条不同的直线,则下列叙述正确的是( ) A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a⊥α,a∥b,则b⊥α C.若a⊥α,a⊥b,则b∥α D.若a∥α,a⊥b,则b⊥α B [若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故A错误;易知B正确; 若a⊥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α,故C错误; 若a∥α,a⊥b,则b∥α或b⊂α或b与α相交,故D错误.] 2.如图7312,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为________. 【导学号:01772253】 图7312 [取DE的中点H,连接HF,GH. 由题设,HF綊AD, ∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角). 在△GHF中,可求HF=, GF=GH=, ∴cos∠GFH==.] 3.(2016·广州模拟)已知三棱锥ABCD中,AB=CD,且直线AB与CD成60°角,点M,N分别是BC,AD的中点,求直线AB和MN所成的角. [解] 如图,取AC的中点P.连接PM,PN,又点M,N分别是BC,AD的中点, 则PM∥AB,且PM=AB, PN∥CD,且PN=CD, 所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角).6分 则∠MPN=60°或∠MPN=120°, ①若∠MPN=60°,因为PM∥AB,所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角). 又因为AB=CD,所以PM=PN, 则△PMN是等边三角形,所以∠PMN=60°, 即AB和MN所成的角为60°.9分 ②若∠MPN=120°,则易知△PMN是等腰三角形, 所以∠PMN=30°,即AB和MN所成的角为30°. 综上,直线AB和MN所成的角为60°或30°.12分查看更多