新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（二十四） 坐标系与参数方程

新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（二十四） 坐标系与参数方程

第 13 页 共 13 页 新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（二十四） 坐标系与参数方程 ‎[全国卷 考情分析]‎ 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ ‎2019‎ 直线的极坐标方程、椭圆的参数方程、点到直线的距离 极坐标方程的应用 极坐标方程的应用 ‎2018‎ 极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解 参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用 参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用 ‎2017‎ 参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离 直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题 直线的参数方程与极坐标方程与普通方程的互化、动点轨迹方程的求法 ‎(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．‎ ‎(2)全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．‎ ‎[例1]　(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1，0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．‎ ‎[解]　(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ，所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；‎ 第 13 页 共 13 页 若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.‎ 综上，P的极坐标为或或或.‎ ‎[解题方略]‎ ‎1．直角坐标与极坐标方程的互化 ‎(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可．‎ ‎(2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．‎ ‎2．求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎[多练强化]‎ ‎1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．‎ 解：(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝时，ρ0＝4sin ＝2.‎ 由已知得|OP|＝|OA|cos＝2.设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．‎ 在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.经检验，点P在曲线ρcos＝2上，‎ 所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.‎ ‎(2)设P(ρ，θ )，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.‎ 因为P在线段OM上，且AP⊥OM，所以θ的取值范围是.‎ 所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．‎ 由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线．记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.‎ 第 13 页 共 13 页 由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．‎ 当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．‎ 当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点．‎ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2. ‎ ‎[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．‎ ‎[解]　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，‎ 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.‎ 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.‎ ‎[解题方略]　参数方程化为普通方程消去参数的方法 ‎(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．‎ ‎(2)三角恒等式法：利用sin2α＋cos2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．‎ ‎(3)常见消参数的关系式：①t·＝1；②－＝4；③＋＝1.‎ ‎[多练强化]‎ 第 13 页 共 13 页 ‎1．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求|AB|的值；(2)若F为曲线C的左焦点，求·的值．‎ 解：(1)由(θ为参数)，消去参数θ得＋＝1.由消去参数t得y＝2x－4.‎ 将y＝2x－4代入x2＋4y2＝16中，得17x2－64x＋176＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以|AB|＝|x1－x2|‎ ‎＝×＝，所以|AB|的值为.‎ ‎(2)由(1)得，F(－2，0)，则 ·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(2x1－4)(2x2－4)‎ ‎＝x1x2＋2(x1＋x2)＋12＋4[x1x2－2·(x1＋x2)＋12]＝5x1x2－6(x1＋x2)＋60＝5×－6×＋60‎ ‎＝44，所以·的值为44.‎ ‎2．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ 解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.‎ ‎(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.‎ 极坐标与参数方程的综合应用 题型一　直线的参数方程中参数几何意义的应用 ‎[例3]　在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ 第 13 页 共 13 页 ‎＝0.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．‎ ‎[解]　(1)∵曲线C1的参数方程为(t为参数，a∈R)，‎ ‎∴曲线C1的普通方程为x－y－a＋1＝0.‎ ‎∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0，∴ρ2cos2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，‎ 又ρcos θ＝x，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎(2)设A，B两点所对应的参数分别为t1，t2，由得t2－2t＋2－‎8a＝0.‎ Δ＝(－2)2－4(2－‎8a)>0，即a>0，∴ 根据参数方程中参数的几何意义可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，‎ ‎∴当t1＝2t2时，有解得a＝>0，符合题意，‎ 当t1＝－2t2时，有解得a＝>0，符合题意．综上所述，a＝或a＝.‎ ‎[解题方略]利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：‎ ‎(1)t0＝；(2)|PM|＝|t0|＝；(3)|AB|＝|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.‎ 题型二　极坐标方程中极径几何意义的应用 ‎[例4]　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ ‎[解]　(1)由圆C的参数方程为(φ为参数)，‎ 可得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.‎ 第 13 页 共 13 页 由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)由得P，由得Q，‎ 结合图可得|PQ|＝|OQ|－|OP|＝|ρQ|－|ρP|＝3－1＝2.‎ ‎[解题方略]　极径的几何意义及其应用 ‎(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．‎ ‎(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．‎ ‎[多练强化]‎ ‎1．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．‎ 解：(1)因为－1<≤1，且x2＋＝＋＝1，‎ 所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.‎ ‎(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．‎ C上的点到l的距离为＝.‎ 当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.‎ ‎2．(2019·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为(φ为参数)，过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l和M的极坐标方程；(2)当α∈时，求|OA|＋|OB|的取值范围．‎ 解：(1)由题意可得，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2，‎ 所以M的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0.‎ ‎(2)设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数，将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0，‎ 第 13 页 共 13 页 得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0，当α∈时，Δ＝4sin 2α＞0，所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，‎ 根据极坐标的几何意义，|OA|，|OB|分别是点A，B的极径．‎ 从而|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝2sin.当α∈时，α＋∈，‎ 故|OA|＋|OB|的取值范围是(2，2 ]．‎ 大题专攻强化练 ‎1．(2019·郑州市第一次质量预测)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4，0)，求△MPQ的面积．‎ ‎2．(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；(2)过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．‎ 第 13 页 共 13 页 ‎3．(2019·福建五校第二次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，求∠POQ.‎ ‎4．(2019·蓉城名校第一次联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝－1，M为曲线C1上的动点．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)求点M到曲线C2的距离d的最小值及此时点M的坐标．‎ 第 13 页 共 13 页 ‎5．(2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)若曲线C2的极坐标方程为ρ＋8cos θ＝0，直线l与曲线C1在第一象限的交点为A，与曲线C2的交点为B(异于原点)，求|AB|.‎ ‎6．(2019·合肥市高三质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，α∈[0，π])．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4.‎ ‎(1)求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；(2)若直线l：x＝t分别与曲线C，曲线E交于点A，B，求△AOB面积的最大值．‎ 第 13 页 共 13 页 ‎7．(2019·广东六校第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin－1.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；‎ ‎(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且|OA|＜|OB|，求－.‎ ‎8．(2019·郑州市高三第三次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1：y＝ .以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin.(1)若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求·的取值范围；‎ ‎(2)若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为(－2，1)，求||QM|－|QN||的值．‎ 第 13 页 共 13 页 ‎1解：(1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，把代入可得，曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sin θ.‎ 设B(ρ，θ)，则A，则 ρ＝6sin＝－6cos θ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ.‎ ‎(2)M到直线θ＝的距离为d＝4sin＝2，射线θ＝与曲线C1的交点P，‎ 射线θ＝与曲线C2的交点Q，所以|PQ|＝3－3，‎ 故△MPQ的面积S＝×|PQ|×d＝3－3.‎ ‎2解：(1)由ρ＝cos，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2－x＋y＝0，即圆C的直角坐标方程为＋＝.‎ ‎(2)设l上任意一点P(t，t＋2)，过P向圆C引切线，切点为Q，连接PC，CQ，‎ ‎∵圆C的圆心为C，半径r＝，∴|PQ|＝＝＝‎ ≥2，即切线长的最小值为2.‎ ‎3解：(1)由得直线l的普通方程为x＋y＝1＋，‎ 又所以直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1＋.‎ 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ ‎(2)曲线C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为C(1，0)且半径为1的圆．‎ 由(1)得直线l的普通方程为x＋y－(1＋)＝0，则点C到直线l的距离d＝，‎ 所以|PQ|＝2＝1，所以△PCQ是等边三角形，所以∠PCQ＝，‎ 又O是圆C上的点，所以∠POQ＝＝.‎ ‎4解：(1)由题意知，曲线C1：化为普通方程，得(x－2)2＋(y＋2)2＝4；‎ 曲线C2：ρcos＝－1，展开，化简得ρcos θ－ρsin θ＝－2，‎ 又所以曲线C2的直角坐标方程为x－y＋2＝0.‎ ‎(2)M(2＋2cos φ，－2＋2sin φ)，则点M到曲线C2的距离 d＝＝＝，‎ 第 13 页 共 13 页 所以当cos＝－1，即φ＝时，d取得最小值，dmin＝.此时M(1，－2＋)．‎ ‎5解：(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x2＋9y2＝9，故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋8ρ2sin2θ－9＝0.‎ ‎(2)因为A，B两点在直线l上，所以可设A，B.‎ 把点A的极坐标代入C1的极坐标方程得，ρ＋8ρsin2－9＝0，解得ρ1＝±.‎ 已知A点在第一象限，所以ρ1＝.‎ 因为B异于原点，所以把点B的极坐标代入C2的极坐标方程得，ρ2＋8cos＝0，解得ρ2＝－4.‎ 所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝|＋4|＝5.‎ ‎6解：(1)消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝4(y≥0)，‎ 由得曲线E的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(2cos α，2sin α)，α∈[0，π]，要使△AOB的面积最大，则B(2cos α，－sin α)．‎ S△AOB＝|AB|·|xB|＝·3sin α·|2cos α|＝·|sin 2α|.‎ ‎∵α∈[0，π]，∴2α∈[0，2π]，∴当α＝或时，△AOB的面积取得最大值.‎ ‎7解：(1)由(t为参数)消去参数t，得y＝2x.‎ 由ρ2＝2ρsin－1，得ρ2－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，所以曲线C的直角坐标方程为 x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎∴直线l的普通方程为y＝2x，曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，曲线C表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆．‎ ‎(2)将x＝t，y＝t代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，得t2－t＋1＝0，‎ 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝＞0，t1·t2＝1＞0，∴t1＞0，t2＞0.‎ ‎∵|OA|＜|OB|，∴－＞0，‎ ‎∴－＝－＝＝＝ ＝. ‎ ‎8解：(1)由题意可知，直线l的普通方程为x＋y＋1＝0，∴A(－1，0)，B(0，－1)，‎ C1的方程可化为x2＋y2＝1(y≥0)，设点P的坐标为(cos α，sin α)，0≤α≤π，‎ 第 13 页 共 13 页 ‎∴·＝－cos α＋sin α＋1＝sin＋1∈[0，＋1]．‎ ‎(2)由ρ＝4sin及x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得曲线C2的直角坐标方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8，‎ 直线l的标准参数方程为(m为参数)，代入C2得m2－m－7＝0，‎ 设M，N两点对应的参数分别为m1，m2，则m1＋m2＝，m‎1m2‎＝－7＜0，故m1，m2异号，‎ ‎∴||QM|－|QN||＝||m1|－|m2||＝|m1＋m2|＝.‎