【数学】2020届一轮复习人教版（理）第3章第3讲三角函数的图象与性质学案
第3讲 三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
1．概念辨析
(1)y＝tanx在整个定义域上是增函数．( )
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．( )
(3)由sin＝sin知，是正弦函数y＝sinx(x∈R)的一个周期．( )
(4)三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin的最小正周期为( )
A．4π B．2π C．π D.
答案 C
解析 函数f(x)＝sin的最小正周期T＝＝π.故选C.
(2)函数y＝1－2cosx的单调递减区间是________．
答案 [2kπ－π，2kπ](k∈Z)
解析 y＝1－2cosx的单调递减区间就是y＝cosx的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．
(3)函数y＝3－2sin的最大值为________，此时x＝________.
答案 5 ＋2kπ(k∈Z)
解析 函数y＝3－2sin的最大值为3＋2＝5，此时x＋＝＋2kπ，即x＝＋2kπ(k∈Z)．
(4)cos23°，sin68°，cos97°从小到大的顺序是________．
答案 cos97°
0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D．(0,2]
答案 A
解析 由0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
2．函数具有奇偶性的充要条件
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；
函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；
函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z)．
3．与三角函数有关的图象的对称性问题
对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断.
1．关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
答案 C
解析 y＝tan是非奇非偶函数，A错误；y＝tan在区间
上单调递增，B错误；由2x－＝得x＝＋(k∈Z)，得函数y＝tan的对称中心为，k∈Z，故C正确；函数y＝tan的最小正周期为，D错误．
2．(2016·浙江高考)函数y＝sinx2的图象是( )
答案 D
解析 由y＝sinx2为偶函数，其图象关于y轴对称，可以排除A，C；当x＝时，y＝sin2＝sin≠1，排除B，故选D.
3．(2018·江苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝
则f[f(15)]的值为________．
答案
解析 因为f(x＋4)＝f(x)，函数的周期为4，所以f(15)＝f(－1)，f(－1)＝＝，
所以f[f(15)]＝f＝cos＝.
高频考点 三角函数的图象与性质
考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以掌握此类题型的解法，并在高考中拿全分．
[典例1] (2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是
( )
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在上单调递减
答案 D
解析 因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．因为f(x)＝cos的图象的对称轴为直线x＝kπ－(k∈Z)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，B项正确．f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，当k＝1时，x＝，所以f(x＋π)的一个零点为x＝，C项正确．因为f(x)＝cos的递减区间为(k∈Z)，递增区间为(k∈Z)，所以是减区间，是增区间，D项错误．故选D.
[典例2] (2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
答案
解析 结合余弦函数的图象得ω－＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k＋，k∈Z.又∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值，最小值为.
方法指导 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．(原理：诱导公式、y＝Asinωx为奇函数、y＝Acosωx＋b为偶函数)
(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝.
(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得单调递减区间．(原理：复合函数同增异减)
(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得x.利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求得其对称轴．(原理：对称中心、对称轴处函数值的特点)
注意：明确推导以上结论的原理，可以类似推出y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)的相关性质.
