2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第7章 第3节 课时分层训练40

2018版高考数学（人教A版理）一轮复习：第7章 第3节 课时分层训练40

课时分层训练(四十)　‎ 空间点、直线、平面之间的位置关系 A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2015·湖北高考)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则(　　)‎ A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件 B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件 C．p是q的充分必要条件 D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 A　[若l1，l2异面，则l1，l2一定不相交；若l1，l2不相交，则l1，l2是平行直线或异面直线，故p⇒q，qD⇒/p，故p是q的充分不必要条件．]‎ ‎2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(　　)‎ A．0 B.1‎ C．2 D.3‎ B　[法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．‎ 法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]‎ ‎3．(2017·郑州联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)‎ A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 D　[依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．]‎ ‎4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ ‎ 【导学号：01772251】‎ A．l1⊥l4‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 D　[如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA.若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除选项A和C.‎ 若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直．‎ 因此l1与l4的位置关系不能确定．]‎ ‎5．(2017·河北师大附中月考)三棱柱ABCA1B1C1中，AA1与AC、AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，则A1B与AC1所成角的正弦值为 ‎(　　)‎ A．1 B. C. D. D　[如图所示，把三棱柱补形为四棱柱ABDCA1B1D1C1，连接BD1，A1D1，则BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角，设A1B＝a，在△A1BD1中，A1B＝a，BD1＝a，A1D1＝a，∴sin∠A1BD1＝.]‎ 二、填空题 ‎6.如图737所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：‎ 图737‎ ‎①直线AM与CC1是相交直线；‎ ‎②直线AM与BN是平行直线；‎ ‎③直线BN与MB1是异面直线；‎ ‎④直线MN与AC所成的角为60°.‎ 其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)‎ ‎③④　[由题图可知AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．‎ 因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，且角为60°.]‎ ‎7. (2017·佛山模拟)如图738所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，则异面直线AB1与BD所成的角为________．‎ 图738‎ ‎60°　[取A1C1 的中点E，连接B1E，ED，AE，‎ 在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，‎ 设AB＝1，则A1A＝，AB1＝，B1E＝，AE＝，故∠AB1E＝60°.]‎ ‎8．如图739，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________. ‎ ‎【导学号：01772252】‎ 图739‎ ‎4　[取CD的中点为G(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]‎ 三、解答题 ‎9.如图7310所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点．问：‎ 图7310‎ ‎(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．‎ ‎[解]　(1)AM，CN不是异面直线．理由：连接MN，A1C1，AC.‎ 因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.2分 又因为A1A綊C1C，所以A1ACC1为平行四边形，‎ 所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，‎ 所以A，M，N，C在同一平面内，‎ 故AM和CN不是异面直线.5分 ‎(2)直线D1B和CC1是异面直线.6分 理由：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面．假设D1B与CC1不是异面直线，‎ 则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，‎ 所以D1，B，C，C1∈α，10分 这与B，C，C1，D1不共面矛盾，所以假设不成立，‎ 即D1B和CC1是异面直线.12分 ‎10．如图7311所示，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：‎ 图7311‎ ‎(1)三棱锥PABC的体积；‎ ‎(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．‎ ‎[解]　(1)S△ABC＝×2×2＝2，‎ 三棱锥PABC的体积为 V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.5分 ‎(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).8分 在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，cos∠ADE＝＝.‎ 故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·南昌二模)设α为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊥α，a∥b，则b⊥α C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α D．若a∥α，a⊥b，则b⊥α B　[若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；易知B正确；‎ 若a⊥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α，故C错误；‎ 若a∥α，a⊥b，则b∥α或b⊂α或b与α相交，故D错误．]‎ ‎2.如图7312，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________. ‎ ‎【导学号：01772253】‎ 图7312‎ 　[取DE的中点H，连接HF，GH.‎ 由题设，HF綊AD，‎ ‎∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．‎ 在△GHF中，可求HF＝，‎ GF＝GH＝，‎ ‎∴cos∠GFH＝＝.]‎ ‎3．(2016·广州模拟)已知三棱锥ABCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角．‎ ‎[解]　如图，取AC的中点P.连接PM，PN，又点M，N分别是BC，AD的中点，‎ 则PM∥AB，且PM＝AB，‎ PN∥CD，且PN＝CD，‎ 所以∠MPN为AB与CD所成的角(或其补角).6分 则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，‎ ‎①若∠MPN＝60°，因为PM∥AB，所以∠PMN是AB与MN所成的角(或其补角)．‎ 又因为AB＝CD，所以PM＝PN，‎ 则△PMN是等边三角形，所以∠PMN＝60°，‎ 即AB和MN所成的角为60°.9分 ‎②若∠MPN＝120°，则易知△PMN是等腰三角形，‎ 所以∠PMN＝30°，即AB和MN所成的角为30°.‎ 综上，直线AB和MN所成的角为60°或30°.12分