2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二6月月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二6月月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学高二6月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≥0}，N={x|log2x≤1}，则（∁UM）∪N=（　　）‎ A． {x|﹣1≤x≤2} B． {x|﹣1≤x≤3} C． {x|﹣3＜x≤2} D． {x|0＜x＜1}‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合，根据集合的基本运算进行求解。‎ ‎【详解】‎ ‎：M={x|x2+2x-3≥0}={x|x≥1或x≤-3}，N={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，‎ 则∁UM={x|-3＜x＜1}，‎ 则（∁UM）∪N={x|-3＜x≤2}，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 求集合混合运算，通常需要先明确集合，即化简集合，然后再根据集合的运算规则求解。‎ ‎2．已知复数（，是虚数单位）为纯虚数，则实数的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，因为是纯虚数，所以，。‎ 故选A。‎ ‎3．式子2lg5+lg12﹣lg3=（　　）‎ A． 2 B． 1 C． 0 D． ﹣2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数的性质及运算法则直接求解.‎ ‎【详解】‎ ‎2lg5+lg12-lg3=2lg5+lg4=2(lg5+lg2)=2,故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 同底对数式的化简、求值：可将积、商的对数拆成对数的和、差；也可将对数的和、差合成积、商的对数.‎ ‎4．已知， ， ，则向量与向量的夹角是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由平面向量的运算法则可得： ，‎ 设向量的夹角为 ，则： .‎ 本题选择A选项.‎ ‎5．设，b=，c=ln，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A． a＞b＞c B． b＞a＞c C． b＞c＞a D． a＞c＞b ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数、对数函数的单调性求解 ‎【详解】‎ ‎ ,a= ,b>a>0,‎ c=a>c 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 与指数函数与对数函数有关的比较大小问题，可利用指数函数和对数函数的单调性，比较大小.‎ ‎6．函数y=ln（x2﹣4x+3）的单调减区间为（　　）‎ A． （2，+∞） B． （3，+∞） C． （﹣∞，2） D． （﹣∞，1）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设t= x2-4x+3，则y=lnt，先确定函数的定义域，根据对数函数的性质判断y=lnt的单调性，再判断二次函数的单调性，进而解决问题.‎ ‎【详解】‎ 设t=x2-4x+3，则y=ln（x2﹣4x+3）=lnt，‎ 则t=x2-4x+3＞0，求得x＜1，或x＞3，故函数的定义域为{x|x＜1或x＞3}，‎ 易知y=lnt，在t>0单调递增；‎ 易知 t=x2-4x+3在x<1时，单调递减，在x>3时，单调递增，‎ 根据复合函数的单调性规律，可知y=ln（x2﹣4x+3）在（-，1 ）上为减函数，故选：D ‎【点睛】‎ 复合函数的单调性可依据“同增异减”的规律求解。‎ ‎7．图象可能是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，以及当x=0时的取值，可判断.‎ ‎【详解】‎ 易知y=4cosx-e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C；‎ 又当x=0时，y=4-1=3＞0，排除B，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的判断，可从奇偶性，单调性，特殊值等方面入手判断.‎ ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知，此几何体是正方体切去一个小棱锥而成．此小棱锥高是正方体的一半，底面三角形的边长也是正方体边长的一半，根据体积公式得到：，‎ 故选．‎ 点睛：这是一个比较基础的三视图的题目，通过三视图可以知道，要找原图可以放到正方体中去找，画出正方体根据三视图知道，是切下了正方体的一个角，即一个小的三棱锥后剩下的部分，让正方体的体积减去小棱锥的体积，就是我们要求的体积。‎ ‎9．已知定义在上的奇函数满足,且当时, . (  )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为f（x+3）=f（x），所以 ，因此 ，选B.‎ 点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.‎ ‎10．函数（且 ）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵由得 ‎∴函数（且 ）的图像恒过定点 ‎∵点在直线上 ‎∴‎ ‎∵，当且仅当时取等号 ‎∴‎ ‎∴最大值为 故选D.‎ 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎11．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知及余弦定理可求a，b的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解 ‎【详解】‎ 已知 ，b=3a，‎ ‎∴由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可得：7=a2+b2-ab=a2+9a2-3a2=7a2，解得：a=1，b=3，‎ ‎∴S△ABC= ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，是基础题.‎ ‎12．若椭圆的弦被点平分，则此弦所在的直线方程( )‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求得斜率，从而求解直线方程.‎ ‎【详解】‎ 设直线与椭圆交于点A（x1，y1），B（x2，y2），,‎ 代入椭圆方程 可得 ‎ 两式相减，得（x12-x22）+2（y12-y22）=0，‎ ‎∵点M（2，1）是AB的中点，∴ ，∴‎ ‎∴kAB= = -1，则所求直线方程为y-1= -（x-2），即x+y-3=0；‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 点差法：若已知直线与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），一般分别代入椭圆方程，再两式做差，结合相交弦中点坐标，构造出，‎ 从而可根据斜率公式求出直线斜率.‎ 二、填空题 ‎13．若，则__________．‎ ‎【答案】0.3‎ ‎【解析】‎ 原式，分子分母同时除以得到.‎ ‎14．已知是定义在上的奇函数,且当时, ,则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：，则，‎ ‎∵是奇函数，∴．‎ ‎【考点】函数的奇偶性．‎ ‎15．设实数满足，则目标函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】作出可行域如图：‎ 目标函数的几何意义为可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知当目标函数过点A时有最小值，由 解得A，所以，故填2.‎ ‎16．、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、.若为等边三角形，则双曲线的离心率为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c= a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.‎ ‎【详解】‎ 因为△ABF2为等边三角形，可知|AB|=|BF2|=|AF2|‎ A为双曲线上一点，|A F2|-|A F1| =2a,‎ B为双曲线上一点，则|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a，‎ ‎∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，‎ 由∠ABF2＝600，则∠F1AF2＝1200，已知|F1F2|=2c，‎ 在△F1AF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2-2•2a•4a•cos120°，‎ 得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝‎ ‎【点睛】‎ 求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将视为一个整体，把关系式转化为关于 的方程，从而得到离心率的值.‎ 三、解答题 ‎17．已知数列的前项和.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】【试题分析】（1）利用公式，可求得数列的通项公式.（2）化简的表达式，由于它是由一个等差数列乘以一个等比数列组合而成，故用错位相减法来求其前项和.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）当时， ，所以.‎ 当时， .‎ 于是，即.‎ 所以数列是以为首项，公式的等比数列.‎ 所以. ‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 于是，‎ 两式相减，得，‎ 于是. ‎ ‎18．某校有150名学生参加了中学生环保知识竞赛，为了解成绩情况，现从中随机抽取50名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于60分）.请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：‎ ‎（1）写出M 、N 、p、q（直接写出结果即可），并作出频率分布直方图；‎ ‎（2）若成绩在90分以上学生获得一等奖，试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；‎ ‎（3）现从所有一等奖的学生中随机选择2名学生接受采访，已知一等奖获得者中只有2名女生，求恰有1名女生接受采访的概率.‎ 分组 频数 频率 第1组 ‎[60,70)‎ M ‎0.26‎ 第2组 ‎[70,80)‎ ‎15‎ p 第3组 ‎[80,90)‎ ‎20‎ ‎0.40‎ 第4组 ‎ [90,100]‎ N q 合计 ‎50‎ ‎1‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）6；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布表求出M、N、p、q，再作出频率分布直方图；‎ ‎（2）若根据一等奖的概率为0.04，即可试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数；‎ ‎（3）记获一等奖的6人为a，b，c，d，e，f其中a，b为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况，女生的人数恰好为1人共有8种情况，根据概率公式计算即可 ‎【详解】‎ ‎（1）M=13 ，N =2， p=0.30，q=0.04， ‎ ‎（2）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为150×0.04=6（人）‎ ‎（3）记获一等奖的6人为a，b，c，d，e，f，其中a，b为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：‎ ‎（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f） ‎ 女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:‎ ‎（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）‎ 所以恰有1名女生接受采访的概率P= .‎ ‎【点睛】‎ ‎ ‎ 本题考查了频率分布表与频率分布直方图，用样本估算整体，以及简单古典概型的概率计算，考查了学生的运算能力与作图能力，属于基础题.‎ ‎19．如图，在三棱柱中， 平面， 为正三角形， ， 为的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，就要证线面垂直，由于其中一个面是正三棱柱的一个侧面，它的垂线在图中易证得有一条是，而是平面内的直线，因此可得面面垂直；（Ⅱ）三棱锥的体积，可选为底面，高为，也可选为底面，高为．由体积公式可得．‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：因为底面，所以 因为底面正三角形， 是的中点,所以 因为，所以平面 因为平面平面,所以平面平面 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知中， ， ‎ 所以 所以 ‎【考点】面面垂直的判断，三棱锥的体积．‎ ‎20．已知函数 .‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.‎ ‎【答案】（1），.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1化简可得 .由 ，了求其单调递减区间；‎ ‎（2）由，可得，由正弦定理可得，最后由余弦定理可得.‎ 试题解析;（1） .由 ，，‎ 得 ，.‎ ‎∴函数的单调递减区间为，.‎ ‎（2）∵，，∴.‎ ‎∵，∴由正弦定理，得.‎ 又由余弦定理，，‎ 得.‎ 解得.‎ ‎21．已知函数 ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，讨论的单调性.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，先将代入得到表达式，对求导，将切点的横坐标2代入中得到切线的斜率k，再将切点的横坐标2代入到 中，得到切点的纵坐标，最后利用点斜式写出切线方程；第二问，讨论的单调性即讨论的正负，即讨论导数表达式分子的正负，所以构造函数，通过分析题意，将分成、、、多种情况，分类讨论，判断的正负，从而得到的单调性.‎ 试题解析：（1）当时， ‎ ‎6分 ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 令8分 ‎（i）当a=0时， ‎ 所以当时g(x)>0, 此时函数单调递减，‎ x∈（1，∞）时，g(x)<0, 此时函数f,(x)单调递增。‎ ‎（ii）当时，由，解得： 10分 ‎①若,函数f(x)在上单调递减， 11分 ‎②若，在单调递减，在上单调递增.‎ ‎③ 当a<0时，由于1/a-1<0,‎ x∈(0,1)时，g(x)>0,此时,函数f(x)单调递减；‎ x∈（1，∞）时，g(x)<0 , ,此时函数单调递增。‎ 综上所述：‎ 当a≤ 0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减;‎ 函数f(x)在 (1, +∞) 上单调递增 当时,函数f(x)在(0, + ∞)上单调递减 当时，函数f(x)在上单调递减；‎ 函数 f(x)在上单调递增； 14分 ‎【考点】导数的运算、利用导数求曲线的切线方程、利用导数求函数的单调性.‎