2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章6-4数列求和

2018版高考文科数学（北师大版）一轮文档讲义：章6-4数列求和

第4讲　数列求和 最新考纲　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．‎ 知 识 梳 理 ‎1．求数列的前n项和的方法 ‎(1)公式法 ‎①等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d.‎ ‎②等比数列的前n项和公式 ‎(ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；‎ ‎(ⅱ)当q≠1时，Sn＝＝.‎ ‎(2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．‎ ‎(3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．‎ ‎(4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．‎ ‎(5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．‎ ‎(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．‎ 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.‎ ‎2．常见的裂项公式 ‎(1)＝－.‎ ‎(2)＝.‎ ‎(3)＝－.‎ 诊 断 自 测 ‎1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)　精彩PPT展示 ‎(1)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝.(　　)‎ ‎(2)当n≥2时，＝(－)．(　　)‎ ‎(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．(　　)‎ ‎(4)若数列a1，a2－a1，…，an－an－1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{an}的通项公式是an＝.(　　)‎ ‎　解析　(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解．‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．等差数列{an}中，已知公差d＝，且a1＋a3＋…＋a99＝50，则a2＋a4＋…＋a100＝(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．50 B．75 ‎ C．100 D．125‎ 解析　a2＋a4＋…＋a100＝(a1＋d)＋(a3＋d)＋…＋(a99＋d)＝(a1＋a3＋…＋a99)＋50d＝50＋50×＝75.‎ 答案　B ‎3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　)‎ A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1‎ C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2‎ 解析　Sn＝＋＝2n＋1－2＋n2.‎ 答案　C ‎4．(教材改编)一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是(　　)‎ A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)‎ C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)‎ 解析　第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)．‎ 答案　A ‎5．(教材改编)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝______(x≠0且x≠1)．‎ 解析　设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①‎ 则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②‎ ‎①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn ‎＝－nxn，‎ ‎∴Sn＝－.‎ 答案　－ 考点一　分组转化法求和　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎【例1】 (2016·天津卷)已知{an}是等比数列，前n项和为Sn(n∈N＋)，且－＝，S6＝63.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若对任意的n∈N＋，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{(－1)nb}的前2n项和．‎ 解　(1)设数列{an}的公比为q.‎ 由已知，有－＝，‎ 解得q＝2或q＝－1.‎ 又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，‎ 所以a1·＝63，得a1＝1.‎ 所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由题意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)＝(log22n－1＋log22n)＝n－，‎ 即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．‎ 设数列{(－1)nb}的前n项和为Tn，则 T2n＝(－b＋b)＋(－b＋b)＋…＋(－b＋b)‎ ‎＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝＝2n2.‎ 规律方法　(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．‎ ‎(2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．‎ ‎【训练1】 (1)数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)‎ A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－ ‎(2)(2017·九江模拟)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2 016等于(　　)‎ A．1 008 B．2 016 C．504 D．0‎ 解析　(1)该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，‎ 则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋＝n2＋1－.‎ ‎(2)a1＝cos ＝0，a2＝2 cos π＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以数列{an}的所有奇数项为0，前2 016项的所有偶数项(共1 008项)依次为－2,4，－6,8，…，－2 014,2 016.‎ 故S2 016＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 014＋2 016)＝1 008.‎ 答案　(1)A　(2)A 考点二　裂项相消法求和 ‎【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．‎ 解　(1)由a＋2an＝4Sn＋3，‎ 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.‎ 可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，‎ 即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．‎ 由于an>0，可得an＋1－an＝2.‎ 又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.‎ 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.‎ ‎(2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝＝.‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ‎＝ ‎＝.‎ 规律方法　(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．‎ ‎(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．‎ ‎【训练2】 设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn.‎ 解　(1)设数列{an}的公差为d，‎ 由题意得 解得a1＝3，d＝2，‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝na1＋d＝n(n＋2)，‎ ‎∴bn＝＝.‎ ‎∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn ‎＝ ‎＝ ‎＝－.‎ 考点三　错位相减法求和 ‎【例3】 (2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)令cn＝.求数列{cn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.‎ 当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．‎ 所以an＝6n＋5.‎ 设数列{bn}的公差为d，‎ 由即 可解得b1＝4，d＝3.所以bn＝3n＋1.‎ ‎(2)由(1)知，cn＝＝3(n＋1)·2n＋1..‎ 又Tn＝c1＋c2＋…＋cn.‎ 得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]．‎ ‎2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]．‎ 两式作差，得 ‎－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]‎ ‎＝3×＝－3n·2n＋2.‎ 所以Tn＝3n·2n＋2.‎ 规律方法　(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；‎ ‎(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．‎ ‎【训练3】 已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求数列的前n项和．‎ 解　(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，‎ 由题意得a2＝2，a4＝3.‎ 设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，‎ 从而a1＝.‎ 所以{an}的通项公式为an＝n＋1.‎ ‎(2)设的前n项和为Sn，由(1)知＝，‎ 则Sn＝＋＋…＋＋，‎ Sn＝＋＋…＋＋.‎ 两式相减得Sn＝＋－＝‎ ＋－.所以Sn＝2－.‎ ‎[思想方法]‎ 非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想 ‎1．转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；‎ ‎2．不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．‎ ‎[易错防范]‎ ‎1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．‎ ‎2．在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号．‎ ‎3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．等差数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项的和为(　　)‎ A．120 B．70 C．75 D．100‎ 解析　因为＝n＋2，所以的前10项和为10×3＋＝75.‎ 答案　C ‎2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝(　　)‎ A．9 B．8 C．17 D．16‎ 解析　S17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.‎ 答案　A ‎3．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　)‎ A．200 B．－200 C．400 D．－400‎ 解析　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.‎ 答案　B ‎4．(2017·高安中学模拟)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S16等于(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．16‎ 解析　根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.‎ 又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7.故选C.‎ 答案　C ‎5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N＋)，则S2 016＝(　　)‎ A．22 016－1 B．3·21 008－3‎ C．3·21 008－1 D．3·21 007－2‎ 解析　a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.∴＝2.∴a1，a3，a5，…成等比数列；a2，a4，a6，…成等比数列，‎ ‎∴S2 016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋…＋a2 015＋a2 016‎ ‎＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2 015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2 016)‎ ‎＝＋＝3·21 008－3.故选B.‎ 答案　B 二、填空题 ‎6．(2016·上饶模拟)有穷数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n－1所有项的和为________．‎ 解析　由题意知所求数列的通项为＝2n－1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为－n＝2n＋1－2－n.‎ 答案　2n＋1－2－n ‎7．(2016·宝鸡模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N＋)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.‎ 解析　由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，‎ 则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，‎ ‎∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)‎ ‎＝1＋10×＝6.‎ 答案　6‎ ‎8．(2017·安阳二模)已知数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|bn|＝________.‎ 解析　由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴bn＝(－3)×(－4)n－1，∴|bn|＝3×4n－1，即{|bn|}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝＝4n－1.‎ 答案　4n－1‎ 三、解答题 ‎9．(2016·北京卷)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．‎ 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，‎ 由得 ‎∴bn＝b1qn－1＝3n－1，‎ 又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，‎ ‎∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.‎ ‎∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1,2,3，…)．‎ ‎(2)由(1)知an＝2n－1，bn＝3n－1，因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.‎ 从而数列{cn}的前n项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1‎ ‎＝＋＝n2＋.‎ ‎10．(2017·铜川一模)已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋an＝1(n∈N＋)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝log(1－Sn＋1)(n∈N＋)，令Tn＝＋＋…＋，求Tn.‎ 解　(1)当n＝1时，a1＝S1，‎ 由S1＋a1＝1，得a1＝，‎ 当n≥2时，Sn＝1－an，Sn－1＝1－an－1，‎ 则Sn－Sn－1＝(an－1－an)，即an＝(an－1－an)，‎ 所以an＝an－1(n≥2)．‎ 故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列．‎ 故an＝·n－1＝2·n(n∈N＋)．‎ ‎(2)因为1－Sn＝an＝n.‎ 所以bn＝log(1－Sn＋1)＝logn＋1＝n＋1，‎ 因为＝＝－，‎ 所以Tn＝＋＋…＋ ‎＝＋＋…＋＝－＝.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：20分钟)‎ ‎11．(2016·郑州模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N＋)，其前n项和为Sn，则在数列S1，S2，…，S2 016中，有理数项的项数为(　　)‎ A．42 B．43 C．44 D．45‎ 解析　an＝ ‎＝ ‎＝－.‎ 所以Sn＝1－＋＋＋…＋＝1－，‎ 因此S3，S8，S15…为有理项，又下标3,8,15，…的通项公式为n2－1(n≥2)，所以n2－1≤2 016，且n≥2，‎ 所以2≤n≤44，所以有理项的项数为43.‎ 答案　B ‎12．(2017·济南模拟)在数列{an}中，an＋1＋(－1)nan＝2n－1，则数列{an}的前12项和等于(　　)‎ A．76 B．78 C．80 D．82‎ 解析　因为an＋1＋(－1)nan＝2n－1，所以a2－a1＝1，‎ a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，所以a1＋a3＝2，a4＋a2＝8，…，a12＋a10＝40，‎ 所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S12＝a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78.‎ 答案　B ‎13．设f(x)＝，若S＝f＋f＋…＋f，则S＝________.‎ 解析　∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝，‎ ‎∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.‎ S＝f＋f＋…＋f，①‎ S＝f＋f＋…＋f，②‎ ‎①＋②得，‎ ‎2S＝＋＋…＋＝2 014，‎ ‎∴S＝＝1 007.‎ 答案　1 007‎ ‎14．(2015·山东卷)已知数列{an}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解　(1)设数列{an}的公差为d，令n＝1，得＝，‎ 所以a1a2＝3.①‎ 令n＝2，得＋＝，‎ 所以a2a3＝15.②‎ 解①②得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.‎ ‎(2)由(1)知bn＝2n·22n－1＝n·4n，‎ 所以Tn＝1×41＋2×42＋…＋n×4n，‎ 所以4Tn＝1×42＋2×43＋…＋n×4n＋1，‎ 两式相减，得－3Tn＝41＋42＋…＋4n－n·4n＋1‎ ‎＝－n·4n＋1＝×4n＋1－.‎ 所以Tn＝×4n＋1＋＝.‎ 特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.‎