福建省厦门市湖滨中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题

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福建省厦门市湖滨中学2020届高三上学期期中考试数学(理)试题

厦门市湖滨中学2019---2020学年第一学期期中考 高三理科数学试卷 第Ⅰ卷(选择题 满分60分)‎ 一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.复数(为虚数单位)的虚部为 A. B. C. D.‎ ‎2.设集合,,则 A. B. C. D.‎ ‎3.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎ 4.已知向量,,,则与的夹角为 A. B. C. D.‎ ‎5.在平面直角坐标系中,以轴为始边作角,角的终边经过点.则 A. B. C. D.‎ ‎6.设曲线和曲线在它们的公共点M(1,2)处有相同的切线,的值为 A.0 B.‎2 C.﹣2 D.4‎ ‎7.下列说法正确的是  ‎ A.向量的夹角为钝角,则. ‎ B.“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件. ‎ C.命题“,使得”的否定是:“,”. ‎ D.命题“若为的极值点,则”的逆命题是真命题.‎ ‎8.函数的图像大致是 ‎ ‎9.某班举行主题团日活动,从含甲、乙、丙的共7名同学中选派4名同学参加主题发言,要求甲、乙、丙3名同学中至少有1人参加,且当这3名同学都参加时,甲和乙的发言次序不能相邻,那么选派的4名同学的所有不同发言顺序的种数是 A. 720 B. ‎768 C. 810 D. 816‎ ‎10.已知点P为椭圆 上的一点,点A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线PA与y交于点M,直线PB与x轴交于点N,则|AN|·|BM|的值为 A.4 B‎.4 ‎‎ C. D. ‎ ‎11.已知函数(,,)的部分图象如图所示,下列说法正确的是 A.的图象关于直线对称 ‎ B.的图象关于点对称 C.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D.若方程在上有两个不相等的实数根,则m的取值范围是 ‎12.已知函数,若函数有两个极值点,且,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.展开式中的常数项为 .‎ ‎14.在矩形中,,,点在边上.若,则______.‎ ‎15.设函数在处取得极值,则的值为_________‎ ‎16.已知抛物线的焦点为,是抛物线上两点,且,其中为坐标原点,则=__________. ‎A B C D 三、解答题:应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知分别为三个内角的对边,且,‎ 为边上的中线,‎ ‎(1)若AB=3,AC=2,求AD;(2)若,,求的面积.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 某地区拟建立一个艺术搏物馆,采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司,经过层层筛选,甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案:两家公司从6个招标题目中随机抽取3个题,已知这6个招标问题中,甲公司可正确回答其中4道题目,而乙公司能正确回答每道题目的概率均为,甲、乙两家公司对每题的回答都是相独立,互不影响的.‎ ‎(1)求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率;‎ ‎(2)请从期望和方差的角度分析,甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大?‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥中,,,,,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)在线段上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角为?若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为、,离心率为,点在椭圆上,在线段上,且的周长等于8‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)若、分别是椭圆的左、右端点,动点满足,连接,交椭圆于与点.证明:为定值.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)设是的极值点,求的值;‎ ‎(2)在(Ⅰ)的条件下,在定义域内恒成立,求的取值范围;‎ ‎(3)当时,证明:‎ ‎22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 已知在平面直角坐标系xOy中,直线 的参数方程为 (t为参数),曲线 的方程为 以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ‎ ‎(1)求直线 和曲线C1的极坐标系方程; ‎ ‎(2)曲线C2: 分别交直线 和曲线C1交于A、B,求 的最大值. ‎ ‎ ‎ 数学(理科)参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:DCC BA 6-10: DB, 8B 9B ‎10 A 11、D‎12 A:‎ 二、填空题 ‎13. -40 14. 15. 2 16.‎ 三、解答题 ‎17.(本小题满分12分)‎ 得.‎ AD=‎ II)在中,,得.……7分 则.……8分 由正弦定理得.……9分 设,,在中,由余弦定理得:‎ ‎,则 ‎,解得,‎ 即,……11分 故.……12分 ‎18解:(1)由题意可知,所求概率.‎ ‎(2)设甲公司正确完成面试的题数为X,则X的取值分别为1,2,3.‎ ‎,,.‎ 则X的分布列为:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴.‎ 设乙公司正确完成面试的题为Y,则Y取值分别为0,1,2,3.,,,‎ 则Y的分布列为:‎ Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎∴.(或∵,∴).()‎ 由E(X)=D(Y),D(X)<D(Y)可得,甲公司竞标成功的可能性更大.‎ ‎19.如图,四棱锥中,,,,,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)在线段上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角为?若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ 解】(1)证明:因四边形为直角梯形,‎ 且, ,,‎ 所以, ‎ 又因为。根据余弦定理得 ‎ 所以,故. ‎ 又因为, ,且,平面,所以平面, ‎ 又因平面PBC,所以 ‎(2)由(1)得平面平面, ‎ 设为的中点,连结 ,因为,‎ 所以,,又平面平面,‎ 平面平面,‎ 平面.‎ 如图,以为原点分别以,和垂直平面的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,, ‎ 假设存在满足要求,设,即,‎ 所以 易得平面的一个法向量为. ‎ 设为平面的一个法向量,, ‎ 由得,不妨取.‎ 因为平面与平面所成的锐二面角为,所以,‎ 解得,(不合题意舍去).‎ 故存在点满足条件,且.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 解:(1),,‎ ‎∴所求的椭圆方程为. ……………………………………………4分 ‎(2)由(1)知,,. 由题意可设,,‎ ‎∵,∴.‎ 由整理得:. ……6分 ‎∵,∴,,‎ 所以, ………………………………………………………9分 ‎∴,‎ 即为定值. …………………………………………………………………12分 ‎21.解:(Ⅰ)∵,x=0是f(x)的极值点,∴,解得m=1.‎ 经检验m=1 符合题意 ……………2分 ‎(Ⅱ)由( Ι)可知,函数f(x)=ex-ln(x+1)+1,其定义域为(-1,+∞).‎ ‎∵ ………………………………………………4分 ‎ 设g(x)=ex(x+1)-1,则g′(x)=ex(x+1)+ex>0,所以g(x)在(-1,+∞)上为增函数,‎ ‎ 又∵g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>0,即f′(x)>0;当-1<x<0时,g(x)<0,f′(x)<0.‎ ‎ 所以f(x)在(-1,0)上为减函数;在(0,+∞)上为增函数;因此,的最小值为 ‎∵0在定义域内恒成立,即 ……………………………………………………………7分 ‎(Ⅲ)证明:要证 , .‎ 设, 即证 当m≤2,x∈(-m,+∞)时,,故只需证明当m=2时,.‎ 当m=2时,函数在(-2,+∞)上为增函数,且.‎ 故在(-2,+∞)上有唯一实数根,且∈(-1,0).‎ 当时,,当时,,‎ 从而当时,取得最小值. …………………………………………………10分 由,得,故.‎ 综上,当m≤2时, 即>m. ………………………………………12分 ‎22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ 已知在平面直角坐标系xOy中,直线 的参数方程为 (t为参数),曲线 的方程为 以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ‎ ‎(Ⅰ)求直线 和曲线C1的极坐标系方程; ‎ ‎(Ⅱ)曲线C2: 分别交直线 和曲线C1交于A、B,求 的最大值. ‎ ‎ 22.【答案】(1)解:∵ ,∴直线 的普通方程为: , ‎ 直线 的极坐标方程为 . ‎ 曲线C1的普通方程为 , ‎ ‎∵ ∴C1的参数方程为: …......4分 ‎ (2)解:直线 的极坐标方程为 ,令 ,则 所以   ,又   ‎ ‎∴   ‎ ‎∵ ,∴ , ‎ ‎∴ 时,即 时, 取得最大值 …......10分
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