山东省临沂市临沭县2020届高三上学期期末考试数学试题

山东省临沂市临沭县2020届高三上学期期末考试数学试题

‎2020届高三上学期期末教学质量检测卷数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ ‎4．测试范围：高中全部内容.‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合交集的定义，即可求出答案.‎ ‎【详解】因为，.‎ 所以 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.要解本类题型需掌握集合的交集、并集、补集运算及其性质.‎ ‎2.若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是（ ）‎ A. 1 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得的，根据，即可得到结果.‎ ‎【详解】∵复数在复平面中对应的点为，‎ ‎∴，又，‎ ‎∴，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义与乘方运算，考查计算能力，属于常考题型.‎ ‎3.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化，为，求解，利用即得解.‎ ‎【详解】由于 又 故选：D ‎【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式综合应用，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.‎ ‎4.已知抛物线：的准线与圆：相切，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由抛物线方程得到准线方程，再由准线与圆相切，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为抛物线的准线为， 又准线与圆相切，‎ 所以 ，则.‎ 故选D ‎【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，熟记抛物线与圆的性质即可，属于常考题型.‎ ‎5.已知向量，满足，，，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化，为，可得，由即得解.‎ ‎【详解】‎ 又 故选：D ‎【点睛】本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎6.‎ 某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按甲乙分情况求解即可 ‎【详解】若甲、乙一起（无其他人）有 种 若甲、乙与另一人一起（三人一起）有种 ，共18+18=36种 故选B ‎【点睛】本题考查排列组合的简单应用，考查分类讨论思想，是基础题 ‎7.已知是双曲线的右焦点，点在的右支上，坐标原点为，若，且，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的左焦点为运用余弦定理可得，再由双曲线的定义可得，即为，运用离心率公式计算即可得到所求值．‎ ‎【详解】设双曲线的左焦点为 由题意可得，，‎ 即有 ‎，‎ 即有，‎ 由双曲线的定义可得，即为，‎ 即有，可得．‎ 故选D．‎ 点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎8.已如三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上，若，当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（ ）.‎ A. B. 2π C. 5π D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据当三棱锥的体积取到最大值时，分别过作平面与平面的垂线，相交于，得到球的球心，再由求得截面的性质，求得球的半径，即可求得球的表面积.‎ ‎【详解】如图所示，当三棱锥的体积取到最大值时，则平面与平面垂直，‎ 取的中点，连接，则，‎ 分别取与的外心，分别过作平面与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，‎ 由，可得正方形的边长为，则 所以四面体的外接球的半径 所以球的表面积为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.下图可能是下列哪个函数的图像（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.‎ ‎【详解】由图像可知，在上单调递增，故可排除D；‎ 当时，A、选项中的选项中的 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题.‎ ‎10.把函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像，若的图像关于轴对称，则的值可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的图象变换，求得函数，再利用三角函数的性质，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，把函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数，‎ 因为函数的图像关于轴对称，‎ 所以，所以，‎ 当时，；当时，，故选A,D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.‎ A. 若，则；‎ B. 若则；‎ C. 若，，则；‎ D. 若，，则.‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D正确，选项B，C错误.‎ ‎【详解】解：对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确； ‎ 对于选项B，当时，，显然不成立，即选项B错误；‎ 对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；‎ 对于选项D，，则，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，‎ 即四个推段中正确的为AD，‎ 故答案为AD.‎ ‎【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题.‎ ‎12.定义在上的函数的图象是连续不断的曲线，且，当时，恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数，判断为偶函数，且在上单调递增，再计算函数值比较大小得到答案.‎ ‎【详解】构造函数，因为，所以 则，所以为偶数 当时，，所以在上单调递增，‎ 所以有，则，即，即.‎ 故选 ‎【点睛】本题考查了函数的综合应用，构造函数判断其奇偶性和单调性是解题的关键.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.命题：“，使得”的否定是_________ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 特称命题的否定是全称命题,改量词,否结论 ‎【详解】‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定形式.‎ ‎14.为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是______．‎ ‎【答案】300‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的定义建立比例关系，则可得到结论．‎ ‎【详解】这次抽样调查抽取的总人数是．‎ 故答案为300．‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，根据分层抽样的定义建立比例关系是解题的关键，属于基础题．‎ ‎15.偶函数满足，且当时，，则__________，则若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【详解】偶函数满足，‎ ‎，‎ 即函数是周期为2的周期函数，‎ 则，‎ 若，则，‎ 则，‎ 即，，‎ 由得，‎ 要使函数有4个零点 等价为函数与有四个不同的交点，‎ 作出两个函数的图象如图：‎ 过定点，，‎ 则满足，‎ 即，得，‎ 即实数的取值范围是，‎ 故答案为，‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．‎ ‎16.设数列的前项和为，且满足，则____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得数列的首项为，在中将换为，两方程相减可得数列的通项公式，再由等比数列求和公式计算可得所求和．‎ ‎【详解】解：，‎ 可得时， ，‎ 时，，‎ 又，‎ 两式相减可得，‎ 即，‎ 上式对也成立，‎ 可得数列是首项为1，公比为的等比数列，‎ 可得．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了赋值法及等比数列的前项和公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题．‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.设的内角，，的对边分别为，，.若.‎ ‎（1）求角.‎ ‎（2）若的面积为，且，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理与两角和正弦公式可得到结果；‎ ‎（2）由题意及三角形面积公式可得，结合特殊角的三角函数值得到，从而得到结果.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∵，‎ ‎∴. ‎ ‎（2）， ‎ ‎∴由余弦定理得，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角恒等变换，考查计算能力与推理能力，属于中档题．‎ ‎18.在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前n项和．‎ ‎（1）求数列、的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设数列的公差为d，由，，成等比数列，列式解得（舍去）或，进而得；再由数列的前n项和，得，且，进而得；‎ ‎（2）由（1）得，利用分组求数列的前n项和即可.‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为d，则，，∵，，成等比数列，‎ ‎，即，‎ 整理得，解得（舍去）或，.‎ 当时，，‎ 当时，．‎ 验：当时，满足上式，∴数列通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎19.进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：‎ ‎  ‎ 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 有私家车 ‎70‎ ‎40‎ ‎110‎ 合计 ‎160‎ ‎60‎ ‎220‎ ‎（1）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；‎ ‎（2）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．‎ 参考公式：K2＝‎ P（K2≥k）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）有的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据列联表里的数据，计算出的值，然后进行判断；（2）根据分层抽样的要求得到没有私家车的应抽取2人 有私家车的4人，再求出总的情况数和符合要求的情况数，由古典概型公式，得到答案.‎ ‎【详解】解：（1）根据列联表,计算 所以有的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；‎ ‎（2）从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人，‎ 没有私家车的应抽取2人 有私家车的4人.‎ 随机抽出2人，总的情况数为，‎ 至少有1名“没有私家车”人员的情况数为，‎ 所以根据古典概型的公式得：‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查列联表分析，分层抽样，古典概型，属于中档题.‎ ‎20.如图，在四棱锥中，平面，四边形菱形，，，且交于点，是上任意一点. ‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直的性质得，利用菱形的性质得，利用线面垂直的判定定理得平面，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到；‎ ‎（2）分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，用坐标表示点，求得平面的法向量为，平面的法向量为，根据二面角的余弦值为，可求出，从而得到点的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】（1）∵平面，∴‎ 又∵四边形为菱形，∴‎ 又，∴平面 ‎ 平面，∴‎ ‎（2）连，在中，，∴平面 分别以，，为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.‎ ‎ ‎ 设，则，，‎ ‎，，. ‎ 由（1）知，平面的一个法向量为 设平面 的一个法向量为，则由 ‎ 即，令，则 因二面角的余弦值为，‎ ‎∴，∴‎ 设与平面所成角为，∵，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.‎ ‎21.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，两点，直线的斜率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若的外接圆在处的切线与椭圆交另一点于，且的面积为，求椭圆的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先求出左顶点为，右焦点为的坐标，由题意求出的坐标，由斜率公式，根据直线的斜率为，这样可以求出椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）,可设出，设的外接圆的圆心坐标为，由，得，求得，求得切线方程，代入椭圆方程，求出,利用点到直线距离和三角形面积公式，代入可求出，求出的值，求得椭圆方程.‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意可知：，设，由题意可知：M在第一象限，且，‎ ‎，，；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）, ，所以椭圆方程为：‎ ‎，设的外接圆的圆心坐标为，由，得，求得，，切线斜率为：，切线直线方程为，即代入椭圆方程中,得 ‎，，，‎ ‎，‎ 到直线的距离，的面积为，所以有 ‎，，椭圆方程为：.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率，考查了直线与椭圆的位置关系，圆的切线性质，考查了数学运算能力.‎ ‎22.已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（1）求函数的解析式，并证明：.‎ ‎（2）已知，且函数与函数的图象交于，两点，且线段的中点为，证明：.‎ ‎【答案】（1），证明见解析； （2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用切线方程可求得的解析式，令，利用导数可求得，从而证得结论；（2）通过分析法可知要证成立只需证；令，即证：；令，利用导数研究单调性，可知，得到成立；令，利用导数研究单调性，可知，得到成立，可知需证的不等式成立，则原不等式成立.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，即 又，即，则，解得：‎ 则.‎ 令，‎ 令，解得：‎ 则函数在上单调递减，在上单调递增 ‎，则：‎ ‎（2）要证成立，只需证：‎ 即证，即：‎ 只需证：‎ 设，即证：‎ 要证，只需证：‎ 令，则 在上为增函数 ‎，即成立；‎ 要证，只需证明：‎ 令，则 在上为减函数 ，即成立 ‎，成立 成立 ‎【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到导数几何意义的应用、利用导数证明不等式、分析法证明不等式的问题，关键是能够通过构造函数的方式，将所证不等式转变为函数最值的求解问题，构造合适的函数是解决本题的难点.‎