2018-2019学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年湖南省醴陵市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 湖南省醴陵市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设为虚数单位，若复数在复平面内对应的点为，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数在复平面内对应的点为，得到，从而求出即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，，则.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的四则运算，考查了复数的几何意义，属于基础题。‎ ‎2．某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝－5x＋150，则下列结论正确的是(　　)‎ A．y与x具有正的线性相关关系 B．若r表示y与x之间的线性相关系数，则r＝－5‎ C．当销售价格为10元时，销售量为100件 D．当销售价格为10元时，销售量为100件左右 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐个分析，A是负相关，B中，C和D中销售量为100件左右。‎ ‎【详解】‎ 由回归方程＝－5x＋150可知y与x具有负的线性相关关系，故A错误；y与x之间的线性相关系数，故B错误；当销售价格为10元时，销售量为件左右，故C错误，D正确。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程知识，考查了线性相关系数，属于基础题。‎ ‎3．已知等差数列的前项和为，若， ，则（ ）‎ A．16 B．18 C．22 D．25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是等差数列，可以得到，从而求出和，进而可以求出的值。‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，‎ 由题意得，，解得，，则.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列求和公式的运用，及等差数列通项公式的运用，考查了学生的计算能力，属于基础题。‎ ‎4．曲线在处的切线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出时的函数值，然后对函数求导可以求出时的导数值，从而得到函数在 处的切线斜率，即可得到切线方程。‎ ‎【详解】‎ 当时，函数值为0，‎ 对函数求导得，则函数在处的切线斜率为，‎ 故函数在处的切线方程为，‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，考查了函数的导数，考查了直线方程的求法，属于基础题。‎ ‎5．已知点P在抛物线y2=4x上，点A（5，3），F为该抛物线的焦点，则△PAF周长的最小值为（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，结合图象△PAF周长，当三点共线时，△PAF周长最小，求出即可。‎ ‎【详解】‎ 由题意，画出图象（见下图），，，过点作准线的垂线交直线于，设到准线的距离为，则，则△PAF周长，当三点共线时，取得最小值，△PAF周长最小为.‎ 故答案为C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的几何性质，考查了抛物线焦半径的运用，属于中档题。‎ ‎6．已知条件：，条件：，则p是q的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别解出两个命题所对应的不等式，结合它们的包含关系，即可选出答案。‎ ‎【详解】‎ 由p命题解得，由q命题，解得或，故p是q的充分不必要条件。‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式的解法，考查了充分性与必要性的知识，考查了学生的计算能力，属于基础题。‎ ‎7．已知点（x，y）在直线x+2y=4上移动，则的最小值是（　　）‎ A． B． C．6 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用基本不等式即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，（当且仅当时取“=”）。‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：‎ ‎①各项都是正数；‎ ‎②和（或积）为定值；‎ ‎③等号取得的条件。‎ ‎8．设是双曲线的两个焦点， 是双曲线上的一点，且，则的面积等于 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线焦点,,又,,,,由勾股定理逆定理得为直角三角形,面积为 ‎9．直线分别与轴, 轴交于两点,点在圆上.则面积的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，然后求出圆心到直线的距离为，进而可以得出到直线的距离，从而求出面积的范围。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，则，设点到直线的距离为，则的面积为.‎ 圆心为，半径为，则圆心到直线的距离为，所以，即，故的面积的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的性质，考查了三角形面积的求法，考查了点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思想，属于中档题。‎ ‎10．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图二，可以求出当时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A、B、D选项。‎ ‎【详解】‎ 由题意知，当时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为；也可以通过排除法，当时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A、B、D都不满足题意，从而选出答案。‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题。‎ ‎11．在中，，边上的高等于,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，可知，设，分别求出和，利用两角和的正弦公式即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意画出图形，是等腰直角三角形，为边上的高，且，设，则，，则，‎ 设，则，，则.‎ 故答案为A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了解三角形知识，构造直角三角形是解决本题的一个方法，也可以通过正、余弦定理解决本题。‎ ‎12．函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．与大小关系不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过构造函数,由导函数,结合,可知函数是上的增函数，得到,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，则，故函数是上的增函数，所以，即，则.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题的难点在于构造函数,由,构造是本题的关键,学生在学习中要多积累这样的方法.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为，即可解得.‎ ‎【详解】‎ 因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x，则第18组抽取的号码为，解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了系统抽样，属于中档题.‎ ‎14．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则点P到直线4x+3y+1= 0的距离的最大值是________。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出P（x，y）满足的可行域，作4x+3y+1= 0的平行线可求出满足题意的P点，进而求出答案。‎ ‎【详解】‎ 画出P（x，y）满足的可行域（见下图），由解得点,过点作4x+3y+1= 0的平行线，可知点到直线4x+3y+1= 0的距离最大为.‎ 故答案为3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划问题，考查了平行线的性质，考查了点到直线的距离公式，属于中档题。‎ ‎15．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为__________．‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设男学生人生为，女学生人数为，教师人数为，且，可以得到，由与之间至少有2个正整数，从而讨论出的最小值，进而可以判断出该小组人数的最小值。‎ ‎【详解】‎ 设男学生人生为，女学生人数为，教师人数为，且，则，当时，不成立；当时，不成立；当时，6，则，，此时该小组的人数最小为12.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了推理的知识，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题。‎ ‎16．已知函数的图象关于点对称，则在闭区间上的最大值为____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象关于点对称，可以得到和，即可求出，的值，进而得到函数的表达式，然后通过求导可得到函数在闭区间上的单调性，进而可求出函数在区间上的最大值。‎ ‎【详解】‎ 由函数的图象关于点对称，‎ 则，即， ‎ 且，即，‎ 解得，，‎ 所以，则，‎ 令，解得或，‎ 故当或时，，函数为单调递增函数；‎ 当时，，函数为单调递减函数，‎ 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 故函数在闭区间上的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数图象的对称性，考查了函数的单调性与最值，考查了学生分析问题与解决问题的能力，考查了计算能力，属于难题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知，命题，命题已知方程表示双曲线．‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2) ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用双曲线标准方程的特点进行求解；（2）先利用真值表判定两个简单命题的真假，再利用数集间的运算进行求解.‎ 试题解析：（1）若为真命题时： ， ∴， ∴；‎ ‎（2）若为真命题时： ， ∴，‎ 为真命题， 为假命题，则一真一假，即 或，‎ 解得或， ∴的范围为．‎ ‎18．在中，角， ， 的对边分别为， ， ，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若， ，求的面积.‎ ‎【答案】（1）； （2）1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理可得，而,展开化简即可得到，从而可以求出；（2）先求出的值，然后通过余弦定理即可求出 的值，代入面积公式即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 故，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 又，且0 < C < π，‎ 解得，.‎ ‎（2）由（1）得 所以，‎ 由，设，‎ 由余弦定理得：，‎ 所以，‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积求法，考查了计算能力，属于中档题。‎ ‎19．已知数列，是其前项的和，且满足 ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）记，求的表达式。‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）时，由,得，然后利用，可得到，进而得到从而可以证明数列为等比数列；（2）由（1）可以得到的通项公式，代入可得到的表达式，进而利用分组求和即可求出的表达式。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）时，，所以，‎ 当时，由,得，‎ 则，‎ ‎ 即， ‎ 所以又，‎ 故就是首项为，公比为3的等比数列，‎ 则即.‎ ‎（2）将代入得,‎ 所以 ‎ =.‎ ‎【点睛】‎ 分组求和与并项求和法：‎ 把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和，‎ 例如对通项公式为的数列求和。‎ ‎20．房产税改革向前推进之路，虽历经坎坷,但步伐从未停歇，作为未来的新增税种,十二届全国人大常委会已将房产税立法正式列入五年立法规划。某市税务机关为了进一步了解民众对政府择机出台房产税的认同情况，随机抽取了一小区住户进行调查,各户人均月收入(单位：千元)的频数分布及赞成出台房产税的户数如下表：‎ 人均月收入 频数 ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎11‎ ‎8‎ ‎2‎ 不赞成户数 ‎5‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎4‎ ‎1‎ 若将小区人均月收入不低于7.5千元的住户称为“高收入户”,人均月收入低于7.5千元的住户称为“非高收入户”,有列联表:‎ 非高收入户 高收入户 总计 不赞成 赞成 总计 ‎（1）根据已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成出台房产税”有关.‎ ‎（2）现从月收入在的住户中随机抽取两户，求所抽取的两户都不赞成出台房产税的概率；‎ 附：临界值表 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：.‎ ‎【答案】（1）不能说明在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成出台房产税”有关； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合表中数据即可完成列联表，由公式求出的观测者，结合表中数据即可得到答案；（2）列出所有的情况，所有的基本事件有15种，“所抽取的两户都不赞成出台房产税”包含的基本事件有10种，根据古典概型概率公式即可求出对应概率。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，可得如下列联表：‎ 非高收入族 高收入族 总计 不赞成 ‎35‎ ‎5‎ ‎40‎ 赞成 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 总计 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ ‎∵‎ ‎，‎ ‎∴不能说明在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成出台房产税”有关.‎ ‎（2）人均月收入在中,有5户不赞成出台房产税,分别记为， ， ， ,；l户赞成出台房产税，记为.‎ 现从中随机抽取两户，所有的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个； ‎ 事件“所抽取的两户都不赞成出台房产税”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共10个，∴所抽取的两户都不赞成出台房产税的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了独立性检验及古典概型的概率的求法，考查了计算能力，属于中档题。‎ ‎21．已知椭圆E:的焦距为，且该椭圆经过点 ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）经过点P（－2,0）作斜率为和的两条不同直线，两直线分别与椭圆交于M、N两点，当直线MN与y轴垂直时，求的值 ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由焦距可以求出，进而可以求出，然后由可以求出，即可求出椭圆的方程；（2）设直线的方程为与椭圆联立可以求出的坐标，同理可以求出的坐标，然后由直线MN与y轴垂直可知，通过计算可求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意得,即，‎ 所以两焦点分别为和，‎ 则，，‎ 则，故，‎ 所以，‎ 所以椭圆方程为.‎ ‎（2）根据题意知，，当时，不符合题意，故，‎ 设直线的方程为，代入椭圆方程得：, ‎ 由解得，，‎ 故，‎ 同理：,‎ 由直线MN与轴垂直，则 ‎,‎ 由得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的几何性质，椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的综合问题，考查了计算能力，属于难题。‎ ‎22．设函数 .若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式在（0，+）上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是;（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数的解析式得其定义域为.‎ ‎. 因为曲线在点处的切线方程为，所以,,联立可得解方程组可得. 所以， .分别解不等式与，可得单调递减与递增区间。（2）不等式恒成立即不等式恒成立，构造函数，因为，所以对任意，不等式恒成立.考虑函数的单调性。因为。当时，对任意恒成立，此时函数单调递增.于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；当函数为减函数时， ，即恒成立时，函数单调递减，构造函数， 大于函数的最大值，求导数判断单调性，对任意，所以，即，符合题意；当时，构造函数，二次求导，令得 ，因为，所以。所以当时， ，此时单调递增，所以 ，故当时，函数单调递增.于是当时， 成立，不符合题意；综合上面三种情况可得所求。‎ 试题解析：解：（1）函数的定义域为.‎ ‎.‎ 依题意得， ，即 所以.‎ 所以， .‎ 当时， ；当时， .‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎（2）设函数，故对任意，不等式恒成立.‎ 又，当，即恒成立时，‎ 函数单调递减，设，则，‎ 所以，即，符合题意；‎ 当时， 恒成立，此时函数单调递增.‎ 于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；‎ 当时，设，‎ 则 ；‎ 当时， ，此时单调递增，‎ 所以 ，‎ 故当时，函数单调递增.‎ 于是当时， 成立，不符合题意；‎ 综上所述，实数的取值范围为： .‎ ‎【点睛】1、求函数的单调区间，可求导，令导函数大于、小于0，再结合定义域，可得单调区间；2、不等式的恒成立问题，一种方法可以分离参数，转化为函数的最值问题，另一种方法构造函数，求函数的最值。3、判断函数的单调性时，可以求导，导函数正负不容易判断时，有时可以构造函数，二次求导。‎