安徽省合肥市2020届高三（零模）数学（理）试题

安徽省合肥市2020届高三（零模）数学（理）试题

合肥市2020届高三调研性检测 数学试题(理科)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位；‎ ‎2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；‎ ‎3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔遗清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区城书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。‎ 第Ⅰ卷(满分60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元次二次不等式得或，利用集合的交集运算求得.‎ ‎【详解】因为或，，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.‎ ‎2.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于 A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的四则运算得，从而得到其对应点在第三象限.‎ ‎【详解】，‎ 其对应点在第三象限，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算及复数与复平面内点的对应关系.‎ ‎3.执行下图的程序框图.若输入n=3，x=3，则输出y的值为（ ）‎ A. 16 B. 45 C. 48 D. 52‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运行程序，进入循环结构，直到时退出循环，输出的值.‎ ‎【详解】运行程序，输入，，判断是，，判断是，，判断是，，判断否，输出.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线的渐近线为，实轴长为4，则该双曲线的方程为 A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的渐近线，设双曲线的方程为，再对分两种情况讨论，由实轴长为4，得到关于的方程，求出后得到双曲线的方程.‎ ‎【详解】因为双曲线的渐近线，设双曲线的方程为，‎ 当时，双曲线焦点在轴上，且，所以，解得；‎ 当时，双曲线焦点在轴上，且，所以，解得；‎ 所以双曲线的方程为或，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查利用双曲线渐近线方程、实轴长求双曲线的方程，利用双曲线的一般方程求解，会使解题过程更简洁，考查运算求解能力.‎ ‎5.已知为直线，为平面，且，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在长方体中，设为直线，为直线，显然推不出；反之，由线面垂直的性质得.‎ ‎【详解】如图在长方体中，设为直线，为直线，为平面ABCD 此时，但，所以推不出；‎ 反之，若，，则，所以是的必要而不充分条件，故选B.‎ ‎【点睛】判断是什么条件？一般是先考虑能否成立？再考虑能否成立？若是不成立，则只要举出反例即可.‎ ‎6.已知一个机械工件正(主)视图与侧(左)视图如图所示，俯视图与正(主)视图完全一样，若图中小网格都是边长为1的正方形，则该工件的表面积为（ ）‎ A. 24 B. 26 C. 28 D. 30‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图判断出几何体的结构，并由此计算出表面积.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体是由两个圆柱组合而成，故表面积为.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查组合体的表面积计算，考查圆柱的表面积公式，属于基础题.‎ ‎7.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表 月份 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额（万元）‎ ‎15.1‎ ‎16.3‎ ‎17.0‎ ‎17.2‎ ‎18.4‎ 根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（ ）‎ A. 19.5万元 B. 19.25万元 C. 19.15万元 D. 19.05万元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可得：，，‎ 回归方程过样本中心点，则：.‎ 回归方程为：，该公司7月份这种型号产品的销售额为：‎ 万元.‎ 本题选择D选项.‎ ‎8.若直线经过圆的圆心，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线过圆心得的关系为，再利用“”的代换及基本不等式求得式子最小值为.‎ ‎【详解】圆的标准方程为，所以圆心为，‎ 因为直线过圆心，所以，‎ 所以，‎ 等号成立当且仅当，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查圆的方程、直线与圆的位置关系、基本不等式求最值等知识，注意“1”‎ 的代换在基本不等式求最值的巧用，同时注意验证等号成立的条件.‎ ‎9.展开项中的常数项为 A. 1 B. 11 C. -19 D. 51‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 展开式中的每一项是由每个括号中各出一项组成的，所以可分成三种情况.‎ ‎【详解】展开式中的项为常数项，有3种情况：‎ ‎（1）5个括号都出1，即；‎ ‎（2）两个括号出，两个括号出，一个括号出1，即；‎ ‎（3）一个括号出，一个括号出，三个括号出1，即；‎ 所以展开项中的常数项为，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理知识的生成过程，考查定理的本质，即展开式中每一项是由每个括号各出一项相乘组合而成的.‎ ‎10.函数的图象大致为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用得图象关于轴对称，排除，当时，，排除C.‎ ‎【详解】，所以图象关于轴对称，‎ 排除；当时，，排除C，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数解析式选函数图象，注意从解析式得到函数的性质，如过特殊点、奇偶性、函数值正负等.‎ ‎11.设抛物线C:的焦点为，斜率为的直线过交于点，，则直线的斜率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出抛物线与直线的图象，利用直角三角形中正切函数的定义，求出角的正切值，即斜率，再利用对称性得也成立.‎ ‎【详解】如图所示，作在抛物线准线的射影分别为，过作于，‎ 设所以 则在中，，‎ 所以，‎ 由抛物线的对称性易得也成立，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，求解时若能充分利用平面几何性质，能使运算量大减少，提高解题的速度.‎ ‎12.设数列{}的前n项和为，，定义数列{}如下:对于正整数，是使不等式成立的所有的最小值，则数列{}的前60项的和为 A. 960 B. 930 C. 900 D. 840‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据递推关系，利用临差法得到，利用不完全归纳法得到的奇数项、偶数项分别是等差数列，从而求得.‎ ‎【详解】因为两式相减得：，‎ 所以，所以，当时，也成立，‎ 所以.‎ 不等式成立，‎ 当时，， 当时，，‎ 当时，， 当时，，‎ 当时，，‎ 所以数列的奇数项构成以1为首项，1为公差的等差数列，‎ 偶数项构成以2为首项，1为公差的等差数列，‎ 所以，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查利用与的递推关系求数列的通项，再通过不完全归纳法结合题干的定义得到数列的性质，从而进行求和，对综合能力的要求较高.‎ 第Ⅱ卷(非选择题共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡上的相应位置.‎ ‎13.若实数满足约束条件，则的最大值为___________.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出约束条件所表示的可行域，把求目标函数的最大值，看成直线在轴上截距的最小值，找到点的坐标代入目标函数即可.‎ ‎【详解】如图所示，作出约束条件所表示的可行域，‎ 目标函数的最大值等价于直线在轴上截距的最小值，‎ 所以当直线过点时，其在轴上截距的最小值，所以，‎ 故填：.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划问题，考查利用直线在轴截距几何意义求最值.‎ ‎14.已知，，则向量在方向上的投影等于___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积定义中对投影的定义，即，把坐标代入运算，求出投影为.‎ ‎【详解】因为，故填：.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积定义中投影的概念，考查对投影的基本运算.‎ ‎15.若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数的零点方程的根，求出方程的两根为，，从而可得或，即或.‎ ‎【详解】函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，，‎ 因为函数在区间上有且仅有一个零点，‎ 所以或，即或.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.‎ ‎16.在中，，，，平分交于点，则线段的长为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角形内角和为，，把三个角都用表示，利用正弦定理得，利用三角恒等变换，求得，再利用余弦定理求出，最后利用角平分线定理求出.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因为，所以，‎ 整理得：，解得：或（舍去），‎ 因为，‎ 所以.‎ 因为平分，所以，解得：，故填：.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换及三角形中的内角和、正弦定理、余弦定理等知识，对运算能力和逻辑推理能力要求较高，深入考查函数与方程思想.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知函数。‎ ‎(1)求函数的最小正周期；‎ ‎(2)当时，求函数的单调递增区间.‎ ‎【答案】(1) ； (2) 和.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用两角差和的正弦公式、辅助角公式化简，并由此求得函数的最小正周期.（2）先求得的单调递增区间，然后对进行赋值，求得在区间内的单调递增区间.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎∴函数的最小正周期. ‎ ‎(2)由 解得 ‎∴函数的单调递增区间为 ‎∵‎ ‎∴所求单调递增区间为和.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用两角差的正弦公式、辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数最小正周期和在给定区间上的单调性的求法，属于中档题.‎ ‎18.已知等差数列，，，数列满足，.‎ ‎(1)求数列，的通项公式；‎ ‎(2)求使得成立的最小正整数的值.‎ ‎【答案】（1），（2）17‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列中任意两项求公差，再用广义通项公式求出 ‎，接着利用累加法求数列；‎ ‎（2）利用裂项相消法求数列的前项和为，再解不等式求得最小正整数为17.‎ ‎【详解】解：(1)设等差数列的公差为d，则，则，解得，‎ 所以.‎ 因为 所以 ‎，也合适.‎ 所以，.‎ ‎(2)因为 所以 ‎.‎ 即，解得，‎ 所不等式成立的最小正整数为17.‎ ‎【点睛】本题考查基本量法、累加法求数列通项公式、裂项相消法求和、不等式与数列的交会问题，考查逻辑推理和运算求解能力.‎ ‎19.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：‎ ‎(1)试根据频率分布直方图估计，这100人的平均成绩(同一组数据该组区间的中点值代替)；‎ ‎(2)若采用分层抽样的方，从[70，80)，[80，90)，[90，100]三个分数段中共抽取6人)，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人），求“同一分数段的学生分配到不同社区”的概率。‎ ‎【答案】（1）平均成绩为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）每个小矩形中点乘以小矩形的面积之和，得到该组数据的平均数；‎ ‎（2）根据分层抽样，在三组中分别选取了3人，2人，1人，再利用古典概型计算概率值.‎ ‎【详解】解：(1).‎ ‎(2)由题意知，成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生分别选取了3人，2人，1人.‎ ‎6人平均分成3组分配到3个社区，共有种方法.‎ 同一分数段的学生分配到不同社区的方法有种，‎ 所以“同一分数段的学生分配到不同社区”的概率.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图估计平均数，古典概型的概率计算，考查基本数据处理能力，注意排列、组合计数原理的应用.‎ ‎20.已如三棱柱，点为棱的中点.‎ ‎(1)求证:平面；‎ ‎(2)若是等边三角形，且，平面上平面，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结交于，连结，利用三角形的中位线得到，再利用线面平行判定定理证明平面；‎ ‎（2）以为坐标原点，直线所在直线分别为轴，写出相关点坐标，求出平面的法向量为，平面的法向量，求出，进而得到二面角为锐角，其余弦值为.‎ ‎【详解】解:(1)连结交于，连结.‎ 棱柱知，四边形为平行四边形，为的中点，‎ ‎∵为的中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面. ‎ ‎(2)∵是等边三角形，且 ‎∴，‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，∴.‎ 以为坐标原点，直线所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则 设平面的法向量为，则，，‎ ‎∴，‎ ‎∵=(，-1，0)，=(0，-1，)‎ ‎∴‎ 令，得，，即).‎ 设平面的法向量为，则，，‎ ‎∴‎ ‎∵=(，，)，=(，，)‎ ‎∴‎ 令，得，，即).‎ ‎∴，‎ 由题意可知，二面角为锐角，其余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查空间线面平行判定定理的运用、及利用空间向量求二面角的余弦值，考查空间想象能力和运算求解能力，找到三条两两互相垂直的直线，建立空间直角坐标系，准确写出各点坐标是求解问题的关键。‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别是，上顶点为，的面积等于.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设点，直线，分别交椭圆于点，证明:三点共线.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的离心率及的面枳为2得关于的两个方程，结合，可求出，从而得到椭圆的方程为；‎ ‎（2）设点的坐标分別为，利用直线，与椭圆相交关系，利用韦达定理可得到点坐标用变量表示出来，然后证明向量，从而得到三点共线.‎ ‎【详解】解:（1）由离心率为，得①，‎ 由的面枳为2得， ②‎ ‎∵③‎ 联立①②③解得，，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设点的坐标分別为，‎ ‎，∴直线的方程为，与椭圆方程联立并整理得 ‎，‎ 由得，‎ 代入直线的方程得，即(，)‎ 同理可得(，).‎ 因为，所以=(，)，=(，)，‎ 有=知，三点共线.‎ ‎【点睛】本题考查利用待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，考查逻辑推理和运算求解能力，在求解过程中要注意解题思路及方向的确定，即设出点的坐标后，可以把两个点的坐标统一用变量进行表示，然后再进行坐标的运算求解.‎ ‎22.已知.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；‎ ‎（2）试讨论函数零点的个数.‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标 ‎，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组，再构造函数研究其最大值，进而求得；‎ ‎（2）对函数进行求导后得，对分三种情况进行一级讨论，即，，‎ ‎，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.‎ ‎【详解】解: （1）曲线在点处的切线方程为，即.‎ 令切线与曲线相切于点，则切线方程为，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 令，则，‎ 记，‎ 于是，在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴，于是，.‎ ‎（2），‎ ‎①当时，恒成立，在上单调递增，且，‎ ‎∴函数在上有且仅有一个零点；‎ ‎②当时，在R上没有零点；‎ ‎③当时，令，则，即函数的增区间是，‎ 同理，减区间是，‎ ‎∴.‎ ⅰ）若，则，在上没有零点；‎ ⅱ）若，则有且仅有一个零点；‎ ⅲ）若，则.‎ ‎，‎ 令，则，‎ ‎∴当时，单调递增，.‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴在R上恰有两个零点，‎ 综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，恰有两个零点.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.‎ ‎ ‎