2017-2018学年湖北省黄冈市高二上学期期末考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年湖北省黄冈市高二上学期期末考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年湖北省黄冈市高二上学期期末考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知命题： ，总有，则为（　　）‎ A. ，使得 B. ，总有 C. ，使得 D. ，总有 ‎【答案】B ‎【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题： ，总有，‎ 有，总有.‎ 故选B.‎ ‎2．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A. 至少有一个白球；至少有一个红球 B. 至少有一个白球；红、黑球各一个 C. 恰有一个白球；一个白球一个黑球 D. 至少有一个白球；都是白球 ‎【答案】B ‎【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个, 在A中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立; 在B中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故B成立; 在C中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故C不成立; 在D中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不成立. 故选B.‎ 点睛:事件A和B的交集为空,A与B就是互斥事件,也可以描述为:不可能同时发生的事件,则事件A与事件B互斥,从集合的角度即;若A交B为不可能事件,A并B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件,即事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生,其定义为:其中必有一个发生的两个互斥事件为对立事件.‎ ‎3．中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示．若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（　　）‎ A. 2 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得：诗词达人有8人，诗词能手有16人，诗词爱好者有16人，分层抽样抽选10名学生，所以诗词能手有人 ‎ ‎4．“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】方程的曲线是椭圆，故应该满足条件： ‎ 故”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.‎ 故答案为：B.‎ ‎5．某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为、，则双曲线的离心率的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知本题是一个古典概型，‎ ‎∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果 满足条件的事件是e= ‎ ‎∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；‎ 当b=2时，有a=5，6两种情况，‎ 总共有6种情况．‎ ‎∴概率为．‎ 故选A ‎6．宋元时期数学名著《算数启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由程序框图可得， 时， ，继续循环； 时， ，继续循环； 时， ， 继续循环；结束输出.‎ 点睛：循环结构的考查是高考热点，有时会问输出结果，或是判断框的条件是什么，这类问题容易错在审题不清，计数变量加错了，没有理解计数变量是在计算结果之前还是计算结果之后，最后循环进来的数是什么等问题，防止出错的最好的办法是按顺序结构写出每一个循环，这样就会很好的防止出错.‎ ‎7．已知，，则的最小值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵向量，,‎ ‎ ‎ 当t=0时，取得最小值.‎ 故答案为：.‎ ‎8．如图，已知棱长为1的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】以D为原心，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，‎ 建立空间直角坐标系D﹣xyz，‎ ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，‎ ‎∴A（1，0，0），E（1，，1），B（1，1，0）‎ D1（0，0，1），‎ ‎∴=（0，，1），=（0，1，0），‎ ‎=（﹣1，0，1），‎ 设平面ABC1D1的法向量，‎ 则 ‎ ‎∴ ∴，‎ 设直线AE与平面与平面ABC1D1所成的角为θ，‎ 则sinθ=.‎ 故答案为:D.‎ ‎9．在去年的足球甲联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）‎ ‎①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.‎ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ‎【答案】D ‎【解析】在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确； ‎ 在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确； 在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确； 在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确.‎ 故选：D．‎ ‎10．直线与抛物线交于，两点，若，则弦的中点到直线的距离等于（ ）‎ A. B. C. 4 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】直线4kx﹣4y﹣k=0可化为k（4x﹣1）﹣4y=0，故可知直线恒过定点（，0）‎ ‎∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=﹣，‎ ‎∴直线AB为过焦点的直线 ‎∴AB的中点到准线的距离 ‎ ‎∴弦AB的中点到直线x+ =0的距离等于2+=.‎ 故选B．‎ 点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义。一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。‎ ‎11．给出以下命题，其中真命题的个数是（ ）‎ ‎①若“或”是假命题，则“且”是真命题；‎ ‎②命题“若，则或”为真命题；‎ ‎③已知空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面；‎ ‎④直线与双曲线交于，两点，若，则这样的直线有3条；‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】(1)若“或”是假命题，则是假命题p是真命题，是假命题是真命题，故且真命题,选项正确.‎ ‎(2) 命题“若，则或”的逆否命题是若a=2,且b=3,则a+b=5.这个命题是真命题，故原命题也是真命题.‎ ‎（3）∵++=1，∴P，A，B，C四点共面，故（3）正确，‎ ‎（4）由双曲线方程得a=2，c=3，即直线l：y=k（x﹣3）过双曲线的右焦点，‎ ‎∵双曲线的两个顶点之间的距离是2a=4，a+c=2+3=5，‎ ‎∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，当k=0时2a=4，‎ 则满足|AB|=5的直线有2条，当直线与实轴垂直时，‎ 当x=c=3时，得，即=，即则y=±，‎ 此时通径长为5，若|AB|=5，则此时直线AB的斜率不存在，故不满足条件．综上可知有2条直线满足|AB|=5，故（4）错误，‎ 故答案为：C.‎ ‎12．是双曲线的右焦点，过点向的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知渐近线方程为l1： ，l2： ，‎ 由条件得F到渐近线的距离，则，‎ 在Rt△AOF中， ，则.‎ 设l1的倾斜角为θ，即∠AOF=θ，则∠AOB=2θ.‎ 在Rt△AOF中， ，在Rt△AOB中， .‎ ‎∵，即，即a2=3b2，‎ ‎∴a2=3(c2-a2)，‎ ‎∴，即.‎ 故选C.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题 ‎13．有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P＝＝.‎ ‎14．为了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7.0‎ ‎6.5‎ ‎3.8‎ ‎2.2‎ 已知和具有线性相关关系，且回归方程为，那么表中的值为__________．‎ ‎【答案】5.5‎ ‎【解析】 将样本中心代入回归方程得到m=5.5.‎ 故答案为：5.5.‎ ‎15．已知，直线：和直线：分别与圆：相交于、和、，则四边形的面积为__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意，直线l1：x+2y=a+2和直线l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圆心（a，1），且互相垂直，‎ ‎∴四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴四边形ABCD的面积为4×8，‎ 故答案为：8.‎ ‎16．过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于、两点，为椭圆的左焦点，若，且该椭圆的离心率，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设右焦点F′，连结AF′，BF′，得四边形AFBF′是正方形，‎ ‎∵AF+AF′=2a，AF+BF=2a，OF=c，∴AB=2c，‎ ‎∵∠BAF=θ，∴AF=2c•cos，BF=2c•sin，‎ ‎∴2csin+2ccos=2a， ‎ ‎∵该椭圆的离心率，‎ ‎∴‎ ‎∵θ∈[0，π），∴的取值范围为．‎ 点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质．有关椭圆的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,解决椭圆离心率的相关问题的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．‎ 三、解答题 ‎17．某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组……，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ ‎（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；‎ ‎（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数；‎ ‎（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、平均数.‎ ‎【答案】人；（2）人； 15.70.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）利用频率分布直方图能估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数．（2）利用频率分布直方图能求出该样本在这次百米测试中成绩良好的人数．（3）根据频率分布直方图，能求出样本数据的众数、中位数．‎ 解析：‎ 学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数人； ‎ ‎（2）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：人；‎ ‎ 由图可知众数落在第三组，是， ‎ ‎.‎ ‎18．已知命题方程表示圆；命题双曲线的离心率，若命题“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先化简命题，得到相应的数集；再根据真值表得到的真假性，再分类进行求解．‎ 试题解析：若命题为真命题 ，则，即 整理得，解得4分 若命题为真命题 ，则，解得8分 因为命题为假命题， 为真命题，所以中一真一假， 10分 若真假，则; 若假真，则，‎ 所以实数的取值范围为． 12分 ‎【考点】1．圆的一般方程；2．双曲线的结合性质；3．复合命题的真值表．‎ ‎19．已知圆： ， 是轴上的动点， 分别切圆于两点.‎ ‎（1）若，求及直线的方程；‎ ‎（2）求证：直线恒过定点.‎ ‎【答案】（Ⅰ）,直线的方程为： 或;（Ⅱ）证明过程见解析.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设直线则,‎ 又，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 设，而点由得，‎ 则或，‎ 从而直线的方程为： 或.‎ ‎（Ⅱ）证明：设点，由几何性质可以知道， 在以为直径的圆上，此圆的方程为， 为两圆的公共弦，两圆方程相减得即过定点.‎ ‎【考点】直线与圆；直线方程 ‎20．在一次趣味校园运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三代表队人数分别为120人、120人、n人.为了活跃气氛,大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就座,其中高二代表队有6人.‎ ‎(1)求n的值;‎ ‎(2)把在前排就座的高二代表队6人分别记为a,b,c,d,e,f,现随机从中抽取2人上台抽奖.求a和b至少有一人上台抽奖的概率;‎ ‎(3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中奖的概率.‎ ‎【答案】（1）160；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据分层抽样可得，故可求n的值；‎ ‎（Ⅱ）求出高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；‎ ‎（Ⅲ）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题意可得，∴n=160；‎ ‎（Ⅱ）高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，‎ 其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，‎ ‎∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；‎ ‎（Ⅲ）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，‎ 由条件得到的区域为图中的阴影部分，‎ ‎（指出点形成的正方形一分,不等式组一分,画出图形一分,算出阴影部分面积2分）‎ 由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1，‎ ‎∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为，‎ 设“该运动员获得奖品”为事件N,‎ 则该运动员获得奖品的概率P（N）==‎ ‎【考点】程序框图；古典概型及其概率计算公式；几何概型．‎ ‎21．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， 平面，点， 分别为， 的中点，且， .‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据直线与平面平行的判定定理，需在平面内找一条与平行的直线.结合题设可取取中点，连接， 易得四边形为平行四边形，从而得，问题得证.‎ ‎（Ⅱ）思路一、首先作出二面角的平面角，即过棱BC上一点分别在两个平面内作棱BC的垂线.因为，点分别为的中点，则.连接，因为平面，所以AM是PM在面ABC内的射影，所以，所以即为二面角的平面角.再作出直线与平面所成的角，即作出AC在平面PBC内的射影.由， 且得平面，从而平面平面.过点在平面内作于，根据面面垂直的性质知平面．连接，于是就是直线与平面所成的角．在及中，找出与的关系，即可根据的范围求出的范围. 思路二、以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量亦可求解.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接，‎ 因为点分别为的中点，所以 四边形为平行四边形，则又平面， 平面 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）解法1：连接，因为，点分别为的中点，则 又平面，则所以即为二面角的平面角 又，所以平面，则平面平面 过点在平面内作于，则平面．‎ 连接，于是就是直线与平面所成的角，即= ．‎ 在中， ；‎ 在中， ， ．‎ ‎，‎ ‎， ．‎ 又， ．‎ 即二面角取值范围为．‎ 解法2：连接，因为，点分别为的中点，则 又平面，则所以即为二面角的平面角，设为 以所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，‎ 于是， ， ， ．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由．‎ 得 可取，又，‎ 于是，‎ ‎，‎ ‎， ．‎ 又， ．‎ 即二面角取值范围为．‎ ‎【考点】1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角.‎ ‎22．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.，当点在圆上运动时，‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2） 若，直线交曲线于、两点（点、与点不重合），且满足.为坐标原点，点满足，证明直线过定点，并求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(1) . (2). ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由相关点法得到M(x0,y0),N（x,y），则x=x0,y=（2‎ ‎）联立直线和椭圆得到二次方程，根据条件结合韦达定理得到，， ，进而求得范围.‎ 解析：‎ ‎(1) 设M(x0,y0),N（x,y），则x=x0,y=y0,代入圆方程有.‎ 即为N点的轨迹方程.‎ ‎ (2)当直线垂直于轴时,由消去整理得,‎ 解得或,此时,直线的斜率为；‎ 当直线不垂直于轴时,设,直线:(),‎ 由,消去整理得, ‎ 依题意,即(),‎ 且,,‎ 又,所以 ‎ ,‎ 所以,即,解得满足(),‎ 所以 ,故, ‎ 故直线的斜率 ,‎ 当时,,此时；‎ 当时,,此时；‎ 综上,直线的斜率的取值范围为. ‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎